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5.3.3 Fraktale Dimension

Mehrere Möglichkeiten zur Definition:

1.
physikalische Bestimmung der Dimension: Für Masse und Ausdehnung eines Objekts gilt

\begin{displaymath}
M \propto L^D
\end{displaymath} (5.30)

Wobei L die Einheitslänge ist. Damit folgt für die Dimension

\begin{displaymath}
D_{phys} = \lim_{L \rightarrow \infty} {\log{M} \over \log{L}}
\end{displaymath} (5.31)

12cmD.h. bei einer 2D-Fläche bedeutet eine fraktale Dimension D von z. B. D=1.9, daß die mittlere Dichte $M(L) \over L^2$ nicht konstant ist, sondern mit L2-D=L-0.1 abnimmt.

2.
überdeckung des Objekts mit Würfeln der Kantenlänge $\varepsilon$. $N(\varepsilon)$ sei die kleinste Zahl solcher Würfel $N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}$ und damit

\begin{displaymath}
D_{B} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} {\log \left(
N(\v...
...silon)\right) \over \log\left({1 \over \varepsilon}
\right)}
\end{displaymath} (5.32)

12cmD.h es existiert eine charakteristische Länge (Korrelationslänge) $\xi$ für die gilt: Mißt man mit einer Länge $L>\xi$ findet man als Dimension des Objekts die Einbettungsdimension, mißt man mit einer Länge $L<\xi$ so sieht man die fraktale Dimension. $\xi$ mißt also das größte Loch im größten Cluster.

3.
Methode von Grassberger und Procaccia:

4.
über die Informationsentropie

Man kann zeigen, daß $D_B \leq D_I \leq D_C$, wobei man jedoch in praktischen Anwendungen oft übereinstimmung innerhalb des Beobachtungsfehlers findet.


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Alexander Wagner
2000-03-27