7.1.2 H₂' = ${1 \over 2 m^2 c^2}$${1 \over r}$${dV \over dr}$$\vec{L}\,$ ^. $\vec{S}\,$ (Spin-Bahn-Kopplung)

$$\xi$$ Substitutions (170)

$$\xi {1 \over 2 m^2 c^2} {1\over r} {dV \over dr} \underbrace{{1 \over 2m^2 c^2} {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r^3}}_{\mbox{f�r Coulombpotential}}^{}\,$$ (171)

Da L² nicht auf r operiert kommutiet es mit allen Komponenten von L und auch mit H₂', H₂' verbindet also keine Zust„nde mit verschiednen Drehimpulsquantenzahlen l. Man muá zur L”sung also eine 2(2l + 1) x 2(2l + 1)-Matrix diagonalisieren. Zur Vereinfachung benutzt man eine Darstellung der Wellenfunktionen in einer Basis in der L ^. S bereits diagonal ist.

$\Rightarrow$ Einf�hrung des Gesamtdrehimpulses

J = L + S Gesamtdrehimpuls (172)

J² = L² + S² + 2L ^. S und daraus (173)

$${1\over 2}$$ (174)

mit den Eigenwerten: (175)

$$\rightarrow \hbar^{2}_{}$$ (176)

$$\rightarrow \hbar^{2}_{}$$ (177)

$$\rightarrow \hbar^{2}_{}$$ (178)

$$\rightarrow \hbar$$ (179)

$$\mbox{bzw. hier mit Spin $1 \over 2$}$$ (180)

$$\pm {1\over 2} \neq$$ (181)

$${1\over 2}$$ l = 0 (182)

In der neuen Basis ist die St”rung bereits diagonal, die zugeh”rigen Wellenfunktionen erg„ben sich mit Hilfe der Clebsch-Gordon-Koeffizienten zu

$$\rangle \sum_{m_l, m_s}^{} \underbrace{\langle l s m_l m_s\vert j m_j\rangle }_{\mbox{Clebsch-Gordon}}^{}\, \rangle$$ (183)

Da in dieser Basis die St”rung H₂' bereits diagonal ist gilt f�r die Energieverschiebung:

$$\Delta \left<\vphantom{ \psi_{nljm_j} \vert {1\over 2} \xi [J^2 - L^2 - S^2] \vert \psi_{nljm_j} }\right. \psi_{nljm_j}^{} {1\over 2} \xi \psi_{nljm_j}^{} \left.\vphantom{ \psi_{nljm_j} \vert {1\over 2} \xi [J^2 - L^2 - S^2] \vert \psi_{nljm_j} }\right>$$ (184)

$${\hbar^2 \over 2} \left<\vphantom{ \xi }\right. \xi \left.\vphantom{ \xi }\right> \left[\vphantom{ j(j+1) - l(l+1) - \underbrace{s(s+1)}_{={3\over 4}} }\right. \underbrace{s(s+1)}_{={3\over 4}}^{}\, \left.\vphantom{ j(j+1) - l(l+1) - \underbrace{s(s+1)}_{={3\over 4}} }\right]$$ (185)

$$\langle \xi \rangle {1 \over 2 m^2 c^2} \left(\vphantom{ {Ze^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} }\right. {Ze^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} \left.\vphantom{ {Ze^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} }\right) \left<\vphantom{ {1\over r^3} }\right. {1\over r^3} \left.\vphantom{ {1 \over r^3} }\right>$$ (186)

F�r l=0 verschwindet die Spin-Bahn-Wechselwirkung, die Energiekorrektur ist 0.