7.1.1 H₁' = - ${p^4 \over 8m^3 c^2}$ (relativistische Korrektur)

• Entartete St”rungsrechnung n”tig
• H₁' operiert nicht auf den Spinvariablen
• H₁' kommutiert mit den Bahndrehimpulskomponenten
• Energiekorrektur in 1. Ordnung

  $$\Delta \left<\vphantom{ \psi_{nlm_l} \vert - {p^4 \over 8m^3 c^2} \vert \psi_{nlm_l}}\right. \psi_{nlm_l}^{} {p^4 \over 8 m^3 c^2} \psi_{nlm_l}^{} \left.\vphantom{ \psi_{nlm_l} \vert - {p^4 \over 8m^3 c^2} \vert \psi_{nlm_l}}\right\rangle {1 \over 2mc^2} \langle \psi_{nlm_l}^{} \psi_{nlm_l}^{} \rangle$$ (166)

  wo T die kinetische Energie ist: T = H₀ + ${Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}$
• Einsetzen von T liefert:
  

  $$\Delta {1 \over 2mc^2} \left<\vphantom{ \psi_{nlm_l} \vert \left( H_0 + {Z e^2 \over 4\p... ...ft( H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right) \vert \psi_{nlm_l}}\right. \psi_{nlm_l}^{} \left(\vphantom{ H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right. {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{ H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right) \left(\vphantom{ H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right. {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{ H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right) \psi_{nlm_l}^{} \left.\vphantom{ \psi_{nlm_l} \vert \left( H_0 + {Z e^2 \over 4\p... ...ft( H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right) \vert \psi_{nlm_l}}\right>$$ mit Eigenwerten (167)

  $$\Rightarrow {1 \over 2mc^2} \left[\vphantom{ E_n^2 + 2 E_n \left( {Z e^2 \over 4\pi \varepsil... ... e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right)^2 \left< {1\over r^2} \right> }\right. \left(\vphantom{ {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right. {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{ {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right) \left<\vphantom{ {1\over r} }\right. {1\over r} \left.\vphantom{ {1\over r} }\right>_{nlm_l}^{} \left(\vphantom{ {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right. {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{ {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right)^{2}_{} \left<\vphantom{ {1\over r^2} }\right. {1\over r^2} \left.\vphantom{ {1\over r^2} }\right> \left.\vphantom{ E_n^2 + 2 E_n \left( {Z e^2 \over 4\pi \varepsil... ... e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right)^2 \left< {1\over r^2} \right> }\right]$$ (168)

  
  

• Einsetzen der Energiewerte f�r das ungest”rte H-Atom liefert:

  $$\Delta {(Z\alpha)^2 \over n^2} \left[\vphantom{ {3\over 4}- {n \over l + {1\over 2}} }\right. {3\over 4} {n \over l + {1\over 2}} \left.\vphantom{ {3\over 4}- {n \over l + {1\over 2}} }\right]$$ (169)