5.2.2 Mittelpunktsmethode - modifiziertes Eulerverfahren

• Für einen Euler-Schritt gilt:
  

  $$y_{n+1} = y_n + \underbrace{h}_{\mathrm{Schrittweite}} \underbrace{f(x_n, y_n)}_{=y'(x)}$$ (5.14)

  
  
  und damit ein Fehler $\Order(h^2)$
• ''Testschritt'' in die Mitte: d.h.

  1.

  Berechne die Steigung am Startpunkt = f(x,y) damit k₁ = h f(x_n,y_n)

  2.

  Mache einen Schritt in die Mitte des Intervalls in Richtung dieser Steigung zum Punkt $(x_n + \einhalb, y_n + \einhalb k_1)$

  3.

  Berechne die Steigung an diesem Punkt $= f(x_n + \einhalb, y_n + \einhalb k_1)$

  4.

  mache den gesamten Schritt mit der eben berechneten Steigung in der Mitte des Invervalls

• In Gleichungen:
  

  k₁ = h f(x_n, y_n)

  $$\Delta y_1$$ = (5.15)

  $$h f(x_n + \einhalb h, y_n + \einhalb k_1)$$ k₂ =

  $$\Delta y_2$$ = (5.16)

  $$y_n + k_2 + \Order(h^3)$$ y_n+1 = (5.17)

  
  

• Fehler dieser Methode: $\Order(h^3)$ Runge-Kutta 2. Ordnung
• Nur zwei Berechnungen on f(x,y) nötig