4.3 Schr”digergleichung

$$\hbar {\partial \over \partial t} \Psi \underbrace{-{\hbar^2 \over 2m} \nabla^2}_{={1\over 2m}\vec{p_{op}}^2}^{}\, \Psi$$ f�r ein freies Teilchen (44)

$$\hbar {\partial \over \partial t} \Psi \left(\vphantom{ -{\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 + V }\right. {\hbar^2 \over 2m} \nabla^{2}_{} \left.\vphantom{ -{\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 + V }\right) \Psi \underbrace{(T+V)\Psi}_{= H \Psi}^{}\,$$ f�r ein Teilchen im Potential V (45)

Eigenschaften:

• Linear in t $\Rightarrow$ Superpositionsprinzip
• Superpositionsprinzip $\Rightarrow$ Wellennatur der Materie
• Interferenzeffekte der de Broglie-Wellen
• 1. Ordnung in der Zeit $\Rightarrow$ Angabe des Zustandes zu einem Zeitpunkt erm”glich die Berechnung zu einem beliebigen anderen
• H„ngt das Potential nicht explizit von der Zeit ab, dann kann man zur L”sung die Zeitunabh„ngie Schr”digergleichung benutzen, man erh„lt station„re L”sungen

F�r nicht explizit Zeitabh„ngige Observable gilt:

$${d\over dt}$$$$\langle$$A$$\rangle$$ = $$\underbrace{\left<{\partial A \over \partial t} \right>}_{=0}^{}\,$$ + $${1 \over i \hbar}$$$$\langle$$[A, H]$$\rangle$$