2.3 Nichtlinearer Fit (S. 25)

Definition:

• N Datenpaare {t_i, Y_i}
• Modellfunktion $g(\vec{a}, t_i)$
• Parametervektor $\vec{a}$ mit M Komponenten
• Fehler der Daten Y_i bei t_i: $\varepsilon_i$
• Varianz: $\sigma_i^2$ ( $\langle \varepsilon_i \rangle = 0, \langle \varepsilon_i^2 \rangle = \sigma_i^2)$
• bester Parametersatz: $\vec{a}_0$
• Quadratische Abweichung: $\chi ^2$ mit
  

  $$\chi^2(\vec{a}) = \sum_{i=1}^N \left( {Y_i - g(\vec{a}, t_i) \over \sigma_i}\right)^2$$ (2.53)

  
  

• Wahrscheinlichkeit, daß $\chi^2 < \chi_0^2$ ist:
  

  $$P_{N-M}(\chi_0^2) = {1 \over \Gamma\left({N-M \over 2}\right)} \int_0^{\chi_0^2 \over 2} e^{-t} t^{{N-M \over 2}-1} dt$$ (2.54)

  
  
  Das Integral heißt unvollständige Gammafunktion.

  Vorraussetzungen für die Gültigkeit dieser Gleichung

  • $g(\vec{a}, t_i)$ ist angemessenes Modell
  • Fehler $\varepsilon_i$ sind gaußverteilt und unkorreliert
  Beachte: $\chi^2(\vec{a}_0)$ hat nur N-M Freiheitsgrade, da M über die Minimumsbedinung festgelegt sind. Für große Werte von N-M gilt der Zentrale Grenzwertsatz, d.h. $\chi ^2$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $\langle \chi^2 \rangle = N-M$ und Varianz 2(N-M)
• Quantile: Umkehrung von $P(\chi^2)$. $\chi ^2$ für das x % der Meßwerte jenseits der Schwelle liegt, d. h. die Quantile von 0.95 zu einer $\chi ^2$-Verteilung mit N-M Freiheitsgraden besagt, wie groß das $\chi ^2$ ist unterhalb dessen 95 % der Ergebnisse liegen