5.4.1 Allgemeines

• Definition: Stationäre Schördingergleichung in Ortsdarstellung: Erwartungswerte der Operatoren sind zeitunabhänig

  
  

  $$-{\hbar^2 \over 2 m} \psi''(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$$ (5.37)

  
  

• Definition: Wahrscheinlichkeitsdichte
  

  $$\varrho_p = \left\vert \psi(\vec{r},t) \right\vert^2 \stackrel{\mathrm{hier}}{=} \left\vert \psi(x) \right\vert^2$$ (5.38)

  
  

• Definition: Potential: V(x) Wenn V(x) reell ist (physikalisches Potential), kann auch $\psi(x)$ reell gewählt werden

• Die Schrödingergleichung beschreibt ein Teilchen der Masse m im Potential V(x)

• Unterschied zur klassischen Mechanik: Durch die Normierungsbedingung $\int dx \vert\psi(x)\vert^2$ werden die möglichen Energieeigenwerte quantisiert.

• Lösungen, deren Energie minimal vom Energieeigenwert der Schrödingergleichung abweichen explodieren exponentiell für $x \rightarrow \infty$

• Symmetrische Potentiale V(x) = V(-x) führen zu symmetrischen Lösungen $\psi(x) = \pm \psi(-x)$, wobei das Vorzeichen mit wachsendem Energieeigenwert abwechselt

• Grundzustand: symmetrisch ( $\psi_0(x) = \psi_0(-x)$) und hat keine Nullstelle

• Für jeden Eigenwert oberhalb des Grundzustandes kommt ein Knoten in der Wellenfunktion hinzu Knotenzahl = Nummer des Energieniveaus

Im folgenden Betrachte als Beispiel den anharmonischen Oszillator . Für ihn gilt die Schrödingergleichung

$$\psi''(x) + (-x^2 - \lambda x^4 + 2 E) \psi(x) = 0$$ (5.39)

(in dimensionsloser Form, d.h. Energie E und Ort x in Einheiten $\hbar \omega$ bzw. $\sqrt{{\hbar \over m \omega}}$). Die Eigenwerte des ungestörten Oszillators sind bekannt und relativ zur Ruheenergie $E_0 = \einhalb$ gegeben durch

$$E_n^0 = n + \einhalb \ \ \ \ \ \mbox{mit } n=0,1,2,\cdots$$ (5.40)