5.1 Grundlagen

• Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung kann man durch folgende Substitution auf ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen:
  

  $$\mbox{gg.} y^{(n)}(x) = f(x, y, y', y'', \cdots y^{(n-1)})$$ (5.1)

  $$\mbox{Substitution}$$ y₁ = y (5.2)

  y₂ = y' (5.3)

  $$\vdots$$

  y_n = y^(n-1) (5.4)

  
  
  Man erhält so:
  

  y₁' = y₂ (5.5)

  y₂' = y₃ (5.6)

  $$\vdots$$ (5.7)

  $$f(x, y_1, y_2, \cdots, y_n)$$ y_n' = (5.8)

  
  

• in Vektorform
  

  $$\vec{y}'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\vec{y}(y+\Delta x) - \vec{y}(x) \over \Delta x} = \vec{f}(x,\vec{y})$$ (5.9)

  
  

• Mit Gleichung (5.9) läßt sich die Ableitung einer Funktion numerisch bestimmen Näherungsmethode

• Euler-Verfahren:
  

  y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n) (5.10)

  
  

  wobei h die Schrittweite ist.
  
  

• Entwicklung in eine Taylorreihe liefert die Fehlerabschätzung
  

  $$y_{n\pm 1} = y(x_n \pm h) = y_n \pm h y_n' + {h^2 \over 2} y_n'' \pm {h^3 \over 6} y_n''' + \Order (h^4)$$ (5.11)

  
  

• Damit folgt für das Euler-Verfahren ein Fehler der Ordnung h², da man die Taylorreihe bereits nach dem Glied y'(x) abbricht