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3.3 Definiton des Wirkungsquerschnitts

Der Wirkungsquerschnitt ist definiert durch die Anzahl der Teilchen, die bei einem Streuprozess in einen bestimmten Raumwinkelbereich gestreut werden:

Nsc($\displaystyle \Delta$$\displaystyle \Omega$) = ninc$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \Delta$$\displaystyle \Omega$) (29)

1.
Es icht wichtig, daá die einfallenden Teilchen mit zuf„llig verteilten Impaktparametern versehen sind
2.
Es ist nicht notwendig, die Teilchen einheitlich ber eine breite Front zu schicken
3.
Streuung in Vorw„rtsrichtung ist nicht definierbar, weil man ein Teilchen das in Vorw„rtsrichtung gestreut wurde nicht von einem ungestreuten Teilchen unterscheiden kann.

Quantenmechanisch gilt nun fr die Wahrscheinlichkeit ein gestreutes Teilchen mit Impuls $ \vec{p}\,$ im Raumwinkelelement d$ \Omega$ zu finden

w(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \psi_{in}^{}$) = d$\displaystyle \Omega$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$p2dp|$\displaystyle \psi_{out}^{}$($\displaystyle \vec{p}\,$)|2 (30)

Wobei die Wellenfunktion $ \psi_{out}^{}$($ \vec{p}\,$) = $ \bra$$ \vec{p}\,$$ \psi$.

Damit ergibt sich, wenn ninc die konstante Dichte der einfallenden Teilchen (Wellenpakete) ist fr die Anzahl der in das Raumwinkelelement d$ \Omega$ gestreuten Teilchen

Nsc(d$\displaystyle \Omega$) = ninc$\displaystyle \underbrace{\int d^2\rho w(d\Omega \leftarrow \phi_\rho)}_{=\sigma(d\Omega \leftarrow \phi)}^{}\,$ (31)

(der letzte Teil folgt aus Vergleich mit dem klassischen Resultat.) Bei dieser Betrachtung ist $ \phi_{\rho}^{}$ jeweils das einfallende Wellenpaket wobei davon ausgegangen wird, daá alle Wellenpakete, die das Streuzentrum treffen nur r„umlich verschoben, sonst aber identisch sind. Man findet, daá wenn die einfallenden Pakete scharf genug sind, man diese Forderung fallen lassen kann und obiges bei hinreichend scharfen Wellenpaketen allgemein gilt.

Die hier angenommenen Bedingungen sind meist gut erfllt. Ein bekanntes Beispiel wo sie nicht gelten ist das Davisson-Germer-Experiment. Hier werden Elektronen senkrecht und monoenergetisch auf eine Nickeloberfl„che geschossen. Man findet im Streuwinkel ein ausgepr„gtes Maximum bei 0und ein weiteres bei 50. Das 50-Maximum l„át sich aus der Streutheorie nicht erkl„ren, es resultiert aus konstruktiver Interferenz der Elektronenwellen.

Fr die Berechnung des quantenmechanischen Wirkungsquerschnitts findet man nun :

$\displaystyle \sigma$(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi$) = $\displaystyle \int$d2$\displaystyle \rho$w(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi_{\rho}^{}$) (32)
w(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi_{\rho}^{}$) = d$\displaystyle \Omega$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$p2dp|$\displaystyle \psi_{out}^{}$($\displaystyle \vec{p}\,$)|2 (33)
$\displaystyle \psi_{out}^{}$($\displaystyle \vec{p}\,$) = $\displaystyle \int$d3p'$\displaystyle \bra$$\displaystyle \vec{p}\,$S$\displaystyle \ket$$\displaystyle \vec{p'}\,$$\displaystyle \psi_{in}^{}$($\displaystyle \vec{p}\,$) (34)
  = $\displaystyle \underbrace{\psi_{in}(\vec{p})}_{\mbox{ungestreut}}^{}\,$ + $\displaystyle \underbrace{{i \over 2 \pi m} \int d^3p' \delta(E_p - E_{p'}) f(\vec{p} \leftarrow \vec{p}') \psi_{in}(\vec{p})}_{\mbox{gestreut}}^{}\,$ (35)
$\displaystyle \folgt$$\displaystyle \sigma$(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi$) = $\displaystyle {d \Omega \over (2 \pi)^2 m^2}$$\displaystyle \int$d3$\displaystyle \rho$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}$d2pdp  
    x $\displaystyle \int$d3p'$\displaystyle \delta$(Ep - Ep')f ($\displaystyle \vec{p}\,$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \vec{p}{^\prime}$)e-i$\scriptstyle \vec{\rho}\,$ . $\scriptstyle \vec{p}{^\prime}$$\displaystyle \phi$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}$)  
    x $\displaystyle \int$d3p''$\displaystyle \delta$(Ep - Ep'')f*($\displaystyle \vec{p}\,$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}$)e+i$\scriptstyle \vec{\rho}\,$ . $\scriptstyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}$$\displaystyle \phi^{*}_{}$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}$) (36)

Die erste Vereinfachung erh„lt man durch Einsetzen von

$\displaystyle \int$d2$\displaystyle \rho$ei$\scriptstyle \rho$ . ($\scriptstyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}$ - $\scriptstyle \vec{p}{^\prime}$) = (2$\displaystyle \pi$)2$\displaystyle \delta_{2}^{}$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}_{\perp}$ - $\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}_{\perp}$) (37)
$\displaystyle \delta$(Ep' - Ep'') = 2m$\displaystyle \delta$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}^{2}$ - $\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}^{2}$) (38)
$\displaystyle \folgt$$\displaystyle \delta_{2}^{}$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}_{\perp}$ - $\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}_{\perp}$)$\displaystyle \delta$(Ep' - Ep'') = $\displaystyle {m \over p'}$$\displaystyle \delta_{3}^{}$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}$ - $\displaystyle \vec{p}{^\prime}{^\prime}$) (39)

und Benutzung der $ \delta$-Funktion zur Integration. Ist nun die Region wo $ \phi$(p') $ \neq$ 0 so klein, daá die Variation von f ($ \vec{p}\,$ $ \leftarrow$ $ \vec{p}{^\prime}$) unwesentlich ist, kann man $ \vec{p}{^\prime}$ durch $ \vec{p}_{0}^{}$ ersetzen und das restliche Integral verschwindet, da es die Normierung ausdrckt (Beachte | vecp| = |$ \vec{p}{^\prime}$|):
$\displaystyle \sigma$(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi$) = d$\displaystyle \Omega$$\displaystyle \int$d3p'$\displaystyle {p' \over p'_\parallel}$| f ($\displaystyle \vec{p}\,$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \vec{p}{^\prime}$)$\displaystyle \phi$($\displaystyle \vec{p}{^\prime}$)|2 (40)
$\displaystyle \leadsto$$\displaystyle \sigma$(d$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \phi$) = d$\displaystyle \Omega$| f ($\displaystyle \vec{p}\,$ $\displaystyle \leftarrow$ $\displaystyle \vec{p}_{0}^{}$)| (41)

Definiert man den differentiellen Wirkungsquerschnitt nun analog der klassischen Definition ber $ \sigma$(d$ \Omega$ $ \leftarrow$ $ \vec{p}_{0}^{}$) = $ {d\sigma \over d\Omega}$($ \vec{p}\,$ $ \leftarrow$ $ \vec{p}_{0}^{}$)d$ \Omega$, so findet man

7cm

$\displaystyle {d\sigma \over d\Omega}$($\displaystyle \vec{p}\,$ - $\displaystyle \vec{p}_{0}^{}$) = | f ($\displaystyle \vec{p}\,$ - $\displaystyle \vec{p}_{0}^{}$)|2 (42)

Die bei der Herleitung n”tige Bedinung, daá f ($ \vec{p}\,$ $ \leftarrow$ $ \vec{p}{^\prime}$) scharf genug ist geht in der Rechnung da ein, wo f ($ \vec{p}\,$ $ \leftarrow$ $ \vec{p}\,$) aus dem Integral gezogen wird. Man findet, daá diese Funktion in engem Zusammenhang mit der Fouriertransformierten des Streupotentials steht. Praktisch bedeutet die Bedinung, daá die Wellenfunktion im Ortsraum breit gegen das Streupotential sein muá (quasi einlaufende ebene Wellenfront), da sie dann im Impulsraum schmal ist.

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Alexander Wagner
2000-04-15