3.1 Energieerhaltung

Der Streuoperator S erh„lt die Energie. Da S die einlaufenden asymptotischen Zust„nde auf die auslaufenden asymptotischen Zust„nde abbildet bedeutet das, daá S mit H⁰ (= kinetische Energie) kommutiert, nicht mit H. F�r die Streuoperatoren gilt

$$\Omega_{\pm}^{} \Omega_{\pm}^{}$$ (21)

Da die Mølleroperatoren isometrisch sind ist dies gleichbedeutend mit

$$\Omega^{\dagger}_{\pm} \Omega_{\pm}^{}$$ (22)

Daran sieht man ebenfalls, daá die Mølleroperatoren i.A. nicht unit„r sein k”nnen, da sonst H und H⁰ das selbe Spektrum h„tten, also z. B. H keine gebundenen Zust„nde haben d�rfte (da ja H⁰ keine hat). Anders herum k”nnen die Mølleroperatoren nur dann unit„r sein, wenn es keine gebundenen Zust„nde gibt.

S kommutiert mit H⁰:

$$\Omega^{\dagger}_{-} \Omega_{+}^{} \Omega^{\dagger}_{-} \Omega_{+}^{} \Omega^{\dagger}_{-} \Omega_{+}^{}$$ (23)

Um die Vertauschbarkeit von S mit H⁰ ausnutzen zu k”nnen entwickelt man in eine Basis aus Eigenvektoren. Da aber H⁰ der Hamiltonoperator eines freien Teilchens ist, gibt es keine echten Eigenvektoren und man muá mit den Impulsen arbeiten. Die Wellenfunktion zu den Impulseigenvektoren sind ebene Wellen

$$\langle \rangle \pi \vec{p}\, \vec{x}\,$$ (24)

wobei man $\vec{p}\,$ auf die dreidimensionale Deltafunktion normiert, d. h. $\langle$$\vec{p}{^\prime}$|$\vec{p}\,$$\rangle$ = $\delta_{3}^{}$$\vec{p}{^\prime}$-$\vec{p}\,$. Damit folgt f�r das S-Matrixelement in Impulsdarstellung $\bra$$\vec{p}\,$^$\prime$S$\vec{p}\,$, was oft schlicht als die S-Matrix bezeichnet wird. Der Vorteil der ebenen Wellen ist, daá sie eine brauchbare Basis f�r die Entwicklung der wahren Eigenzust„nde darstellen:

$$\psi \rangle \int \psi \ket$$ (25)

Damit ergibt sich die Energieerhaltung im Impulsraum zu

$$\bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\, \delta$$ (26)