6.1 Grundgleichungen

$$\nabla \phi {\partial \over \partial t}$$ A: Vektorpotential, erf�llt die Wellengleichung (121)

$$\nabla$$ Magnetfeld (122)

$$\nabla$$ Coulomb-Eichung (123)

$$\phi$$ im leeren Raum (124)

$$\vec{A}\, \int_{\Delta \omega}^{} \omega \hat{\varepsilon} \vec{k}\, \vec{r}\, \omega \delta_{\omega}^{} \hat{\varepsilon}$$ (125)

$${E \times B \over \mu_0}$$ Pointingvektor = Energiefluá pro Einheitsfl„che (126)

$${1 \over 2m} \vec{p}\, \vec{A}\, \phi$$ Hamilton f�r geladenes Spinloses Teilchen im Feld (127)

$$\hbar {\partial \over \partial t} \Psi \left[\vphantom{{1\over 2m} (-i \hbar \nabla + e A)^2 - {Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} }\right. {1 \over 2m} \hbar \nabla {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{{1\over 2m} (-i \hbar \nabla + e A)^2 - {Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} }\right] \Psi$$ Wechselwirkung mit EM-Feld = St”rung (128)

$$\left[\vphantom{ ... }\right. \left.\vphantom{ ... }\right] \left[\vphantom{ -p^2 - {Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} - {i \hbar e \over m} \vec{A} \cdot \nabla + {e^2 \over 2m} A^2 }\right. {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} {i \hbar e \over m} \vec{A}\, \nabla {e^2 \over 2m} \left.\vphantom{ -p^2 - {Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} - {i \hbar e \over m} \vec{A} \cdot \nabla + {e^2 \over 2m} A^2 }\right]$$ aus Coulombeichung! (129)

$${i \hbar e \over m} \vec{A}\, \nabla$$ St”roperator (130)

F�r Geladene Teilchen im Elektromagnetischen-Feld:

• Ber�cksichtigung des Kerns kann vernachl„ssigt werden, solange M_Kern $\gg$ m_e^-
• aus gleichem Grund Vernachl„ssgung der reduzierten Masse
• A² wird vernachl„ssigt obwohl die Photonendichte hoch genug sein soll, um das Feld als Kontinuierlich betrachten zu k”nnen.
• Das ist gleichwertig mit der Annahme, daá pro Zeit nur ein Photon absorbiert oder emittiert wird (falsch in groáen koh„renten Feldern, z. B. Laser!)
• L”sung mit Zeitabh„ngiger St”rungsrechnung. Ansatz:
  

  $$\Psi \sum_{k}^{} \psi_{k}^{} \over \hbar$$ Entwicklung (131)

  $$\leq \delta_{ka}^{}$$ Anfangszustand (132)

  $${e \over m} \int_{0}^{t} \langle \psi_{b}^{} \nabla \psi_{a}^{} \rangle \omega_{ba}$$ 1. Ordnung, wobei (133)

  $$\omega_{bk}^{} {E_b - E_k \over \hbar}$$ Bohrfrequenz (134)

  
  

• Einsetzen der Grundgleichungen liefert:
  

  $${e \over m} \int_{\Delta \omega}^{} \omega \omega$$ c_b⁽¹⁾(t) (135)

  $$\delta_{\omega} \langle \psi_{b}^{} \hat{\varepsilon} \nabla \psi_{a}^{} \rangle \int_{0}^{t} \omega_{ba} \omega$$ (136)

  $$\delta_{\omega} \langle \psi_{b}^{} \hat{\varepsilon} \nabla \psi_{a}^{} \rangle \int_{0}^{t} \omega_{ba} \omega$$ (137)

  
  
  • 1. Zeitintegral ist vernachl„ssigbar auáer f�r $\omega_{ba}^{}$ = $\omega$ oder E_b = E_a + $\hbar$$\omega$ $\Rightarrow$ Absorption
  • 2. Zeitintegral ist vernachl„ssigbar auáer f�r $\omega_{ba}^{}$ = - $\omega$ oder E_b = E_a - $\hbar$$\omega$ $\Rightarrow$ Emission
• Details zu Absorption und Emission s. a. Zeitabh„ngige St”rungsrechnung (4.10.2).
• Raten: Absorptionsrate = stimulierter Emissionsrate
• Stimulierte Emission ist die exakte Umkehrung der Absorption:

  $${4 \pi^2 \over m^2 c} \left(\vphantom{ {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} }\right. {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} \left.\vphantom{ {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0} }\right) {I(\omega_{ba})\over \omega_{ba}^2}$$ (138)

  mit dem Matrixelement M_ba = $\langle$$\psi_{b}^{}$| e^{i$\vec{k}\,$ . $\vec{r}\,$}$\varepsilon$ ^. $\nabla$|$\psi_{a}^{}$$\rangle$ mit $\psi_{b}^{}$,$\psi_{a}^{}$ End- und Anfangszustand des šbergangs.
• Gleichgewichtsprinzip : In einem Atomsample im Gleichgewicht finden genauso viele Absorptionen wie simulierte Emissionen statt.
• Wirkungsquerschnitte: Rate durch Intensit„t
• Intensit„t der stimulierten Emission normalerweise geringer als die der Absorption, da der niedrigere Energielevel st„rker bev”lkert ist, als der hohe (Boltzmannfaktor ). $\Rightarrow$ Besetzungsinversion f�r Laser und Maser
• Spontane Vorg„nge m�ssen durch die Quantenelektrodynamik beschrieben werden.