5.2 Gesetze f�r Zerfallsreihen

• Zerfallskonstanten werden zur Gesamtkonstante addiert: $\lambda = \sum_i \lambda_i$
• Zerfallsbreiten werden zur Gesamtbreite addiert $\Gamma = \sum_i \Gamma_i$
• Aktivit„t f�r Zerf„lle infolge der k-ten Alternative
  

  $$A_k = {dN_k \over dt} = \lambda_k N = \lambda_k N_0 e^{-\lambda t}$$ (39)

  $$\Rightarrow N = (\lambda N) {1 \over \lambda} = -{dN \over dt} \tau$$ (40)

  
  

• Zerfallsreihe: $N_1 \stackrel{\lambda_1} {\rightarrow} N_2 \stackrel{\lambda_2}{\rightarrow} N_3 \cdots N_k$ Differentialgleichungssystem
  

  $$\dot{N}_i = \lambda_{i-1} N_{i-1} - \lambda_i N_i$$ (41)

  
  
  L”sungsansatz:
  

  $$N_1 = C_{11} e^{-\lambda_1 t}$$ (42)

  $$N_2 = C_{12} e^{-\lambda_1 t} + C_{22} e^{-\lambda_2 t}$$ (43)

  $$\cdots$$ (44)

  $$N_k = C_{k1} e^{-\lambda_1 t} + \cdots + C_{kk} e^{-\lambda_k t}$$ (45)

  
  
  Rekursionsformel f�r $\bf\underline{i \neq j}$
  

  $$C_{ij} = C_{i-1, j} {\lambda_{i-1} \over \lambda_i - \lambda_j}$$ (46)

  
  
  Randbedingung f�r $\bf\underline{i=j}$:
  

  $$N_i(0) = C_{i1} + C_{i2} + \cdots + C_{ii}$$ (47)

  
  
  Beachte: Aktivit„ten beziehen sich auf Zerf„lle, d. h. auf $\lambda_i N_i$ nicht auf $dN_i \over dt$ Es gilt:

  1.

  Das Maximum der Tochteraktivit„t tritt im Schnittpunkt mit der Mutteraktivit„t auf

  2.

  dieser Punkt wird f�r t in der Gr”áenordnung des kleineren $\tau$ erreicht

  3.

  f�r groáe t ist der Aktivit„tsabfall durch das gr”áere $\tau$ bestimmt

• Anstieg der Aktivit„t bei konstanter Produktionsrate P:
  

  $$\left( {dN \over dt}\right) = -\lambda N + P$$ (48)

  $$\Rightarrow \lambda N(t) = A(t) = P (1-e^{-\lambda t})$$ (49)