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5.5 Solitonen S. 150

Definition: Soliton

Solitonen sind Wellenlösungen der Kortweg-de Vries-Gleichung

\begin{displaymath}
{\partial \over \partial t} u(x,t) = 6 {\partial \over \partial x}
u(x,t) - {\partial^3 \over \partial x^3} u(x,t)
\end{displaymath} (5.48)

Wobei t > 0 und $-\infty < x < \infty$ ist. Diese Gleichung beschreibt z. B. die Auslenkung u(x,t) bei Wasserwellen in seichten Kanälen

Eigenschaften

Solitonenlösung der Kortweg-de Vries-Gleichung (5.51)


\begin{displaymath}
u(x,t) = -2 \mathrm{sech}^2 (x-4t) = -2 {1 \over \cosh(x-4t)}
\end{displaymath} (5.49)

Beschreibt ein Wellental, daß sich mit v=4 nach rechts bewegt.

Multisolitonenlösung

Betrachtet man als Anfangszustand

u(x,0) = -N (N+1) sech2(x) (5.50)

so entstehen daraus N Solitonen, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen. Die Lösungen kann man z. B. über ein inverses Streuproblem finden. (S. z.B. Baumann: ''Mathematica in der Theoretischen Physik'' Kap. 5). Auch die Schrödingergleichung mit dem Pöschl-Teller-Potential V(x)=-N(N+1) sech2(x) besitzt N Solitonenlösungen.




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Alexander Wagner
2000-03-27