4.1.2 Algorithmus

Ziel: Bestimmung von

1.

Feigenbaumkonstante $\delta$

2.

Feigenbaumdiagramm x(r) (Bifurkationsdiagramm)

Beachte: Hier Definition der Logistischen Abbildung mit ausgeklammerter 4 aus r, d.h.

x_n+1 = 4 r x_n (1-x_n) = f(x_n) (4.14)

Vorgehensweise:

• Direkte Bestimmung der Feigenbaumkonstante aus (4.8) ist nicht möglich, da numerische Algorithmen zur Lösung der Gleichungen f^(l)(x^*) = x^* und $\left\vert {df^{(l)}(x^*) \over dx} \right\vert = 1$ (Forderung, daß $\epsilon_n = \epsilon_0$, d. h. minimal) versagen, deren Lösung notwendig ist, um die r_l (= Punkte an denen ein 2^l-1 Zyklus instabil und ein 2^l Zyklus stabil wird, d. h. Periodenverdopplung stattfindet) zu finden.

• Superstabile periodische Bahnen: Bahnen, die bei $x_0 = \einhalb$ beginnen, und nach 2^l Schritten wieder dort enden. Bei Variation von r wandert der Startpunkt des Zyklus um den Wert

  Vorteil: Da $f'(\einhalb)=0$ konvergieren Abweichungen von x₀ sehr schnell gegen den 2^l-Zyklus

• In jedem Intervall $[r_l \cdots r_{l+1}]$ gibt es eine superstabile Bahn der Periode 2^l für den Parameterwert r=R_l
• R_l skaliert wie die r_l mit der Feigenbaumkonstante $\delta$ gegen $r_\infty$

• Löse folglich
  

  $$f^{\left( 2^l \right)} \left( \einhalb \right) = \einhalb$$ (4.15)

  
  

  Diese Gleichung hat 2^l-1 Fixpunkte schnell oszillierende Lösung numerische Lösung schwierig :-(

• Trick: Invertieren der Gleichung
  
  

• Algorithmus zur Bestimmung der RL-Sequenz für eine gegebene Periode 2^l (ohne Beweis)

  1.

  Startwert ist x₀ jede Sequenz beginnt mit C

  2.

  l=1: CR

  3.

  l+1:

  (a)

  Verdopple die Sequenz (z. B. CR $\rightarrow$ CRCR)

  (b)

  Ersetze: C durch L wenn Anzahl der R in der Ausgangssequenz ungerade, sonst durch R (hier: CRCR $\rightarrow$ CRLR)

  4.

  z.B. l=3: CRLR $\rightarrow$ CRLRCRLR $\rightarrow$ CRLRRRLR usf.

• Für inverse Iteration: Neues Koordinatensystem mit Ursprung in $(x,y) = (\einhalb, \einhalb)$ und reskalierten Achsen so, daß der Scheitel der Parabel bei (0,1) liegt
  

  $$f(x) = 4 r x (1-x) \longrightarrow g(\xi) = 1-\mu \xi^2$$ (4.16)

  
  
  wobei $\mu = r(4r-2)$ bzw. $r={1 \over 4} \left( 1+\sqrt{1+4\mu}\right)$

• Superstabile Bahnen für l=2 genügen dann
  

  $$g_R(g_L(g_R(1))) = 0 \mbox{ bzw. } 1=g_R^{-1}(g_L^{-1}(g_R^{-1}(0)))$$ (4.17)

  
  

  mit den Funktionen
  

  $$g_R^{-1}(\xi) = \sqrt{1-\xi \over \mu} \mbox{ und } g_L^{-1}(\xi) = - \sqrt{1-\xi \over \mu}$$ (4.18)

  
  

• Endgültige Bestimmungsgleichung für $\mu$ (in 3. Ordnung):
  

  $$\mu - \sqrt{\mu + \sqrt{\mu - \sqrt{\mu}}} = 0$$ (4.19)

  
  
  welche durch Iteration gelöst werden kann. Sie ergibt sich auch den Formeln für g_R^-1 und g_L^-1 und der Bedinung

  
  

  $$1 = g_R^{-1} \left( g_L^{-1} \left( g_R^{-1}(0) \right) \right)$$ (4.20)

  
  

  wie folgt:
  

  $$\sqrt{{1 + \sqrt {1 - \sqrt{1 \over \mu} \over \mu} \over \mu}}$$ 1 = (4.21)

  $${1 \over \mu} \sqrt{ \mu + \mu \sqrt{1 - \sqrt{1 \over \mu} \over \mu}}$$ 1 = (4.22)

  $${1 \over \mu} \sqrt{\mu + \sqrt{\mu - \mu \sqrt{1 \over \mu}}}$$ 1 = (4.23)

  $${1 \over \mu} \sqrt{ \mu + \sqrt{\mu - \sqrt{\mu}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Box$$ 1 = (4.24)

  
  

• Beachte: Die CLR-Sequenz bestimmt die Vorzeichen der geschachtelten Wurzeln: L gibt ein positives, R ein negatives Vorzeichen. Gilt für alle superstabilen Bahnen.

• aus den $\mu$ r_l

• damit dann über
  

  $$\delta = \lim_{l \rightarrow \infty} {r_l - r_{l-1} \over r_{l+1} - r_l}$$ (4.25)

  
  
  die Feienbaumkonstante