4.8 Zentralpotential

Zentralpotential ist sph„risch Symmetrisch $\Rightarrow$ Benutzung sph„rischer Polarkoordinaten.

H = - $\displaystyle {\hbar^2 \over 2m}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ {1\over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r... ...ight) + {1\over r^2 \sin^2(\theta)} {\partial^2 \over \partial \phi^2} }\right.$ $\displaystyle {1\over r^2}$ $\displaystyle {\partial \over \partial r}$ $\displaystyle \left(\vphantom{r^2 {\partial \over \partial r} }\right.$ r² $\displaystyle {\partial \over \partial r}$ $\displaystyle \left.\vphantom{r^2 {\partial \over \partial r} }\right)$ + $\displaystyle {1 \over r^2 \sin(\theta)}$ $\displaystyle {\partial \over \partial \theta}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \sin(\theta) {\partial \over \partial \theta} }\right.$ sin( $\displaystyle \theta$ ) $\displaystyle {\partial \over \partial \theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \sin(\theta) {\partial \over \partial \theta} }\right)$ + $\displaystyle {1\over r^2 \sin^2(\theta)}$ $\displaystyle {\partial^2 \over \partial \phi^2}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {1\over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r... ...ight) + {1\over r^2 \sin^2(\theta)} {\partial^2 \over \partial \phi^2} }\right]$ + V(r) =			(62)
= - $\displaystyle {\hbar^2 \over 2m}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ {1\over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {L^2 \over \hbar^2 r^2}}\right.$ $\displaystyle {1\over r^2}$ $\displaystyle {\partial \over \partial r}$ $\displaystyle \left(\vphantom{r^2 {\partial \over \partial r} }\right.$ r² $\displaystyle {\partial \over \partial r}$ $\displaystyle \left.\vphantom{r^2 {\partial \over \partial r} }\right)$ + $\displaystyle {L^2 \over \hbar^2 r^2}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {1\over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {L^2 \over \hbar^2 r^2}}\right]$ + V(r)			(63)

Daraus ergeben sich fr die L”sung des Winkelanteils die Kugelfl„chenfunktionen (simultane Eigenfunktionen von L_z und L²).

Durch geeignete Substitution in der Schr”dingergleichung kann man diese auf die Besselsche Differentialgleichung fhren. Diese liefert als L”sungen die Besslfunktionen und ein kontinuierliches Spektrum fr die Energieeigenwerte. Die Wellenfunktionen selbst sind Kugelwellen. Entwickelt man ebene Wellen in Kugelwellen so sieht man, daá beide L”sungen „quivalent sind.

Mehrteilchensysteme leiten sich aus Einteilchensystemen durch Addition der jeweiligen Koordinaten her. Fr die Vertauschbarkeit gilt, daá die Operatoren eines Teilchens mit allen eines beliebigen anderen vertauschen.