4.1 Entropie und Temperatur

10cmEin zusammengesetztes Thermodynamisches System befindet sich im Gleichgewicht (=Maximum seiner Entropie), wenn alle thermisch nicht isolierten Untersysteme die gleiche Temperatur haben.

A⁽⁰⁾: Gesamtsystem

E⁽⁰⁾: Energie des Gesamtsystems

Untersysteme: A, A'

Hamiltonoperator: H⁽⁰⁾ = H + H' + H_i

H_i: Thermische Wechselwirkung der Untersysteme

Sei H_i klein, so daá gilt E⁽⁰⁾ = E + E' = const.

$\Omega$ (E): Zahl der Zust„nde, die A zug„nglich sind

$\Omega{^\prime}$ (E): Zahl der Zust„nde, die A' zug„nglich sind

$\Omega^{(0)}_{}$ (E): Zahl der dem Gesamtsystem zug„nglichen Zust„nde. Es gilt

$\displaystyle \Omega^{(0)}_{}$ (E) = $\displaystyle \Omega$ (E) $\displaystyle \Omega{^\prime}$ (E) = $\displaystyle \Omega$ (E) $\displaystyle \Omega{^\prime}$ (E⁽⁰⁾ - E)

(38)

$\Omega_{tot}^{(0)}$ : Gesamtzahl aller dem System A⁽⁰⁾ zug„nglichen Zust„nde aus Summation ber E:

$\displaystyle \Omega_{tot}^{(0)}$ = $\displaystyle \sum_{0\leq E}^{E^{(0)}}$ $\displaystyle \Omega^{(0)}_{}$ (E)

(39)

Im Gleichgewicht gilt dann fr die Wahrscheinlichkeit, A⁽⁰⁾ in einem Zustand anzutreffen in dem A eine Energie zwischen E und E + $\delta$ E hat:

P(E) = $\displaystyle {\Omega^{(0)}(E) \over \Omega_{tot}^{(0)}}$ = $\displaystyle {1 \over \Omega_{tot}^{(0)}}$ $\displaystyle \Omega$ (E) $\displaystyle \Omega{^\prime}$ (E)

(40)

Suche das Maximum von P(E), also den Wahrscheinlichsten Zustand:

$\displaystyle {d \over dE}$ P(E) = ^... = P(E) $\displaystyle \left[\vphantom{ {d \over dE} \ln(\Omega(E)) - {d \over d(E^{(0)} - E)} \ln(\Omega'(E^{(0)}-E)) }\right.$ $\displaystyle {d \over dE}$ ln( $\displaystyle \Omega$ (E)) - $\displaystyle {d \over d(E^{(0)} - E)}$ ln( $\displaystyle \Omega{^\prime}$ (E⁽⁰⁾ - E)) $\displaystyle \left.\vphantom{ {d \over dE} \ln(\Omega(E)) - {d \over d(E^{(0)} - E)} \ln(\Omega'(E^{(0)}-E)) }\right]$ = 0

(41)

Zweite Ableitung in der Klammer: WARUM???

$\displaystyle \beta$ (E) = $\displaystyle {\partial \ln(\Omega(E)) \over \partial E}$

(42)

(Partielle Ableitung nur um deutlich zu machen, daá andere Externe Parameter konstant sind)

Damit Maximumsbedinung:

$\displaystyle \beta$ (E) = $\displaystyle \beta{^\prime}$ (E')

(43)

T	=	$\displaystyle {1 \over k_B \beta}$	(44)
S	=	k_Bln( $\displaystyle \Omega$ (E))	(45)

Neue Maximumsbedinung:

$\displaystyle {1 \over T}$ = $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial E}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial E}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial E}}\right\vert _{\hat{E}}^{}$ = $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S' \over \partial E'}}\right.$ $\displaystyle {\partial S' \over \partial E'}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S' \over \partial E'}}\right\vert _{\hat{E}}^{}$ = $\displaystyle {1 \over T'}$

(46)

d. h. im Gleichgewicht sind die Temperaturen und Entropien beider Systeme gleich.

Sch„rfe des Maximums: aus 2. Ableitung. Man findet, daá das Maximum ausgesprochen scharf ist, also im thermodynamischen Gleichgewicht keine Abweichungen von $\hat{E}$ auftreten

S⁽⁰⁾ = S + S', die Entropie ist also eine extensive Gr”áe. (Auch aus frherer Definition, weil Q extensiv ist, ist S = ${\delta Q \over T}$ extensiv)

Statistische Definitionen fr Temperatur und Entropie 10cm

S	=	kln( $\displaystyle \Omega$ (E))	(47)
T	=	$\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial U \over \partial S} = {1 \over k} {\partial E \over \partial \ln(\Omega(E))} }\right.$ $\displaystyle {\partial U \over \partial S}$ = $\displaystyle {1 \over k}$ $\displaystyle {\partial E \over \partial \ln(\Omega(E))}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial U \over \partial S} = {1 \over k} {\partial E \over \partial \ln(\Omega(E))} }\right\vert _{\hat{E}=U}^{}$	(48)