5. Einelektronenatome

$${p^2 \over 2 \mu} {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}$$ Hamilton-Operator im Schwerpunktssystem (107)

$$\left[\vphantom{ -{h^2 \over 2 \mu} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right. {h^2 \over 2 \mu} \nabla^{2}_{} {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \left.\vphantom{ -{h^2 \over 2 \mu} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} }\right] \psi \psi$$ Schr”dingergleichung (108)

• Zentralpotential $\Rightarrow$ Separation der Wellenfunktion in Radial- und Winkelanteil m”glich (Potential ist unabh„ngig von den Winkeln!).
• Winkelanteil = Kugelfl„chenfunktionen zu den Quantenzahlen l und m
• mit $\psi_{E,l,m}^{}$(r,$\theta$,$\phi$) = R_{E, l}(r)Y_lm($\theta$,$\phi$) gilt f�r die Radialwellenfunktion die Gleichung
  $$\left[\vphantom{ -{\hbar^2 \over 2 \mu} \left[ {1\over r^2} {d\ov... ...\right) - {l(l+1)\over r^2} \right] - {Ze^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}}\right.$$ - $${\hbar^2 \over 2 \mu}$$$$\left[\vphantom{ {1\over r^2} {d\over dr} \left( r^2 {d\over dr} \right) - {l(l+1)\over r^2} }\right.$$$${1\over r^2}$$$${d\over dr}$$$$\left(\vphantom{ r^2 {d\over dr} }\right.$$r²$${d\over dr}$$ $$\left.\vphantom{ r^2 {d\over dr} }\right)$$ - $${l(l+1)\over r^2}$$ $$\left.\vphantom{ {1\over r^2} {d\over dr} \left( r^2 {d\over dr} \right) - {l(l+1)\over r^2} }\right]$$ - $${Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}$$ $$\left.\vphantom{ -{\hbar^2 \over 2 \mu} \left[ {1\over r^2} {d\ov... ...\right) - {l(l+1)\over r^2} \right] - {Ze^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}}\right]$$R_{E, l}(r) = ER_{E, l}(r)

• Substitution: u(r) = rR_{E, l}(r) f�hrt auf das effektive Potential
  V_eff(r) = $$\underbrace{- {Ze^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}}_{\mbox{Coulombpotential}}^{}\,$$ + $$\underbrace{{l(l+1) \hbar^2 \over 2 \mu r^2}}_{\mbox{Zentrifugalbarriere}}^{}\,$$

• $\Rightarrow$ Oszillatorisches Verhalten f�r E > 0
• $\Rightarrow$ Stabile L”sungen f�r E < 0
• Substitutionen:
  

  $$\rho \sqrt{-{8\mu E \over \hbar^2}}$$ (109)

  $$\lambda \underbrace{e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 \hbar}_{=\alpha c}^{}\, \sqrt{\mu c^2 \over 2 E}$$ (110)

  
  

• L”sung mit Sommerfeld:
  • L”sung an den Asymptoten
  • L”sung an den Polen
  • Ansatz mit Potenzreihe
  • Potenzreihe muá abbrechen
• $\Rightarrow$ $\lambda$ = n mit n=1,2,...
• Einsetzen von $\lambda$ liefert die Energieeigenwerte
  E_n = - $${e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 a_{\mu}}$$$${Z^2 \over 2 n^2}$$ = - $${1\over 2}$$$$\mu$$c²$${(Z\alpha)^2 \over n^2}$$
  mit a_$\mu$ = a₀${m \over \mu}$, $\alpha$ = Feinstrukturkonstante
• Dieses Ergebnis entspricht exakt dem von Bohr
• Coulombpotential: Unendliche Anzahl diskreter Energielevel
• Energieeigenwerte h„ngen nur von n ab $\rightarrow$ n-fache Entartung in l und m vom Grad n² (gilt in m f�r alle Zentralpotentiale, in l nur f�r Coulomb)
• Entartung in l wird durch Abweichungen in der r-Abh„ngigkeit aufgehoben
• Entartung in m wird z. B. durch Magnetfelder aufgehoben
• Nomenklatur : Hauptquantenzahl als Zahl, Nebenquantenzahl l als Buchstabe (s, p, d, f, g, h...)
• Auswahlregeln f�r šberg„nge:
  

  $$\Delta$$ (111)

  $$\Delta \pm$$ (112)

  $$\Delta \pm$$ (113)

  $$\Delta \pm$$ (114)