3.3 Kettenschwinungungen (S. 65)

Problem: Lineare Kette von Massen (Atomen), suche die Eigenfrequenzen

• Betrachte eine Einheitszelle a, d. h. die Anordnung der Atome wiederhole sich periodisch mit der Länge a
• Die Einheitszelle bestehe aus 3 Atomen der Masse m₁ und einem Atom der Masse m₂ an den Positionen r_n, s_n, t_n, u_n (u_n sei das schwere Atom der Masse m₂)
• Die Atome seien untereinander über Federn der Federkonstante f gekoppelt.

• Bewegungsgleichung
  

  $$m_1 {d^2 \over dt^2} r_n$$ = f (s_n - r_n) - f (r_n - u_n-1)

  = f(s_n + u_n-1 - 2 r_n) (3.18)

  $$m_1 {d^2 \over dt^2} s_n$$ = f(t_n + r_n - 2 s_n) (3.19)

  $$m_1 {d^2 \over dt^2} t_n$$ = f(u_n + s_n - 2 t_n) (3.20)

  $$m_1 {d^2 \over dt^2} u_n$$ = f(r_n+1 + t_n - 2 u_n) (3.21)

  
  

• Translationsinvarianz
  
  

• Umschreiben als Matrix
  

  $$\left( \begin{array}{cccc} 2f & -f & 0 & -f e^{iqa}\\ -... ... m_1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_2 \end{array} \right) \vec{S}(q)$$ (3.22)

  
  

  D. h. man hat eine normale Eigenwertgleichung der Form
  

  $${\bf F}\vec{S} = \lambda {\bf M} \vec{S}$$ (3.23)

  
  

  Diese ist äquivalent zu

  
  

  $${\bf M^{-1}} {\bf F}\vec{S} = \lambda \vec{S}$$ (3.24)

  
  

• Eigenwerte positiv, d. h. ${\bf M}^{-1} {\bf F}$ hermitesch? Betrachte
  

  $${\bf M}^{-\einhalb} {\bf F} {\bf M}^{-\einhalb} {\bf M}^{\einhalb} \vec{S} = \lambda {\bf M}^{\einhalb} \vec{S}$$ (3.25)

  
  
  als Eigenwertgleichung für den Eigenvektor ${\bf M}^{\einhalb} \vec{S}$. Hierbei ist ${\bf M}^{-\einhalb} {\bf F} {\bf M}^{-\einhalb}$ hermitesch.

  Warum???

• Die ermittelten Eigenschwingungen $\vec{x}_n$ sind spezielle Lösungen der Bewegungsgleichung, die allgemeine Lösung ergibt sich als überlagerung der speziellen:
  

  $$\vec{x}_n(t) = \sum_{\nu, l} \vec{S}_l(q_\nu) e^{i q_\nu a ... ...omega_{\nu l}t} + c^*_{-\nu l} e^{-i\omega_{\nu l}t} \right)$$ (3.26)

  
  
  Wobei die Koeffizienten $c_{\nu l}$ durch die Anfangsbedinugnen festgelegt werden

Ergebnis: Zu jedem q-Wert gibt es (im Beispiel vier) Eigenfrequenzen $\omega$. Es entstehen vier Bänder wie man das vom Festkörper her von den Phononen kennt.