4.1.1 Eigenschaften

• Definition: Die logistische Abbildung ist definiert durch die Rekursion

  
  

  x_n+1 = r x_n (1-x_n) = f(x_n) (4.1)

  
  

  wobei r ein Parameter ist. Bisweilen wird aus r ein Faktor ${1 \over 4}$ ausgeklammert und r nur zwischen 0 und 1 variiert.

  Sie kann zur einfachen Beschreibung von Populationsentwicklungen benutzt werden. Betrachte z. B. eine einjährige Insektenpopulation. Jedes Insekt legt r Eier, aus denen im folgenden Jahr r x_n Insekten schlüpfen. Eine begrenzte Futtermenge, die das Wachstum der Population einschränkt wird durch den nichtlinearen Term x_n² erreicht, in dem man davon ausgeht, daß die gelegten Eier linear mit der vorhandenen Population abnehmen, da bei zu vielen Insekten eine gewisse Anzahl keine Eier legen wird. Sei $\overline{z}$ die Grenzpopulation, so ist der verringernde Faktor dann $z \over \overline{z}$, d. h. man erhält $z_{n+1} = r z_n (1- {z_n \over \overline{z}})$. Normiert man die Grenzpopulationsgröße auf 1 so erhält man die logistische Abbildung.

• Beachte: Durch die iterative Definition führt der x_n-Term alleine zu exponentiellem Wachstum!
• Beachte: Die Rekursionsformel kann auch als (schlechte) Lösungsformel für die Differentialgleichung

  
  

  $${dx \over dn} = (r-1) x-r x^2$$ (4.2)

  
  

  benutzt werden. Hierzu setzt man $x_{n+1} - x_n \approx {dx \over dn}$. Deren Lösung ist

  
  

  $$x(n) = {r -1 \over r + const. \exp((1-r)n)}$$ (4.3)

  
  

  
  
  

• zweifach iterierte Abbildung:
  

  $$f^{(2)}(x) = f\left(f(x)\right) = x_n r^2(1-x_n) \left(1-x_n r (1-x_n)\right)$$ (4.4)

  
  
  analog für die n-fache Iteration

• Fixpunkt: Die Gleichung hat den Fixpunkt $x^* = 1-{1 \over r}$, d. h. dieser Punkt wird in sich selbst abgebildet. Er ist auch Fixpunkt der zweifach iterierten Abbildung. Für r < 4 ist dieser Fixpunkt attraktiv, d.h. Werte in der Nähe des Fixpunktes laufen auf den Fixpunkt zu. Man sieht dies, wenn man eine kleine Abweichung vom Fixpunkt betrachtet:

  
  

  $$f(x^* + \epsilon_0) \approx f(x^*) + f'(x^*) \epsilon_0 = x^* + f'(x^*) \epsilon_0$$ (4.5)

  $$\mbox{kleine $\epsilon$} \epsilon_n \approx f'(x^*) \epsilon_{n-1} \approx \left[ f'(x^*) \right]^n \epsilon_0$$ (4.6)

  
  

  da für r < 3 die Ableitung am Fixpunkt < 1 ist, insofern die Störung verschwindet. Für r > 3 ist hingegen die Ableitung am Fixpunkt > 1, die Störung explodiert, der Zyklus wird instabil

• analoges Vorgehen für die zweifach iterierte Abbildung liefert auch hier für bestimmte r-Werte Fixpunkte

• Man findet übergänge von Zweierzyklen zu Viererzyklen, d. h. eine Periodenverdopplung

• Für r₀ = 1: Phasenübergang von aussterbender zu konstanter Population

• Bei r_l wird aus einem 2^l-1- ein 2^l-Zyklus

• $r_\infty \approx 0.89$: Unendlich viele Perioden, d.h. $l\rightarrow \infty$

• Gesetz zur Annäherung an an $r_\infty$
  

  $$r_l \approx r_\infty - {c \over \delta^l}$$ (4.7)

  
  

  wobei $\delta$ die Feigenbaumkonstante ist.

• Feigenbaumkonstante
  

  $$\delta = \lim_{r \rightarrow \infty} {r_l - r_{l-1} \over r_{l+1} - r_l} = 4.66920\cdots$$ (4.8)

  
  

  ist eine universelle Konstante, die für verschiedene f(x) beobachtet wird, die durch Periodenverdopplung ins Chaos übergehen. Sie gibt das Verhältnis zwischen der Dauer der Stabilität zweier aufeinanderfolgender Zyklen an.

• Periodenverdopplung entspricht Frequenzhalbierung, d.h. dem Entstehen von Subharmonischen.

• Deterministisches Chaos : Obwohl die x_n nicht zufällig gewählt sind, sondern durch eine wohldefinierte Parabel erzeugt sind, scheinen sie zufällig in einem oder mehreren der chaotischen Bänder hin und her zu springen.

• Ljapunow-Exponent $\lambda$: Maß für Chaos. Bestimmend für Chaos ist die Empfindlichkeit auf Anfangsbedingungen. Betrachte zwei Trajektorien x_n und $x_n + \epsilon_n$. Der Ljapunow-Exponent ist dann definiert durch:

  
  

  $$\epsilon_n = \epsilon_0 e^{\lambda n}$$ (4.9)

  
  
  d. h. ein positiver Ljapunow-Exponent $\lambda > 0$ bedeutet Chaos, bei negativem Exponenten verschwindet die Abhängigkeit von der Anfangsbedingung exponentiell mit der Iteration.

• Weiterhin gilt:

  
  

  $$\left\vert f^{(n)}(x_0 + \epsilon_0) - f^{(n)}(x_0) \right\vert = \epsilon_n \epsilon_0 e^{\lambda n}$$ (4.10)

  
  

  was für $\epsilon_0 \rightarrow 0$ die Ableitung der n-fach iterierten darstellt, da ${f^{(n)}(x_0 + \epsilon_0) - f^{(n)}(x_0) \over \epsilon_0}$ der Differentialquotient ist, welcher für $\epsilon_0$ zur Ableitung wird.

• Direkte Definition des Ljapunow-Exponenten

  
  

  $$\lambda = \lim_{n\rightarrow \infty} = {1 \over n} \sum_{i=0}^{n-1} \ln \left( \left\vert f'(x_i) \right\vert \right)$$ (4.11)

  
  

  d. h. man summiert entlang einer Trajektorie den Logarithmus der Steigung auf. Die folgt aus der Kettenregel:
  

  $$e^{\lambda n} {d \over dx} f^(n)(x) = {d \over dx} f(f(f(\cdots f(x_0))))$$ = (4.12)

  $$e^{\lambda n} f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(\cdots(f(x_0))) \cdots f'(x)$$ =

  $$\lambda {1 \over n} \ln\left[ f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(\cdots(f(x_0))) \cdots f'(x)\right]$$ =

  $$\lambda {1 \over n} \ln\left[ f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \right] + \ln\left[f'(f(\cdots f(x_0))))\right] + \ln\left[f'(\cdots(f(x_0))) \cdots f'(x)\right]$$ =

  $$\lambda {1 \over n} \sum_{i=0}^{n-1} \ln\left\vert f'(x_i) \right\vert$$ = (4.13)

  
  

  wobei der $\lim_{n\rightarrow \infty}$ betrachtet wird.