5.4 $\alpha$-Zerfall

• Prozeá: šberwindung des Coulombwalls durch $\alpha$-Teilchen (=He-Kern) durch Durchtunneln des Potentials
• H”he des Coulombwalls:
  

  $$V_C = {Z_1 Z_2 e^2 \over r_0 (A_1^{1 \over 3} + A_2^{1 \over 3})} = {Z_1 Z_2 e^2 \over R}$$ (51)

  
  
  ($\alpha$-Teilchen wird an den Restkern geklebt und spaltet sich von dort aus ab)
• Das $\alpha$-Teilchen muá mindestens die Energie V_C plus einen kinetischen Beitrag haben
• V_C und die kinetische Energie des $\alpha$-Teilchens im Kern treten nach dem Zerfall als kinetische Gesamtenergie des $\alpha$-Teilchens auf.
• Absch„tzung der n”tigen Separationsenergie aus der Massenformel.
• $\alpha$-Zerfall ist nur m”glich wenn sich zuvor im Kerninneren bereits ein alpha-Teilchen gebildet hat
• Wahrscheinlichkeit f�r den $\alpha$-Zerfall ist abh„ngig von

  1.

  Wahrscheinlichkeit daf�r, daá sich ein $\alpha$-Teilchen bildet = reduzierte Zerfallswahrscheinlichkeit. Ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit f�r

  (a)

  die Bildung eines $\alpha$-Teilchens: h„ngt stark von der Konfiguration des Kerns ab, daher schwer bestimmbar, meist aus der Halbwertszeit experimentell ermittelt.

  (b)

  das Auftreffen auf den Potentialrand: ergibt sich im wesentlichen aus dem Kernradius und der kinetischen Energie des $\alpha$Teilchens

  2.

  Wahrscheinlichkeit f�r das Durchtunneln des Potentialwall Transmissionskoeffizient

  Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt aus beiden
• Transmissionskoeffizient:
  

  $$T = {j_a \over j_e} = {\vert\psi_a\vert^2 v_a \over \vert\p... ...v_e} = {\vert\psi_a\vert^2 k_a \over \vert\psi_e\vert^2 k_e}$$ (52)

  
  

L”sung des Problems:

• L”sung der statischen Schr”dingergleichung mit Potential V(r) = V_C
• 3D-Zentralpotential: Separationsansatz:
  

  $$\psi_(r,\theta,\phi) = R(r) Y_{lm}(\theta,\phi)$$ (53)

  
  

• Substitution: u(r) = r R(r) und L”sung f�r u(r)
• Potential:
  

  $$V = V(r) + {l(l+1) \hbar^2 \over 2 m r^2}$$ (54)

  
  

• Im inneren konstantes Potential
• Anschluábedinungen: Stetigkeit der Wellenfunktion $\psi_1 = \psi_2 \wedge \psi_1' = \psi_2'$ an der ersten Grenze sowie $\psi_2 = \psi_3 \wedge \psi_2' = \psi_3'$
• Daraus bestimmbar: Amplitudenverh„ltnisse von je zwei Amplituden. Wichtig f�r Transmission:
  

  $$T={\vert\alpha_3\vert^2 \over \vert\alpha_1\vert^2}$$ (55)

  
  

• Aus der Potentialform: Zentrifugalbarriere = Herabsetzen der šbergangswahrscheinlichkeit f�r $l \uparrow$ insbesondere $l \neq 0$
• Da
  

  $$T = {\int j_a r^2 d\Omega \over \int j_e r^2 d\Omega} = {k_... ...over k_e \vert u_e\vert^2 \int \vert Y_{lm}\vert^2 d\Omega }$$ (56)

  
  
  ist die L”sung des 1-D-Problems ausreichend (Normierung der Y_lm!)
• F�r den $\alpha$-Zerfall gilt n„herungsweise die Dicke Barriere mit einem reinen Coulbomb-Potential. Es ist dann
  

  $$T_{\alpha} = e^{-G}$$ (57)

  $$\mbox{mit } G = {2 \sqrt{2m} \over \hbar} \int_R^{R'} \sqrt{{Z_1 Z_2 e^2 \over r}-E}dr$$ (58)

  
  
  G heiát Gamow-Faktor
• F�r das Integral findet man:
  

  $$G = {2 \over \hbar} \sqrt{2m \over E} Z_1 Z_2 e^2 \gamma(x)$$ (59)

  
  
  mit $\gamma(x) = \mathrm{arccos} \sqrt{x} -\sqrt{x(1-x)}$ und $x= {R \over R'} = {E \over V_C}$ (ist tabelliert)
• Gamow-Faktor f„llt mit der $\alpha$-Energie stark ab sinkende Halbwertszeiten:
  

  $$\ln(t_{\einhalb}) \propto G \propto {1 \over \sqrt{E_{\alpha}}}$$ (60)

  
  

• Geiger-Nutallsche Regel: Man erh„lt n„herungsweise eine Gerade wenn man $\ln(t_{\einhalb})$ gegen den Kehrwert der Wurzel aus der Reichweite (=Energie) der $\alpha$-Teilchen auftr„gt