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\title{Zusammenfassung Kernphysik}
\author{Alexander Wagner}
\date{22 Mar 1999 }

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\begin{document}


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\maketitle

\pagestyle{myheadings}

% Kopfzeilentext rechts
\markright{ }

%============== Dokument Begin =====================================


\section{Eigenschaften stabiler Kerne}

\subsection{Kernradien}

\dframebox{$R= r_0 A^{1 \over 3}$}

mit $r_0 = 1.3\cdot 10^{-13}$cm = 1.3 fm
\begin{Folgerungen}
   \item Konstante Dichte der Kernmaterie (ca. $10^{14} {g \over
cm^3}$).
   \item Trotz Unsch�rfe relativ scharfer Rand: Begrenzte Reichweite
der Kernkr�fe
\end{Folgerungen}

Methoden zur \nfindex{Radiusbestimmung}:
\begin{itemize}
   \item Streuung hochenergetischer Elektronen am Kern
   \item Spektren myonischer Atome
   \item Streuung geladener Teilchen und Neutronen am Kern
\end{itemize}

\subsubsection{\nfindex{Streuung hochenergetischer Elektronen}}

Ziel: \bfindex{Ladungsverteilung} des Kerns, da Elektronen die
Kernkr�fte nicht sp�ren

Vorteil von Elektronen: hohe Aufl�sung, da 500 MeV \entspr
$\bared{\lambda} = 0.4 fm$

F�r die Winkelverteilung der Elektronen ergibt sich:

\begin{eqnarray}
\left( {d\sigma \over d\Omega}\right) = \left( {d\sigma \over
d\Omega}\right)_{\mathrm{Punkt}} F^2(q) \\
\mbox{mit} F^2(q) = \left| {1\over e} \int \rho(r) e^{{i\over \hbar
} \vec{q}\cdot \vec{r}}\right|
\end{eqnarray}

wo $\vec{q}$ der \nfindex{Impuls�bertrag} ist.  $F^2(q)$ hei�t
\bfindex{Formfaktor}.  Der Formfaktor ist also die
Fouriertransformierte der \nfindex{Ladungsdichteverteilung}.  Die
Bestimmung der Ladungsverteilung aus dem Formfaktor ist meist nicht
m�glich, da nur in einem begrenzten Intervall gemessen werden kann.
Daher:  Anpassen einer Modellverteilung z. B.
\emindex{Fermi-Verteilung}

Weitere \emindex{Radiusdefinitionen}
\begin{itemize}
   \item Quadratisch gemittelter Radius: \index{Radius!quadratisch
gemittelter}
   \begin{equation}
   R_m^2 = \langle r^2 \rangle = \int_0^{\infty} r^2 \rho(r) 4\pi r^2 dr
   \end{equation}
   F�r kleine q kann nur diese Gr��e aus der Winkelverteilung
abgeleitet werden!
   \item Radius einer homogenen Kugel:  \index{Radius!homogene Kugel}
   \begin{equation}
    \langle r^2 \rangle = {3 \over 5} R_e^2
   \end{equation}
   \item Radius einer homogenen Vergleichskugel ($R_S$):
\index{Radius!homogene Vergleichskugel} wird auf eine Kugel der
Ladungsdichte $\rho_0$ bezogen.
\end{itemize}

Experimentell findet man (f�r $A>20$) eine Ladungsdichte $\rho(0)=0.17
{Ze \over A} fm^{-3}$, eine Randdicke $t=2.4 fm$ und $R_S = 1.128 A^{1
\over 3} fm$. Der einzige Radius der proportional zu $A^{1 \over 3}$
ist, ist $R_S$, d.h. diese Regel ist kein Naturgesetz!

\subsubsection{Spektren myonischer Atome}

\emindex{Myonisches Atom}: Atom mit einem Myon statt einem Elektron.
$\Rightarrow $ Bohrsche Bahn ca. $1\over 200$ der normalen
Elektronenbahn $\Rightarrow $ extrem hohe Ladungsdichten am Kernort,
ca. $200^3 \approx 8\cdot 10^6$ mal so gro� wie beim elektronischen
Atom. Durch die geringen Bahnradien: Merkbarer
\emindex{Volumeneffekt}!

\subsubsection{Streuung geladener Teilchen und Neutronen am Kern}

Bei hohen Streuenergien beobachtet man eine ausgepr�gte
\emindex{Beugungsstruktur} in den Winkelverteilungen, da der Kern wie
eine Kugel mit bestimmtem Brechungsindex wirkt. Die Form der
Winkelverteilung ist radiusabh�ngig. Man findet keinen Radius der
Ladungsverteilung, sondern den \bfindex{Potentialradius}.

\section{Kernmassen, Kernbausteine, Bindungsenergie}

\subsection{\bfindex{Massenspektrometer}}

\begin{itemize}
   \item Ionen durchlaufen Energie- und Impulsfilter
   \item $E=\einhalb m v^2$
   \item $p=mv$
   \item $\Rightarrow m = {p^2 \over 2 E}$
   \item Festlegung der Energie �ber E-Feld (Beschleunigungspannung!):
         $E=ZeU$, oder Umlauf im Zylinderkondensator: ${mv^2 \over
         \rho} = Z e \mathcal{E} \Rightarrow E = \einhalb Z e
         \mathcal{E} \rho$
   \item Impulsmessung �ber Magnetfeld: ${m v^2 \over \rho} = ZevB$
   \item $\Rightarrow $ nur Verh�ltnis Ze:m ist bestimmbar
   \item \emindex{Massenspektrograph}: Aufzeichnung eines
Massenspektrums auf einer Photoplatte (pro Messung alle Ionensorten)
   \item \emindex{Massenspektrometer}: Messung von Massen mittels
Durchfahren des Bereichs mit einem Photomultipiler o.�. (pro Messung
nur eine Ionensorte)
   \item H�chste Me�genauigkeit f�r Doppellinien zweier nahe
beieinander liegender Ionen (\emindex{Doublett-Methode}), da
   \begin{itemize}
   \item keine systematische Fehler
   \item Messung an bekannten Ionen
   \item Elektronenmasse (maximal $m_e$ Differenz)
   \end{itemize}
   \item relative Me�genauigkeit bis zu $1:10^8$
\end{itemize}

\subsection{\bfindex{Kernbausteine}}
\begin{itemize}
   \item Z: Protonenzahl, Kernladungszahl
   \item N: Neutronenzahl
   \item A: Nukleonenzahl $A = N + Z$
\end{itemize}

Postulat des Neutrons erfolgte vor seiner Entdeckung, da Kerne nicht
aus Protonen und Elektronen aufgebaut sein k�nnen, da z. B. $^{14}_7N$
einen ganzzahligen Spin hat, was sich mit 21 Fermionen nicht
realisieren l��t. Auch sollten Elektronen im Kern wegen der
Unsch�rferelation wesentlich gr��ere Energien haben, als beim
$\beta$-Zerfall beobachtet werden.

\subsection{\bfindex{Erhaltungss�tze}}
\begin{itemize}
   \item Nukleonenzahl (Antiteilchen z�hlen negativ)
   \item Ladung
\end{itemize}

{\bf Definitionen}
\begin{itemize}
   \item \emindex{Nuklid}: Atome mit gleichem Kern. Unterscheide:
   \item \emindex{Isotope}: Kerne mit gleichem Z aber verschiedenem N
   \item \emindex{Isotone}: Kerne mit gleichem N aber verschiedenem Z
   \item \emindex{Isobare}: Kerne mit gleicher Nukleonenzahl A
   \item \emindex{Element}: Kerne mit gleichem Z
   \item \emindex{Masseneinheit}: $1 m_u = {1 \over 12} m(C^{12})=
931,441 \pm 0.01 {MeV \over c^2}$
\end{itemize}

\subsection{\bf Eigenschaften der Kernbausteine}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Teilchen & Masse /u  & Masse $MeV \over c^2$ & Spin &
\nfindex{g-Faktor} & mittlere \nfindex{Lebensdauer} \\
\hline
\nfindex{Proton} & 1,00727647 & 938,272 & \einhalb & 5,5857 & $>
2\cdot 10^{31}a$ \\
\nfindex{Neutron} & 1,0086649 & 939,566 & \einhalb & -3,8261 & $(888,6
\pm 3,5)$s \\
\nfindex{Elektron} & $5,46560\cdot 10^{-4}$ & 0,510999 & \einhalb &
2,00232 & $> 2\cdot 10^{22}a$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Massenbestimmung des Neutrons}

\bfindex{Massenbilanz}:
\begin{equation}
_ZM^A_N = Z m_H + N m_n + {1 \over c^2} E_{\mathrm{Bindung}}
\end{equation}

mit $m_H$: Ruhemasse des Wasserstoff{\underline{atoms}}, $m_n$:
Neutronenmasse, $E_{\mathrm{Bindung}}$: \emindex{Bindungsenergie} =
\emindex{Massendefekt}

Neutronenquellen:
Geeignet sind ELemente mit einer niedrigen Bindungsenergie f�r das
letzte Neutron (\emindex{Separationsenergie}), z. B. $^9Be, ^{13}C$.
Die Separationsenergie ist gegeben durch
\begin{equation}
S_n(Z,N) = \left[ m(Z,N-1) + m_n - m(Z,N)\right]c^2 = B(Z,N) -
B(Z,N-1)
\end{equation}
Die Separationsenergien reichen von wenigen MeV bis zu 20 MeV.
Auff�llige Gesetzm��igkeiten:
\begin{itemize}
   \item Kerne mit gerader Neutronenzahl haben wesentlich h�here
Separationsenergien als Nachbarkerne mit ungerader Neutronenzahl
$\Rightarrow $ \bfindex{Paarungsenergie}
   \item entsprechendes gilt f�r die Protonen
   \item Die Paarungsenergie liegt in der Gr��enordung von 2 MeV
   \item Charakteristische Spr�nge in der Bindungsenergie (ohne
Betrachtung der Paarungsenergie): 2, 8, 20, 50, 82, 126 $\Rightarrow $
\bfindex{Magische Zahlen}
\end{itemize}

Bestimmung der Neutronenmasse erfolgt aus Messung der $\gamma$-Energie
die f�r

\begin{equation}
^2_1D + \gamma \rightarrow _0^1 n + ^1_1H
\end{equation}

n�tig ist. Ber�cksichtige Elektronenmasse in Wasserstoff und
Deuterium! Analog erfolgt die Massenbestimmung instabiler Kerne �ber
die Zerfallskinematik. Bei Messungen �ber mehrere Verfahren ist eine
Ausgleichsrechung n�tig.

\subsection{\nfindex{Bindungsenergie pro Nukleon}}

\begin{itemize}
   \item F�r kleine A: starke Schwankungen
   \item F�r $A > 30$: $B \propto A$
   \item Deuteron: extrem niedrige Bindungsenergie (ca. 1.1 MeV)
   \item $\alpha$-Teilchen: $E_B \approx 7.1 MeV$ extrem hoch
   \item Maximum f�r $A\approx 60$
   \item Energiegewinn durch Spaltung schwerer oder Fusion leichter
         Kerne
   \item Aus der Konstanz von B/A folgt, da� die Kernkr�fte Paarkr�fte
         sein m�ssen (bei Wechselwirkung jedes Nukleons mit jedem
         anderen w�re $B/A \propto A^2$)
   \item Austauschteilchen: \emindex{Pion} (\nfindex{$\pi$-Meson})
         Postuliert von Yukawa 1935, Gefunden von Powel 1946
   \item \bfindex{Yukawa-Potential}:
   \begin{equation}
   V(r) = g {1 \over r} e^{{- m_{\pi} c \over \hbar} r}
   \end{equation}
   \item Comptonwellenl�nge des Pions: $\bared{\lambda}_{\pi} =
{\hbar \over m_{\pi} c}$
   \item Reichweite der Kernkr�fte: (Unsch�rferelation, Pionenmasse):
   $\Delta E = m_{\pi} c^2 \Rightarrow \Delta t \Rightarrow r=1,4 fm$
   \item  \bfindex{Q-Wert}: $Q = S_n - S_{\alpha}$ z. B. f�r
Reaktionen $^{10}B (n, \alpha) ^7Li$
\end{itemize}

\dframebox{\bf \em Bei allen Massenbetrachtungen werden die Elektronen
mitgez�hlt!}

\section{Kernmodelle}

\subsection{\nfindex{Fermigasmodell}}

Voraussetzung: Unabh�ngige, nicht miteinander wechselwirkende
Teilchen. D. h. Nukleon bewegt sich in einem mittleren Potential, die
Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung wird vernachl�ssigt.

Einfaches Modell: nichtwechselwirkende Spin-\einhalb-Teilchen in einem
3D-Potentialkasten mit unendlich hohen W�nden bei $r=R$. L�sung der
Sch�rdingergleichung liefert

\begin{eqnarray}
\mbox{Wellenfunktionen: }& X^+_{\lambda} = {2 \over \sqrt{2a}}
\cos(k_{\lambda}^+
x) & X^-_{\lambda} = {2i \over \sqrt{2a}} \sin(k_{\lambda}^- x) \\
\mbox{mit } & k_{\lambda}^+ = {\pi \lambda^+ \over a} &
k_{\lambda}^- = {\pi \lambda^- \over a} \\
\mbox{wobei }& \lambda^+ = 1,3,5... & \lambda^- = 0,2,4...\\
\mbox{Energie }& E_x = {\hbar \over 2m} k_{\lambda}^2 & \mbox{y,z
analog} \\
\mbox{Impuls } & p^2 = 2 m E
\end{eqnarray}

Betrachte nun im Phasenraum die Anzahl der Energieeigenwerte in einer
Kugel mit Radius r, d.h.  das Integral der \nfindex{Zustandsdichte}.
Die Zahl der Zust�nde im Volumen $L\cdot p$ ist quantenmechanisch
gegeben durch:

\begin{equation}
N = {L p \over 2 \pi \hbar} = {L p \over h}
\end{equation}

Mit $E={p^2 \over 2m}$ ergibt sich daraus die
Zustandsdichte\footnote{Der Faktor 2 folgt daraus, da� der Zustand p
und -p die gleiche Energie haben}:

\begin{equation}
\rho(E) = {dN \over dE} = 2 {dN \over dp} {dp \over dE} = {L \over
2\pi \hbar} {2m \over p} = {L \over 2\pi \hbar} \sqrt{2m \over E}
\end{equation}

F�r die Zahl der Zust�nde pro Impulsintervall gilt wenn $\lambda \gg
1$:

\begin{equation}
{\Delta \lambda \over \Delta p} \approx {d\lambda \over dp} = {L \over
h}
\end{equation}

Dies gilt bisher in einer Dimension. In 3D gilt f�r das Zellvolumen
$h^3$ und das Volumen des Phasenraums $\int d^3x d^3p$. Damit folgt:

\begin{eqnarray}
& N_{3D} = {1 \over h^3} \int d^3x d^3p = {V \over h^3} \int d^3p \\
& \rho_{3D} = {V \over h^3} {d \over dE} \int d^3 p =  {V \over h^3}
{d \over dE} \int p^2 dp d\Omega
\end{eqnarray}

F�r die Zust�nde in der Kugelschale ergibt sich damit durch
Integration �ber $d^3p$:

\begin{equation}
n = {V p^3_{max} \over 6 \pi^2 \hbar^3} \Rightarrow N = 2n = {V
p^3_{max} \over 3 \pi^2 \hbar^3}
\end{equation}

wo $V={4 \over 3} \pi R_0^3$ das Kernvolumen ist. Hieraus folgt die
\emindex{Fermienergie} f�r jede Nukleonensorte durch Einsetzen von
$E_F={p_F^2 \over 2m} \approx 40 MeV$:

\begin{equation}
E_F = \einhalb m \cdot 3^{2\over 3} \pi^{4\over 3} \hbar^2 \left( {n
\over V }\right)^{2\over 3}
\end{equation}

Bisher: F�r Protonen wird die Coulomb-Kraft nicht ber�cksichtigt.
$\Rightarrow $ Zwei unabh�ngige Fermigase im Kern: Protonen und
Neutronen. F�r die Protonen mu� noch das Coulomb-Potential
ber�cksichtigt werden $\Rightarrow $ Erniedigung der Bindungsenergie.

F�r stabile Kerne mu� die \emindex{Fermienergie} f�r Protonen und
Neutronen etwa gleich hoch liegen, da sich sonst Neutronen in Protonen
umwandeln w�rden und umgekehrt, wenn unterhalb einer Fermikante ein
unbesetzes Niveau vorl�ge.

\subsection{Tr�pfchenmodell}

Grundlage: ann�hernd konstante Dichte der Kernmaterie $\Rightarrow $
Behandlung des Atomkerns wie eine inkompressible Fl�ssigkeit (Bohr,
v. Weizs�cker)

Beitr�ge zur Energie:
\begin{itemize}
   \item \bfindex{Volumenbeitrag}: $E_V = + a_V A$ \break
   $a_V$: Bindungsenergie pro Teilchen eines unendlichen Kerns ohne
   Oberfl�che
   \item \bfindex{Oberfl�chenenergie}: $E_S = -a_S A^{2\over 3}$
   \break weniger Bindungen der Nukleonen an der Oberfl�che $\Rightarrow $
   proportional zur Oberfl�che verringert sich die Bindungsenergie
   \item \bfindex{Coulombenergie}: $E_C = -a_C Z^2 A^{-{1\over 3}}$
   \break Absto�ung zwischen den Protonen, wobei die Protonen
   gleichm��ig �ber einen Kern vom Radius $R = R_0 A^{1\over 3}$
   verteilt sind
   \item \bfindex{Symmetrieenergie}: $E_{sym} = -a_{sym} {(Z-{A \over
   2})^2 \over A} = -a_{sym} {(Z-N)^2 \over 4 A}$ \break
   Aus dem Pauliprinzip: Abnahme der Bindungsenergie bei bevorzugtem
   Einbau einer Nukleonensorte.
   \item \bfindex{Paarungenergie}: $E_P = \pm \delta$ f�r gg- bzw.
   uu-Kerne, 0 sonst, mit $\delta \approx a_P A^{\einhalb}$ \break
   (Empirische Korrektur aus der Systematik der Separationsenergieen)
\end{itemize}

W�re nur der Volumen- und Oberfl�chenterm vorhanden w�ren Isobare
stabil, unabh�ngig vom Wert f�r N und Z.

\bfindex{Bethe-Weizs�cker-Beziehung} f�r die Bindungsenergie:
\begin{equation}
B = a_V A - a_S A^{2 \over 3} - a_{sym} {(Z-{A\over 2})^2 \over A} -
a_C Z^2 A^{1\over 3} \pm \delta
\end{equation}

\bfindex{Weizs�ckersche Massenformel}
\begin{eqnarray}
m(Z,A) & = & Z m_H + (A-Z) m_n - {B \over c^2} = \\
& = & Z m_H + (A-Z) m_n - a_V A + a_S A^{2 \over 3} + a_{sym}
{(Z-N)^2 \over A} + a_C Z^2 A^{1\over 3} \mp \delta
\end{eqnarray}

\subsubsection{Folgerungen}

\begin{itemize}
\item Betrachte die Isobarenreihe.  Man findet aus der Massenformel
einen quadratischen Zusammenhang mit Z, also f�r ungerades A eine
Parabel, f�r gerades A wegen der \nfindex{Paarungsenergie} zwei.  D.
h. f�r ungerades A gibt es nur ein stabiles Isotop, f�r gerades
mehrere.

\item Bestimmt man die Protonenzahl $Z_0$ f�r die bei festem A die
Kernmasse ein Minimum hat findet man die Talsohle des
\emindex{Massentales}, also die stabilsten Kerne

\item Energiegewinn durch \emindex{Kernspaltung}:  Dann wenn die Summe
der Massen der Spaltprodukte kleiner als die Masse des Ausgangskerns
ist.  Die freiwerdende Energie ergibt sich aus der Massendifferenz.
Man findet, da� sich bei der Berechnung aus der Massenformel bis auf
den Oberfl�chen- und den Coulomb-Term alle Beitr�ge wegheben.  (Die
Paarungsenergie ist vernachl�ssigt.)  Man findet so, da� ab A=90
Energiegewinn m�glich ist (Spaltung in zwei gleiche Bruchst�cke.)

\item \emindex{Spontane Spaltung}, {$\alpha$-Strahler}: Hier mu� die
durch den Zerfall gewonnene Energie \underline{nicht} gr��er als der
Potentialwall sein, da es sich um ein \emindex{Tunneln} der Teilchen
durch den Potentialwall handelt.
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Schalenmodell}}

\underline{Definition}: Als Schalenmodell bezeichnet man die
Vorstellung, da� ein Kern n�herungsweise als System voneinander
unabh�niger, d. h. nicht direkt miteinander wechselwirkener Nukleonen,
im mittleren Potential betrachtet werden kann.

\begin{itemize}
  \item \bfindex{Woods-Saxon-Potential}
  \begin{equation}
    V(r) =  {-V_0 \over \left( 1+e^{r-R \over a}\right)}
  \end{equation}
  $R$: Kante des Rechteckpotentials (= Wendepunkt der Kurve), $V_0$:
  Potentialtiefe, $a$: Breite des Potentialverlaufs
  \item L�sung der \nfindex{Schr�dingergleichung} mit diesem Potential
  \item Vorteil des Woods-Saxon-Potentials:
  \begin{itemize}
    \item gibt Dichteverteilung gut wieder und
    \item liegt zwischen den Extremf�llen Oszillator und Rechteck
  \end{itemize}
  \item Schalenaufbau des Kerns wie in der Atomh�lle
  \item L�sungen: Wellenfunktionen f�r Einteilchenzust�nde
  \item Beachte: \emindex{Spin-Bahn-Wechselwirkung} (\entspr
        Feinstruktur) \folgt \bfindex{Magische Zahlen} bei
        Schalenabschlu�
\end{itemize}


\section{Spin und Parit�t}

\begin{itemize}
   \item Neutron und Proton: Spin \einhalb
   \item \emindex{Kernspin}: I = Kopplung der n und p Spins mit deren
         Bahndrehimpulsen
   \item Bahndrehimpuls: ganzzahlig
   $\Rightarrow $ Kerne mit A gerade sollten ganzzahligen, Kerne mit
   ungeradem A halbzahligen Spin haben.
\end{itemize}

\subsection{Spin-Bestimmung durch Hyperfeinstrukuruntersuchungen}

Zwei Me�gr��en:
\begin{enumerate}
   \item Zahl und relativer Abstand der Komponenten
   $\Rightarrow $ Nur vom Kernspin I und Gesamtspin J abh�ngig
   \item Absolute Gr��e der Aufspaltung
   $\Rightarrow $ Abh�ngig von magnetischen Moment $\mu$
\end{enumerate}

\begin{itemize}
   \item Zahl der Hyperfeinstrukturkomponenten:

   \begin{itemize}
   \item Kopplung von Kerndrehimpuls und H�llendrehimpuls:
   $\vec{F}=\vec{I}+\vec{J}$
   \item Wertebereich von F: $(I+J), (I+J-1), \cdots |I-J| $
   \item Multiplizit�t der Aufspaltung: $(2I+1)$ f�r $I \leq J$ bzw.
   $(2J+1)$ f�r $J < I$
   \end{itemize}

   \item Relativer Abstand

   \begin{itemize}
   \item \emindex{Wechselwirkungsenergie} der
   \nfindex{Hyperfeinstruktur}
   \begin{equation}
   \Delta E_{HFS} = - {A \over 2} \left[ F(F+1) - I(I+1) -
    J(J+1)\right]
   \end{equation}
   \item ${A \over 2} = {\mu_I \mu_J B_0 \over 2 I J}$
   \item A: Intervallfaktor
   \end{itemize}

   \item Aufspaltung der Hyperfeinstruktur im Magnetfeld

   \begin{itemize}
   \item Im {\bf schwachen} Magnetfeld: I und J bleiben zu F gekoppelt
   \begin{itemize}
     \item I und J bleiben zu F gekoppelt
     \item Aufspaltung in (2F+1) Komponenten
     \item $F, (F-1), \cdots, -F$
     \item Auswahlregeln: $\Delta F = 0,\pm 1; \Delta m_F = 0,\pm 1$
     \item $\Leftarrow$ \bfindex{Zeemann-Effekt} der HFS
   \end{itemize}
   \item Im {\bf starken} Magnetfeld:
   \begin{itemize}
     \item I und J entkoppeln
     \item Anordnung in Gruppen mit gleichem $m_J$
     \item je Gruppe: $(2I+1)$ Unterzust�nde $\Rightarrow I$
     \item Auswahlregeln: $\Delta m_I = 0,\pm 1; \Delta m_J = 0,\pm 1$
     \item $\Leftarrow$ \bfindex{Paschen-Back-Effekt} der HFS
   \end{itemize}
   \end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Parit�t}

\begin{itemize}
  \item \bfindex{Parit�t} ist eine \bfindex{Erhaltungsgr��e}
  \item Bestimmung aus �bergangsmatrixelementen der Form $\langle
\phi | \Omega | \psi \rangle$, nicht jedoch aus Me�gr��en in die
$|\psi|^2$ eingeht (wg. \nfindex{Invarianz} gegen Raumspiegelung)

  \item Bei Messung an �bergangsmatixelementen folgt nur eine Aussage
ob die Parit�t in den beiden betrachteten Zust�nden gleich oder
unterschiedlich ist

  \item Absolute Bestimmung der Parit�t aus dem
Transformationsverhalten der Wellenfunktion bei Raumspiegelung z. B.
Einteilchenzust�nde im Zentralpotential
  \begin{itemize}
  \item Separation in Radial- und Winkelanteil
  \item Radialanteil von Spiegelungen unabh�ngig
  \item Winkelanteil:
  \begin{equation}
  Y_l^m (\pi - \theta, \phi + \pi) = (-1)^l Y_l^m(\theta,\phi)
  \end{equation}
  \item L�sungen haben gerade Parit�t f�r geraden Bahndrehimpuls l
sonst ungerade
\end{itemize}

  \item Innere Parit�t der Teilchen Proton und Neutron ist per
Konvention gerade $\Rightarrow $ gg-Kerne haben im Grundzustand gerade
Parit�t

  \item Schreibweise: z. B.  $0^+, {3\over 2}^-$ etc.

  \item Parit�t eines Mehrteilchensystems ist gleich dem Produkt der
Einzelparit�ten, d. h. {\em multiplikative} Quantenzahl

\end{itemize}

\subsection{Magnetisches Moment}

\begin{itemize}
 \item Energie eines magnetischen Dipols: $V = -\vec{\mu}_I \cdot \vec{B}$
 \item magnetisches Moment des Kerns: $\vec{\mu}_I = g_K \mu_K
 {\vec{I} \over \hbar}$
 \item \emindex{Kernmagneton}: $\mu_K = {e \hbar \over 2 m_P c} =
       3.152 \cdot 10^{-8}$eV/T
 \item \emindex{Bohrmagneton}: $\mu_B = {e \hbar \over 2 m_e c} =
       0.597 \cdot 10^{-4}$eV/T
 \item \emindex{Kern-g-Faktor}: Gibt an um welchen Faktor sich ein
gemessenes magnetisches Moment von einem klassisch berechneten
(rotierende geladene Kugel) unterscheidet.
 \item Der g-Faktor ist nicht gequantelt. Er setzt sich zusammen aus
einem Beitrag f�r den Bahndrehimpuls und einem f�r den Spin.
 \item Werte:
 \begin{itemize}
   \item Proton: $g_l = 1$, $g_s = 5,5858$
   \item Neutron: $g_l = 0$, $g_s = -3,8261 \neq 0!$
 \end{itemize}
 Ursache: Quarkmodell. Zu erwarten w�re f�r das Proton $g_s = 2$
analog dem Elektron und 0 f�r das Neutron.

 \item Messung durch Kernspinresonanzapparatur: Induktion von
Dipol�berg�ngen durch EM-Strahlung, Bestimmung der Resonanzfrequenz
($\Delta V_{mag}=\hbar \omega_L$) = \emindex{Lamorfrequenz}

 \item \emindex{Schmidt-Linien}: Modellvorstellung ist, da� in gerader
Anzahl vorkommende Nukleonen zu Drehimpuls 0 koppeln (wie bei
gg-Kernen) $\Rightarrow $ Magnetisches Moment r�hrt nur von den
ungepaarten Nukleonen, die zugeh�rigen magnetischen Momente bilden die
Schmidtlinine ($\mu$ gegen j). F�r die Berechnung gilt:
\begin{eqnarray}
& \vec{\mu} = g \vec{j} = \left( {1 \over |j|^2}\right) \left[
 g_l (\vec{l} \cdot \vec{j}) + g_s (\vec{s} \cdot \vec{j})\right]
\vec{j} \\
\mbox{mit}& \vec{s} = |\vec{j} - \vec{l} |^2
\end{eqnarray}
Dieses Modell ist wohl nicht ganz richtig, aber auch nicht ganz
falsch. Problem: Beschreibung durch Einteilchenkonfigurationen ist
nicht korrekt, v.a. f�r schwere Kerne gro�e Fehler!
\end{itemize}

\subsection{Elektrische Momente}

\begin{itemize}
  \item \emindex{Multipolentwicklung} f�r Kern im Potential $\phi(\vec{r})$:
  \begin{eqnarray}
  \mbox{pot. Energie:}&W = \int \phi(\vec{r}) \rho(\vec{r}) dV\\
  \mbox{mit}& \phi(\vec{r}) = \phi_0 +\vec{r}\cdot (\nabla \phi)_0 +
  \cdots
  \end{eqnarray}
  \item $\rho(\vec{r}) = q \psi^*(\vec{r}) \psi(\vec{r})$ und $\psi$
definierte Parit�t $\Rightarrow $
  \begin{equation}
    \rho(\vec{r}) = \rho(-\vec{r})
  \end{equation}
  $\Rightarrow $ Kerne haben kein statisches \emindex{Dipolmoment}
(zweiter Term in der Multipolentwicklung verschwindet!)
  \item \emindex{Quadrupolmoment} (hier: spektroskopisches):
  Ber�cksichtige Symmetrie und fordere Zylindersymmetrie. Mit dem
  dritten Term der Multipolentwicklung ergibt sich
  \begin{equation}
    Q_z = {1 \over e} \int (3z^2 - r^2) \rho(\vec{r}) d\tau =
    {1 \over e} \int r^2 (3\cos^2(\theta) - 1) \rho(\vec{r}) d\tau
  \end{equation}
  Verschwindet f�r Kugelsymmetrische Ladungsverteilungen!
  Quantenmechanisch: Verwende Erwartungswert des Quadrupoloperators f�r
  einen Kern dessen Spin in z-Richtung zeigt.
  \item Bestimmung durch Messung der Hyperfeinstrukturaufspaltung. Die
  Wechselwirkungsenergie des Quadrupolmoments �berlagert die normale
  Aufspaltung $\Rightarrow $ Verletzung der \emindex{Intervallregel}
\end{itemize}

\subsection{Allgemeine Eigenschaften der \underline{statischen}
Multipolmomente}
\begin{enumerate}
\item Alle ungeraden elektrischen Multipolmomente verschwinden
\item alle geraden magnetischen Multipolmomente verschwinden
\item F�r Zust�nde mit Drehimpuls I verschwindt der Erwartungswert
aller Momente mit Multipolordnung $L > 2I$ (Beweis mit Wigner-Eckart)
\end{enumerate}

\section{Zerfall instabiler Kerne}

Instabile Kerne:
\begin{itemize}
\item Kerne im Grundzustand, die sich durch Teilchenemission spontan
umwandeln
\item angeregte Kerne
\end{itemize}

Wichtigste Zerfallsarten
\begin{itemize}
\item \nfindex{$\alpha$-Zerfall}
\item \nfindex{$\beta$-Zerfall}
\item \nfindex{Kernspaltung}
\item Emission elektromagnetischer Strahlung ($\gamma$)
\end{itemize}

$\Rightarrow $ \emindex{�bergangswahrscheinlichkeit} nur abh�ngig von
Naturkonstanten, Kernwellenfunktionen und Konstanten der
Wechselwirkung, nicht von makroskopischen Gr��en wie Temperatur oder
Druck! $\Rightarrow $ \emindex{Zerfallswahrscheinlichkeit} (oder
\emindex{Zerfallskonstante}) eines Zustandes $\lambda$ ist eine
definierte Konstante.

\subsection{Definitionen}
\begin{itemize}
 \item\bfindex{Aktivit�t}: Betrachte N instabile Zust�nde
    \begin{equation}
    A = -{dN \over dt} = \lambda N
    \end{equation}
 \item\bfindex{Zerfallsgesetz}: Durch Integration aus der
    Aktivit�t \begin{equation}
    N = N_0 e^{-\lambda t}
    \end{equation}
    mit $N(0) = N_0$
 \item{\em Aktivit�t zur Zeit t:}
    \begin{equation}
    A = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t}
    \end{equation}
 \item\bfindex{Halbwertszeit}
    \begin{equation}
    t_{\einhalb} = {\ln(2) \over \lambda}
    \end{equation}
 \item\bfindex{Mittlere Lebensdauer}
    \begin{equation}
    \tau = {1 \over \lambda}
    \end{equation}
    d. h. Aktivit�t ist auf $1 \over e$ abgesunken
 \item \bfindex{Zerfallsbreite}
    \begin{equation}
    \Gamma = {\hbar \over \tau} = \hbar \lambda
    \end{equation}
\end{itemize}

\subsection{Gesetze f�r \emindex{Zerfallsreihen}}
\begin{itemize}
 \item Zerfallskonstanten werden zur Gesamtkonstante addiert:
       $\lambda = \sum_i \lambda_i$
 \item Zerfallsbreiten werden zur Gesamtbreite addiert
       $\Gamma = \sum_i \Gamma_i$
 \item \nfindex{Aktivit�t} f�r Zerf�lle infolge der k-ten Alternative
    \begin{eqnarray}
     & A_k = {dN_k \over dt} = \lambda_k N = \lambda_k N_0 e^{-\lambda t} \\
     \Rightarrow & N = (\lambda N) {1 \over \lambda} = -{dN \over dt}
     \tau
    \end{eqnarray}
 \item \emindex{Zerfallsreihe}: $N_1 \stackrel{\lambda_1}
       {\rightarrow} N_2 \stackrel{\lambda_2}{\rightarrow} N_3 \cdots N_k $
    \folgt Differentialgleichungssystem
    \begin{equation}
    \dot{N}_i = \lambda_{i-1} N_{i-1} - \lambda_i N_i
    \end{equation}
    {\em L�sungsansatz:}
    \begin{eqnarray}
    &&N_1 = C_{11} e^{-\lambda_1 t} \\
    &&N_2 = C_{12} e^{-\lambda_1 t} + C_{22} e^{-\lambda_2 t} \\
    && \cdots \\
    &&N_k = C_{k1} e^{-\lambda_1 t} + \cdots + C_{kk} e^{-\lambda_k t}
    \end{eqnarray}
    \folgt Rekursionsformel f�r $\bf \underline{i \neq j}$
    \begin{equation}
    C_{ij} = C_{i-1, j} {\lambda_{i-1} \over \lambda_i - \lambda_j}
    \end{equation}
    Randbedingung f�r $\bf \underline{i=j}$:
    \begin{equation}
    N_i(0) = C_{i1} + C_{i2} + \cdots + C_{ii}
    \end{equation}
    \dframebox{Beachte: Aktivit�ten beziehen sich auf Zerf�lle, d. h.
    auf $\lambda_i N_i$ nicht auf $dN_i \over dt$ }
    Es gilt:
    \begin{enumerate}
     \item Das Maximum der Tochteraktivit�t tritt im Schnittpunkt mit
           der Mutteraktivit�t auf
     \item dieser Punkt wird f�r $t$ in der Gr��enordnung des
           kleineren $\tau$ erreicht
     \item f�r gro�e $t$ ist der Aktivit�tsabfall durch das gr��ere
           $\tau$ bestimmt
    \end{enumerate}
 \item Anstieg der Aktivit�t bei konstanter \bfindex{Produktionsrate}
       P:
       \begin{eqnarray}
       & \left( {dN \over dt}\right) = -\lambda N + P \\
       \Rightarrow & \lambda N(t) = A(t) = P (1-e^{-\lambda t})
       \end{eqnarray}
\end{itemize}

\subsection{Datierungsmethoden}

Voraussetzungen
\begin{itemize}
\item Halbwertszeit langlebige Isotope
\item zumindest teilweise chemische Trennug der radioaktiven Tochter
von der Mutter
\item Mineralbildung in kurzer Zeit im Vergleich zum Alter des
Minerals
\item Nach der Bildung weder Verlust noch Zuwachs bei Mutter und
Tochter
\end{itemize}

Man betrachtet nur eine Mutter und eine Tochter (jeweils langlebigste
Produkte der entsprechenden Zerfallsreihe). Es folgt dann
\begin{equation}
N_2(t) = N_1(0) - N_1(0) e^{-\lambda_1 t} = N_1(0) (1-e^{-\lambda_1
t}) = N_1(t) (e^{\lambda_1 t} -1)
\end{equation}

Dies erh�lt man aus der Zerfallsreihe f�r zwei Isotope mit einer
Stabilen Tochter, d. h. $\lambda_2 = 0$, oder viel einfacher: $N_2(t)$
= Tochterkerne = Zahl der Mutterkerne - Zahl der Mutterkerne nach der
Zeit t ($=N_1(0) e^{-\lambda_1 t}$).

Die Zeit nach der Mineralbildung erh�lt man dann aus dem
H�ufigkeitsverh�ltnis ${N_2(t) \over N_1(t)}= e^{\lambda_1 t} -1$.
Wichtig vor allem f�r Biologie:  \emindex{$^{14}$C}.  Entsteht durch
$^{14}$N(n,p)$^{14}$C in der Atmosph�re und zerf�llt durch
$\beta$-Zerfall zur�ck.  Anteil bis zum Beginn des Jahrhunderts etwa
konstant.  Dann Abnahme wegen \nfindex{Industrialisierung} (Kohle/�l
enth�lt kein $^{14}$C mehr!).  Seit 1954 Anstieg auf das doppelte in
Folge der \nfindex{Kernwaffenversuche}.  Me�methode:  Verbrennen der
Substanz und Verbrennungsgase der Ionenquelle eines Beschleuniger
zusetzen.  Abtrennen des Kohlenstoffs vom Stickstoff durch ein
Magnetfeld nach dem Beschleunigen.  (Direkte Messung erfordert sehr
gro�e Substanzmengen, im Massenspektrometer sind C und N nur schwer zu
trennen, da die Massen fast identisch sind.)  Nachweis mit
Schwerionendetektor der durch die spezifische Ionisation selektiert
(\emindex{Beschleunigermassenspektrometrie}).  Direkte Messung der
$\beta$-Aktivit�t von $^{14}C$ ist zu ungenau!

\subsection{\nfindex{$\alpha$-Zerfall}}

\begin{itemize}
  \item Proze�: �berwindung des Coulombwalls durch $\alpha$-Teilchen
        (=He-Kern) durch \emindex{Durchtunneln} des Potentials
  \item H�he des Coulombwalls:
  \begin{equation}
   V_C = {Z_1 Z_2 e^2 \over r_0 (A_1^{1 \over 3} + A_2^{1 \over 3})} =
         {Z_1 Z_2 e^2 \over R}
  \end{equation}
  ($\alpha$-Teilchen wird an den Restkern geklebt und spaltet sich von
  dort aus ab)
  \item Das $\alpha$-Teilchen mu� mindestens die Energie $V_C$ plus
  einen kinetischen Beitrag haben
  \item $V_C$ und die kinetische Energie des $\alpha$-Teilchens im
  Kern treten nach dem Zerfall als kinetische Gesamtenergie des
  $\alpha$-Teilchens auf.
  \item Absch�tzung der n�tigen \emindex{Separationsenergie} aus der
  \nfindex{Massenformel}.
  \item $\alpha$-Zerfall ist nur m�glich wenn sich zuvor im
Kerninneren bereits ein $alpha$-Teilchen gebildet hat
  \item Wahrscheinlichkeit f�r den $\alpha$-Zerfall ist abh�ngig von
  \begin{enumerate}
    \item Wahrscheinlichkeit daf�r, da� sich ein $\alpha$-Teilchen
bildet = \emindex{reduzierte Zerfallswahrscheinlichkeit}. Ist das
          Produkt aus der Wahrscheinlichkeit f�r
    \begin{enumerate}
     \item die Bildung eines $\alpha$-Teilchens: h�ngt stark von der
     Konfiguration des Kerns ab, daher schwer bestimmbar, meist aus
     der Halbwertszeit experimentell ermittelt.
     \item das Auftreffen auf den Potentialrand: ergibt sich im
     wesentlichen aus dem Kernradius und der kinetischen Energie des
     $\alpha$Teilchens
    \end{enumerate}
    \item Wahrscheinlichkeit f�r das Durchtunneln des Potentialwall
          \emindex{Transmissionskoeffizient}
  \end{enumerate}
  Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt aus beiden
  \item \emindex{Transmissionskoeffizient}:
  \begin{equation}
    T = {j_a \over j_e} = {|\psi_a|^2 v_a \over |\psi_e|^2 v_e} =
    {|\psi_a|^2 k_a \over |\psi_e|^2 k_e}
  \end{equation}
\end{itemize}

L�sung des Problems:
\begin{itemize}
  \item L�sung der statischen \nfindex{Schr�dingergleichung} mit
   Potential $V(r) = V_C$
  \item 3D-\emindex{Zentralpotential}: \nfindex{Separationsansatz}:
   \begin{equation}
     \psi_(r,\theta,\phi) = R(r) Y_{lm}(\theta,\phi)
   \end{equation}
  \item Substitution: $u(r) = r R(r)$ und L�sung f�r $u(r)$
  \item Potential:
  \begin{equation}
    V = V(r) + {l(l+1) \hbar^2 \over 2 m r^2}
  \end{equation}
  \item Im inneren konstantes Potential
  \item Anschlu�bedinungen: Stetigkeit der Wellenfunktion $\psi_1 =
  \psi_2 \wedge \psi_1' = \psi_2'$ an der ersten Grenze sowie $\psi_2
  = \psi_3 \wedge \psi_2' = \psi_3'$
  \item Daraus bestimmbar: Amplitudenverh�ltnisse von je zwei
   Amplituden. Wichtig f�r Transmission:
  \begin{equation}
   T={|\alpha_3|^2 \over |\alpha_1|^2}
  \end{equation}
  \item Aus der Potentialform: \bfindex{Zentrifugalbarriere} =
  Herabsetzen der �bergangswahrscheinlichkeit f�r $l \uparrow$
  insbesondere $l \neq 0$
  \item Da
  \begin{equation}
  T = {\int j_a r^2 d\Omega \over \int j_e r^2 d\Omega} = {k_a
  |u_a|^2 \int |Y_{lm}|^2 d\Omega \over k_e |u_e|^2  \int |Y_{lm}|^2
  d\Omega }
  \end{equation}
  ist die L�sung des 1-D-Problems ausreichend (Normierung der
  $Y_{lm}$!)
  \item F�r den \emindex{$\alpha$-Zerfall} gilt n�herungsweise die
  \emindex{Dicke Barriere} mit einem reinen Coulbomb-Potential. Es ist
  dann
  \begin{eqnarray}
  & T_{\alpha} = e^{-G} \\
  \mbox{mit}& G = {2 \sqrt{2m} \over \hbar} \int_R^{R'} \sqrt{{Z_1
  Z_2 e^2 \over r}-E}dr
  \end{eqnarray}
  G hei�t \emindex{Gamow-Faktor}
  \item F�r das Integral findet man:
  \begin{equation}
  G = {2 \over \hbar} \sqrt{2m \over E} Z_1 Z_2 e^2 \gamma(x)
  \end{equation}
  mit $\gamma(x) = \mathrm{arccos} \sqrt{x} -\sqrt{x(1-x)} $
  und $x= {R \over R'} = {E \over V_C}$ (ist tabelliert)
  \item \emindex{Gamow-Faktor} f�llt mit der
  \nfindex{$\alpha$-Energie} stark ab \folgt sinkende
  \nfindex{Halbwertszeit}en:
  \begin{equation}
  \ln(t_{\einhalb}) \propto G \propto {1 \over \sqrt{E_{\alpha}}}
  \end{equation}
  \item \bfindex{Geiger-Nutallsche Regel}: Man erh�lt n�herungsweise
  eine Gerade wenn man $\ln(t_{\einhalb})$ gegen den Kehrwert
  der Wurzel aus der Reichweite (=Energie) der
  \nfindex{$\alpha$-Teilchen} auftr�gt \end{itemize}

\subsection{\nfindex{Kernspaltung}}

\begin{itemize}
 \item Entdeckt von Hahn, Stra�mann und Meitner
 \item Mechanismus: Bei der Spaltung in zwei Teile wird Energie frei.
       Um die Spaltung zu erreichen ist es aber n�tig, eine
       \emindex{Aktivierungsenegie} $T_a$ zuzuf�hren, die dann als
       kinetische Energie in den Spaltbruchst�cken enthalten ist.
 \item freiwerdende Energie: $Q=(m_i - m_f) c^2 = T_f - T_a$
 \item Erkl�rung mit dem \emindex{Tr�pfchenmodell}:
 \begin{enumerate}
   \item Deformation des Kerns durch Energiezuf�hrung
   \begin{Folgerungen}
    \item Vergr��erung der Oberfl�che = Engerie n�tig
    \item Abnahme der Coulombenergie
   \end{Folgerungen}
   \item Einschn�ren des Tropfens
   \item \emindex{Szissionspunkt}: Elektrostatische Absto�ung
        �berwiegt
   \item Spaltung
 \end{enumerate}
 \item Zu �berwindendes Potential ist wesentlich geringer als beim
       $\alpha$-Zerfall $\Leftarrow $ Durch Kernkr�fte verursachte
       Abflachung
 \item Verf�gbare Energie sehr viel gr��er als Spaltungsenergie
 \item \emindex{Spontane Spaltung} (\emindex{spontaneous fission}):
       Potentialbarriere verschwindet bei schweren Kernen fast, so da�
       keine Anregungsenergie n�tig ist.
 \item Entstehende Kerne haben hohen \emindex{Neutronen�berschu�}
       \folgt instabil
 \item Instabilit�t gegen spontane Spaltung: Q ist gr��er als $V_C =
       {e^2 \left({Z \over 2} \right)^2 \over 2 r_0 \left({A \over
       2}\right)^{1 \over 3}} = C {Z^2 \over A^{1 \over 3}}$.
  Aus der \emindex{Massenformel}:
 \begin{equation}
 {Z^2 \over A} \geq {a_s' \over C-a_C'} \approx 51
 \end{equation}
 51 ergibt sich bei Betrachtung eines Ellipsoids im Vergleich zur
 Kugel gleichen Volumens
 \item \emindex{Spaltungsparameter}: $x = {Z^2 \over 51 \cdot A}$
 \item Je kleiner x, desto gr��er die \bfindex{Halbwertszeit}
 \item bisher: Symmetrische Spaltung. Meist liegt asymmetrische
 Spaltung vor, jedoch stark Massenabh�ngig. Massen aber �hnlich gro�.
 \item Spaltung mit kleinen Bruchst�cken gr��er He (C, Ne, Mg) wurde
beobachtet, allerdings mit sehr kleinen Zerfallswahrscheinlichkeiten.
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Elektromagnetische �berg�nge},
\nfindex{$\gamma-Strahlung$}}

\begin{itemize}
  \item \bfindex{Grundzustand}: Alle Nukleonen besetzen die niedrigst
  m�glichen Energiezust�nde
  \item \bfindex{Anregungszust�nde}: Wie Elektronen im Atom kann
   man durch Energiezufuhr Nukleonen in h�here Niveaus bringen
  \item Entstehung angeregter Zust�nde
  \begin{Folgerungen}
  \item Restprodukt eines Zerfalls
  \item Ergebnis einer Kernreaktion
  \item elektromagnetische Anregung von au�en
  \end{Folgerungen}
  \item Ist die Energie f�r eine Teilchenemission zu niedrig \folgt
  \bfindex{$\gamma$-Strahlung} als einziger Mechanismus zur
  Energieabgabe
  \item Anregung in ungebundene Zust�nde: oft \emindex{quasistation�r}
  \folgt $\gamma$-Emission oder Teilchenemission je nach
  �bergangswahrscheinlichkeit. \folgt Totale \nfindex{Zerfallsbreite} ist
  Summe beider Prozesse
  \item Me�gr��en
  \begin{itemize}
  \item Energie
  \item \nfindex{�bergangswahrscheinlichkeit}
  \item Winkelverteilung
  \end{itemize}
  \item Kern: kaum Wechselwirkung mit der Umgebung \folgt Zwang zur
  elektromagnetischen Energieabgabe \folgt Beobachtung h�herer
  \emindex{Multipolstrahlung} als in der H�lle
  \item \bfindex{innere Konversion}: �bertragung von Energie an ein
   H�lenelektron, das dann statt eines $\gamma$-Quants emittiert wird
  \item L�sung der \nfindex{Maxewellschen Gleichungen} durch
   Entwicklung in \nfindex{Eigenfunktionen} des Drehimpulses $l$
  \item $l$: \emindex{Multipolordnung} ($l=1$: Dipol etc.)
  \item \bfindex{Dipolstrahlung}: Bei magnetischer keine
   Radialkomponenten des $\vec{E}$-Feldes, bei elektrischer keine
   Radialkomponenten des $\vec{B}$-Feldes.
  \item \underline {\bf BEACHTE:} Keine
   statischen Multipolmomente, darum auch Elektrische Dipolstrahlung
   etc.!
  \item Bezeichnung: $El$ bzw. $Ml$ z. B. E1 f�r Elektrische
   Dipolstrahlung, M2 f�r magnetische Quadrupolstrahlung
  \item L�sungen: Produkte aus \emindex{Kugelfl�chenfunktion} und
  sph�rischer \emindex{Besselfunktion}
  \item aus der QED: $\gamma$-Quanten transportieren immer einen
   \nfindex{Drehimpuls} $l \hbar$ mit einer z-Komponente $m \hbar$
  \item F�r $l=0$: keine L�sung da Licht transversal
  \item Bedinungen f�r die Quantenzahlen:
  \begin{eqnarray}
  & |I_1 - I_2| \leq l \leq I_1 + I_2 \\
  & m = m_1 + m_2
  \end{eqnarray}
  \item \bfindex{�bergangswahrscheinlichkeit} $\propto \left({R 2\pi
  \over \lambda}\right)^{2l}$ \folgt Bevorzugung der �berg�nge mit
  niedrigem Drehimpuls, so da� diese fast alle beobachtet werden
  \item Zahlenbeispiel: $A=126 \folgt R=6fm$ f�r ${\lambda \over 2\pi}
  = 400fm$ \folgt Abnahme der �bergangswahrscheinlichkeit von einer
  Ordnung zur n�chsten um den Faktor $2.25\cdot 10^{-4}$ (dieser
  Faktor ist in der H�lle wesentlich gr��er!) \folgt meist ist $l=|
  I_1 - I_2|$
  \item f�r $l=0$ nur strahlungsloser �bergang \folgt \nfindex{innere
   Konversion}
  \item Es gilt \bfindex{Parit�tserhaltung} \folgt Auswahlregeln
  \item \bfindex{Parit�t}: f�r El-Strahlung ist $\pi_1= (-1)^l \pi_2$,
  f�r Ml-Strahlung $\pi_1 = (-1)^{l+1} \pi_2$
  \begin{Folgerungen}
  \item es kann nie E- und M-Strahlung gleicher Ordnung gleichzeitig
        emittiert werden
  \item �bergangswahrscheinlichkeit f�r M ist einige Zehnerpotenzen
        kleiner als f�r E
  \end{Folgerungen}
  \item Einteilchentheorie liefert
  \begin{Folgerungen}
  \item E1: �berg�nge sind $10^3 \cdots 10^7$ langsamer als die
        Theorie
  \item E2: etwa $10^2$ schneller als die Theorie
  \item andere etwa in der richtigen Gr��enordnung bzw. bis zu einigen
        Zehnerpotenzen gr��er
  \end{Folgerungen}
  Erkl�rung:
  \begin{itemize}
  \item E1:
    \begin{Folgerungen}
     \item im niedrigenergestischen Bereich sehr komplexe
           Konfigurationen
     \item n�tig ist eine \emindex{Kollektive Anregung}
     \item ,,Protonenfl�ssigkeit'' schwingt gegen die
           ,,Neutronenfl�ssigkeit''
     \item hohe Anregungsenergie n�tig
     \item Reaktion l�uft langsamer
    \end{Folgerungen}
    Kollektive �berg�nge beobachtet man tats�chlich im Bereich der
    \emindex{Riesenresonanz}
  \item E2: Kollektive Anregung ist f�r \emindex{Quadrupolstrahlung}
        leicht zu erreichen
  \end{itemize}
  \item \bfindex{Isomere}: Angeregte Zust�nde mit sehr hohen
   Halbwertszeiten in Folge einer notwendigen hohen Multipolordnung
   f�r den �bergang (M4, E5 etc.). Halbwertszeiten im Bereich von
   Stunden oder Tagen. Besonders h�ufig: \emindex{M4-Strahler}
  \item Winkelverteilung: $\propto |Y_{lm}|^2$
\end{itemize}

Aus den �bergangsmatrixelementen der $\gamma$-Strahlung ergeben sich
Lebensdauern, die mit dem Experiment verglichen werden k�nnen. Die
Matrixelemente gehen weiterhin in Kernmodelle ein, so da� man diese
mit dem Experiment vergleichen kann. Zur \bfindex{Messung von
Lebensdauern} dienen folgende Verfahren

\begin{enumerate}
\item \bfindex{Direkte Messung}: f�r langlebige Zust�nde aus der
Halbwertszeit der Aktivit�t, f�r kurzlebige Messung durch verz�gerte
Koinzidenz, d. h. Startsignal durch die den Anregungszustand
bev�lkernde Reaktion oder radioaktiven Zerfall, dann Messung der
Zeitabh�ngigkeit der $\gamma$-Zerf�lle. Brauchbar bis $10^{-10}$s
\item \bfindex{Dopplereffekt}: Quelle emittiert angeregte Kerne, die
nach einer Flugzeit in einem Auff�nger (Plunger) gestoppt werden. Im
Flug emittierende Kerne zeigen Dopplerverschiebung der Spektrallinie,
im Auff�nger zerfallende Kerne eine unverschobene Linie. Messung der
Intensit�tsverteilung der beiden Linien gegen den Auff�ngerabstand
liefert bei bekannter Geschwindigkeit der Kerne die Lebensdauer.
\emindex{Plunger-Methode} von $10^{-9}$ bis $10^{-12}$s. K�rzere
Lebensdauern mit der \emindex{Abschw�chungsmethode}
(\nfindex{Doppler Shift Attenuation}). Hier sofortige
Bremsung der emittiernden Kerne in Materie \folgt breite Linie in
Flugrichtung, unverschobene Linie unter 90\grad zur Flugrichtung. Bei
Kenntnis des Abbremsungsverlaufs folgt die Lebensdauer. Gewinn etwa
eine Gr��enordnung.
\item \bfindex{Nat�rliche Linienbreite}: Aus dem
\emindex{M��bauereffekt} folgt nat�rliche Linienbreite
\item \bfindex{Coulomb-Anregung}: Anregung des Kerns durch Vorbeiflug
eines Ions erm�glicht aus der Intensit�tsverteilung die Bestimmung der
Lebensdauer (bis etwa $10^{-13}s$)
\end{enumerate}

\subsection{\nfindex{Innere Konversion}}

\dframebox{Innere Konversion $\Huge \bf \neq$ Emission eines
$\gamma$ und Ausl�sung des Elektrons durch
\nfindex{Photoeffekt}}

\begin{itemize}
  \item Alternativprozess zum $\gamma$-Zerfall
  \item Energie des emittierten Elektrons:
  \begin{equation}
  E_e = E_\gamma - E_{Bindung}
  \end{equation}
  \item K-Konversion, L-Konversion etc. je nach Schale
  \item erh�ht die totale �bergangswahrscheinlichkeit f�r einen
        Zerfall, d. h. $\lambda = \lambda_\gamma + \lambda_e$
  \item Halbwertszeiten �ndern sich mit der Elektronenkonfiguration
        (d. h. z. B. abh�ngig von der Verbindung in der der Kern
        vorliegt) \folgt Energie wird {\bf direkt} auf das Elektron
        �bertragen
  \item \bfindex{Konversionskoeffizient} $\alpha$:
  \begin{equation}
  \lambda = \lambda_\gamma (1 + \alpha)
  \end{equation}
  d. h. $\alpha = {\dot{N_e} \over \dot{N_\gamma}}$ also das
  Verh�ltnis der Zahl der Konversionselektronen zur Zahl der
  $\gamma$-Quanten \folgt Konversionskoeffizienten f�r die einzelnen
  Schalen sind additiv
  \item F�r innere Konversion kann man das Elektron n�herungsweise als
        au�erhalb des Kerns betrachten
    \begin{Folgerungen}
    \item \bfindex{Kernwellenfunktion} geht ebenso ein wie bei
      Strahlungs�berg�ngen
    \item Verh�ltnis der �bergangswahrscheinlichkeiten ist unabh�ngig
      von der Kernwellenfunktion
    \item \bfindex{Konversionskoeffizienten} sind
      \underline{unabh�ngig} vom \nfindex{Kernmodell}
    \end{Folgerungen}
  \item Konversionskoeffizienten h�ngen stark vom Charakter es
EM-�bergangs ab \folgt leichte Messung
  \item Wesentliches Verhalten
  \begin{equation}
  \alpha_K \approx Z^3 \left( {e^2 \over \hbar c}\right)^4 {l \over
  l+1} \left( {2 m_e c^2 \over E_\gamma}\right)^{l+\halbe{5}}
  \end{equation}
  f�r $Ze^2/\hbar c \gg 1$ und $\hbar \omega \geq E_{Bindung}$
  \begin{Folgerungen}
  \item $\alpha_K \uparrow \uparrow Z$
  \item $\alpha_K \uparrow \uparrow l$
  \item $\alpha_K \downarrow E_\gamma$
  \end{Folgerungen}
  \item Bei der Bestimmung des \emindex{Multipolcharakters} ist zu
beachten, da� Mischungen von zwei �berg�ngen auftreten k�nnen. Aber:
Parit�tserhaltung! \folgt besonders h�ufig Mischung von E2 und M1, so
da� gilt $\alpha = a_1 \alpha(M1) + a_2 \alpha(E2)$
  \item Me�methoden
  \begin{enumerate}
  \item Bev�lkerung des oberen Niveaus durch $\beta$-Zerfall
  \begin{Folgerungen}
    \item Konversionslinien sind dem kontinuierlichen $\beta$-Spektrum
          �berlagert
    \item Konversionskoeffizient aus dem Verh�ltnis der
     Linienintensit�t zur Gesamtintensit�t
  \end{Folgerungen}
  \item Direkte Messung von Elektronen und $\gamma$-Quanten mit
    Halbleiterdetektoren und Szintillationsz�hlern
  \item Vergleich der K-R�ntgenquanten die als Folge der K-Konversion
    auftreten mit den emittierten $\gamma$-Quanten
\end{enumerate}
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Kernresonanzabsorption} -
\emindex{M��bauer-Effekt}}

\begin{itemize}
  \item \bfindex{Nat�rliche Linienbreite}:
  \begin{equation}
  \Gamma = \hbar \lambda = {\hbar \over \tau}
  \end{equation}
  \item F�r $\gamma$-Linien: Extrem geringe Breite \folgt
    \bfindex{Resonanzabsorption} nicht bebobachbar
  \item Beispiel: $^{57}Fe$
  \begin{itemize}
  \item $\tau = 1.4\cdot 10^{-7}s$
  \item $E_\gamma = 14.4 keV$
  \item $\Gamma = 4.7 \cdot 10^{-9} eV \folgt {\Gamma \over E_\gamma
        \approx 3 \cdot 10^{-13} }$
  \item Impuls des $\gamma$-Quants: $p=\hbar k = {E_\gamma \over c}$
  \item Vom Kern der Masse m aufgenommene R�cksto�energie: $E_r = {p^2
        \over 2 m} = {E_\gamma^2 \over 2 m c^2} = 2 \cdot 10^{-3} eV$
  \item Dem $\gamma$-Quant fehlt die R�cksto�energie, die um 5
        Gr��enordnungen gr��er ist als die Linienbreite! \folgt Keine
        Resonanzabsorption m�glich.
  \item Bei der Absorption ist diese Energie noch einmal n�tig
  \item Vernachl�ssigt bisher: Termische Bewegung der Kerne
  \end{itemize}
  \item L�sung: Einbau der Atome in ein Kristallgitter. Damit ergibt
  sich nach dem \emindex{Einsteinmodell}
  \begin{Folgerungen}
    \item Atom kann nur noch gequantelte Schwingungen ausf�hren
    \item Aufnahme einer beliebigen R�cksto�energie ist verboten, wenn
    $E_r < \hbar \omega$
    \item R�cksto�freie Emission
    \item \underline {Scharfe Emissionslinie mit nat�rlicher
          Linienbreite im Spektrum}
    \item Zweite Linie mit der Energiedifferenz $\hbar \omega$ w�re zu
    erwarten, ist aber nicht vorhanden, da das
    \nfindex{Phononenspektrum} sehr breit ist
    \item Es findet trotzdem \emindex{Impuls�bertrag} auf das Gitter
     statt, aber eben \underline{ohne} \bfindex{Energie�bertrag}
  \end{Folgerungen}
  \item Genauere Ergebnisse f�r den Bruchteil der r�cksto�freien
     Emission liefert der �bergang in's \emindex{Debye-Modell}
  \item Der Bruchteil der r�cksto�freien Emissionsprozesse ist durch
     den \bfindex{Debye-Waller-Faktor} $f$ gegeben
  \item Temperaturabh�ngigkeit von f: Konstant bei niedrigen
     Temperaturen, steiler, fast senkrechter Abfall in der N�her der
     \emindex{Debye-Temperatur} $\Theta = {\hbar \omega \over k_B}$
  \item Besonderheit des $^{57}Fe$-�bergangs:  $f=0.91$ bei
     Zimmertemperatur
\end{itemize}

\subsubsection{Versuchsaufbau}

\begin{itemize}
  \item Bewegliche Quelle
  \item fester Absorber
  \item Antrieb f�r die Quelle: \emindex{Lautsprecherprinzip}
  \item Messung der durchgelassenen Intensit�t gegen die
        Quellengeschwindigkeit
  \item Ergebnis ist eine $\gamma$-Linie mit nat�rlicher Linienbreite
\end{itemize}

\subsubsection{Beobachtbare Effekte}

\begin{itemize}
 \item \bfindex{Isomerie-Verschiebung} (\nfindex{chemische
Verschiebung}): Atomh�lle ruft am Kernort ein EM-Feld hervor, gegeben
durch den Monopolterm der \emindex{Hyperfeinwechselwirkung}. Da Grund-
und Anregungszustand verschiedene Radien haben \folgt �nderung des
Feldes am Kernort bei �nderung der H�llenkonfiguration (z. B. durch
Einbau in eine chem. Verbindung). Nur beobachtbar, wenn Quelle und
Absorber in verschiedenen chemischen Konfigurationen vorliegen. \folgt
Asymmetrie im Spektrum
  \item \bfindex{Quadrupolaufspaltung}: F�r unsymmetrische
Elektronenverteilung (\folgt \emindex{Feldgradient} am Kernort ) und
deformierten Kern f�hrt das Kernquadrupolmoment zur Linienaufspaltung.
\folgt R�ckschl�sse auf die Feldgradienten am Kernort.
  \item \bfindex{Magnetische Aufspaltung}: Aufhebung der Entartung
  \folgt magnetische \emindex{Hyperfeinstruktur}
  \item Me�ergebnisse zur allgemeinen Relativit�tstheorie in
  terrestrischen Experimenten
  \begin{Folgerungen}
  \item Gravitationsrotverschiebung von Licht
  \end{Folgerungen}
\end{itemize}

\subsection{Kernspektroskopie an instabilen Kernen}

\underline{Definition:} Kernspektroskopie = Untersuchung angeregter
Kernzust�nde.

Eigenschaften des angeregten Kernzustandes:
\begin{itemize}
\item Anregungsenergie
\item Drehimpuls I (\emindex{Kernspin})
\item \nfindex{Parit�t} $\pi$
\item magnetisches Moment $\mu$
\item \nfindex{Quadrupolmoment} Q
\item Radius R
\item Zerfallswahrscheinlichkeit $\lambda$
\end{itemize}

Vorgehensweise:
\begin{enumerate}
\item Messung der Energie der ausgesandten Quanten
\item Kl�rung der Abfolge der Zerfallsprozesse durch
      Koinzidenzmessungen
\item Bestimmung von Spin und Parit�t aus den bekannten Eigenschaften
      der Grundzust�nde �ber die Auswahlregeln. \folgt H�ufig nicht
      eindeutig, daher
\item Ermittlung eines konsistenten Zerfallsschemas aus zus�tzlichen
      Beboachtungsgr��en
\item {\bf Besonders unsicher}: $\beta$-Zerfall. Zu ihrer Auswertung
      sind n�tig: \emindex{Zerfallsenergie}, \emindex{Halbwertszeit}
      und u. U. Form des \emindex{$\beta$-Spektrum}s
\item Auswahlregeln f�r \nfindex{$\gamma$-Strahlung} sind anwendbar,
      wenn der Multipolcharakter bekannt ist (z. B. aus der Messung
      des \nfindex{Konversionskoeffizienten}, oder aus der
      Winkelverteilung der Strahlung)
\end{enumerate}

Ermittlung der Winkelverteilung der $\gamma$-Strahlung:
$\gamma$-$\gamma$-\bfindex{Winkelkorrelation}:

\begin{itemize}
\item Prinzip: Aus der Beobachtung des Linearimpulses \folgt
  Drehimpuls (aus Drehimpulserhaltung, und Additionsregeln f�r
  quantenmechanische Drehimpulse)
\item Klassischer Fall:
   \begin{Folgerungen}
     \item Kern mit Spin $I=0$
     \item Emission eines Teilchens mit Bahndrehimpuls $\vec{l}$ in
      x-Richtung
     \item \emindex{Drehimpulserhaltung}: Spin des Restkerns
      $-\vec{l}$ liegt in y-z-Ebene
     \item Emission eines weiteren Teilchen mit $-\vec{l}$ in
           y-Richtung
     \item I liegt in z-Richtung
     \item Beobachtung der Impulsrichtung beider Teilchen legt
           Spinrichtung des Zwischensystems fest!
   \end{Folgerungen}
\item Quantenmechanisch: Am Beispiel $0 \rightarrow 1 \rightarrow 0$
     \begin{Folgerungen}
     \item Emission eines $\gamma$-Quants zu Detektor $D_1$ \folgt sei
           z-Achse
     \item $\Delta I = 1$ \folgt Dipolstrahlung
     \item Zwei Winkelverteilungen f�r die Strahlung, von denen nur
           eine in z-Richtung emittiert
     \item Magnetische Quantenzahlen des Zwischenzustandes nur $m=\pm 1$
     \item Messung der Winkelverteilung f�r das zweite Quant
     \item {\bf Entscheidend}: Festlegung der Emissionsrichtung f�r
           das erste Quant f�hrt zur verschiedenen Besetzung der
           Zwischenzust�nde \folgt charakteristische Winkelverteilung
           f�r das zweite Quant
     \item Allgemeiner Fall: Entwicklung der Winkelverteilung in eine
           Reihe von Legendre-Polynomen und Ermittlung der
           Entwicklungskoeffizienten durch Messung. Dabei sind nur
           gerade Koeffizienten n�tig, da die \emindex{Parit�t} eine
           \emindex{Erhaltungsgr��e} ist
     \end{Folgerungen}
\end{itemize}

\section{Elastische Streuung}

\underline{Definition:} Sto�proze�, bei dem keine inneren
Freiheitsgrade der beteiligten Partner angeregt werden, und die Summe
der kinetischen Energien konstant bleibt.

Allgemeines:
\begin{itemize}
\item Berechnung in Schwerpunkkoordinaten
\item nur ein Streuwinkel (Gesamtimpuls = 0)
\item Problem entspricht Streuung eines Teilchens der reduzierte
n Masse
\item Ziel Berechnung der Streuamplitude
\item $|\mathrm{Streuamplitude}|^2 = $ \emindex{differentieller
      Wirkungsquerschnitt}
\item Problem: i. A. ist das \bfindex{Streupotential}
      \underline{nicht eindeutig} aus dem differentiellen
      Wirkungsquerschnitt ableitbar
\item \bfindex{Kernpotential}: kurzreichweitiges
      \emindex{Zentralpotential}
\item Allgemeine Annahme: Potential falle st�rker als $1 \over r$ ab
\item Prinzipell: Streuung ist ein dynamisches Problem \folgt Rechnung
      mit Wellenpaketen n�tig \folgt mathematisch aufwendig

      Daher
\item Betrachte Grenzfall sehr scharf definierter Energie
   \begin{Folgerungen}
    \item $p_z$ scharf definiert
    \item Ausdehnung der Welle in x-Richtung sehr gro�
    \item $p_x, p_y = 0$ d. h. sehr scharf geb�ndelt
    \item ,,unendliche'' Wellenl�nge in x- und y-Richtung
    \item Betrachte folglich einfallende ebene Welle $\exp{i
     (\vec{k} \cdot \vec{r}) - \omega t}$ d. h. f�r eine
     uendlich ausgedehnte und damit zeitunabh�nige Welle $e^{ikz}$
     \item Auslaufend findet man eine Kugelwelle ${1 \over r} e^{ikr}$
     \item Transmittierte Welle
     \begin{equation}
     \psi_T = A \left( e^{ikz} + f(\theta) {e^{ikr} \over r}\right)
     \end{equation}
     mit dem \emindex{Streuamplitude} $f(\theta)$
     \item Aus der Betrachung von einlaufener und auslaufender
           Stromdichte zeigt man
     \dframebox{$\left( {d\sigma \over d\Omega}\right)=|f(\theta)|^2$}
    \end{Folgerungen}
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Partialwellenzerlegung}}

Vorgehensweise:
\begin{itemize}
\item Betrachte \nfindex{Rutherfordstreuung}: Parametrisierung
      nach dem Sto�parameter $b$
\item Analog: Parametrisierung nach dem Bahndrehimpuls
      $\vec{l}=\vec{b} \times \vec{p}$
\item Ergebnis: \emindex{Ringzonen} d. h. in jeder Kreiszone statt $b
      \cdots b+db$ $l \cdots l+1$
\item Quantenmechanische Betrachtung
  \begin{itemize}
   \item Voraussetzungen
     \begin{Folgerungen}
     \item Zentralpotential (d.h. nur r-abh�ngig!)
     \item betrachte gro�en Abstand
     \item station�res Problem
     \end{Folgerungen}
   \item Da \bfindex{Zentralpotential} \folgt \emindex{Separation} der
         \nfindex{Wellenfunktion} in $\psi(\vec{r}) = R(r)
         \Theta(\theta) \Phi(\phi)$
   \item L�sung sind dann
         \begin{equation}
         \Theta(\theta) \Phi(\phi) = Y_{lm}(\theta, \phi) = c_{l,m}
         P_l^m(\cos(\theta)) e^{i m\phi}
         \end{equation}
   \item Die radiale Abh�ngikeit findet man dann zu
         \begin{equation}
         u_l(kr) = r j_l(kr) = r \sqrt{\pi \over 2kr} J_{l+\einhalb} (kr)
         \end{equation}
         wobei $j_l(kr)$ eine \emindex{sph�rische Besselfunktion} bzw.
         $J_{l+\einhalb}$ eine gew�hnliche \emindex{Besselfunktion} ist
   \item Entwickle nun $e^{ikz}$ in diesen L�sungen. Man findet
         \begin{equation}
         e^{ikz} = e^{ikr\cos(\theta)} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)
         i^l j_l(kr)  P_l(\cos(\theta))
         \end{equation}
   \item in {\bf gro�em Abstand} kann man die Besselfunktionen n�hern
   \item insgesamt ergibt sicht f�r die einfallende ebene Welle
   \begin{equation}
   \psi_e = e^{ikz} = {1 \over 2kr} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i^{l+1}
   \left[ e^{-i \left( kr - \halbe{l\pi}\right)} - e^{i \left( kr -
   \halbe{l\pi}\right)}\right] P_l(\cos(\theta))
   \end{equation}
   \item k bleibt erhalten, da elastische Streuung
   \item �ndern kann sich nur \nfindex{Amplitude} und \nfindex{Phase}
         \folgt Multiplikation der auslaufdenden Welle mit einem i. A.
         komplexen Faktor $\eta_l$, was die Gesamtfunkton $\psi_T$
         ergibt
   \item Mit
   \begin{eqnarray}
   & \psi_T = \psi_e + \psi_{Streu} \\
   & \psi_{Streu} = f(\theta) {e^{ikr} \over r}
   \end{eqnarray}
   ergibt sich $f(\theta)$ als Funktion von $\eta_l$
   \begin{equation}
   f(\theta) = {i \over 2 k} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l)
   P_l(\cos(\theta))
   \end{equation}
   \item \bfindex{differentieller Wirkungsquerschnitt}
   \begin{equation}
   {d\sigma \over d\Omega} = |f(\theta)|^2 = {1 \over 4 k^2}
   |\sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l) P_l(\cos(\theta))|^2
   \end{equation}
   \item \nfindex{totaler Wirkungsquerschnitt}: $\sigma =
   \int_{Kugel} {d\sigma \over d\Omega}$. Beachte Vollst�ndigkeit der
   \nfindex{Legendre-Polynom}e. Man findet
   \begin{equation}
   \sigma_s = {\pi \over k^2} \sum_l (2l+1) |1-\eta_l|^2
   \end{equation}
   \item F�r \emindex{Kernreaktionen} findet man den
         Reaktionsquerschnitt durch Betrachtung der
         Teilchenstromdichten $j_e$ und $j_T$
   \item \bfindex{Reaktionsquerschnitt}: $\sigma_r = {\int j_T r^2
          d\Omega \over j_e} $
   \item Definition des (reellen) \bfindex{Phasenwinkel}s:
   \begin{equation}
      \eta_l = |\eta_l| e^{2i\delta_l}
   \end{equation}
\end{itemize}
\item Verhalten f�r verschiedene $\eta_l$ (s. a. Mayer-Kuckuk S. 118)
\begin{itemize}
  \item $|\eta_l| = 1$: Reaktionsquerschnitt = 0, d. h.
        \underline{reine elastische Streuung} da nur Phasen�nderung
        auftritt, hier mu� man f�r die Rechnung nur $\delta_l$
        betrachten!
  \item $\eta_l = 0$: Maximaler Reaktionsquerschnitt
  \item $\eta_l = -1$: Gr��ter Streuquerschnitt
\end{itemize}
\item Unter Benutzung des Phasenwinkels findet man f�r die
      \emindex{Streuamplitude} bei rein elastischer Streuung
      \begin{equation}
      f(\theta) = {1 \over k} \sum_l (2l+1)
      \underbrace{\halbe{i}(1-e^{2 i \delta_l})}_{= e^{i \delta_l}
      \sin(\delta_l) }
      \end{equation}

\item Betrachtet man als Streupotential das
      \nfindex{Coulombpotential}  und das \nfindex{Kernpotential},
      so ist die Streuamplitude die Summe aus beiden
      Einzelstreuamplituden
\item Coulomb-Streuphase sehr kompliziert zu berechnen
\item zur Messung des Kernpotentials \folgt
      \bfindex{Neutronenstreuung}
\item \bfindex{S-Wellen-Streuung}: z. B. Streuung thermischer
      Neutronen
   \begin{Folgerungen}
   \item l=0
   \item $P_0 = 1$
   \item $f_0 = \bared{\lambda} e^{i\delta_0} \sin(\delta_0)$
   \item ${d\sigma \over d\Omega} = |f_0|^2 = \bared{\lambda}^2
         \sin^2(\delta_0)$
   \item Der \emindex{Wirkungsquerschnitt} ist hier Isotrop
   \item D. h. das Streuzentrum wirkt wie eine Kugel mit dem Radius
         $2 f_0$
   \item Thermische und langsame Neutronen sind f�r die Untersuchung
         des Kernpotentials gut geeignet, bei h�heren
         Neutronenenergieen nimmt die Reaktionsrate zu und es liegt
         keine S-Wellen-Streuung mehr vor.
\end{Folgerungen}

\item Betrachte L�sung eines Kastenpotentials (Mayer-Kuckuk S. 121ff)
  \begin{itemize}
   \item Potential schiebt die L�sung ohne Potential zu kleineren r
        (d.h. zum Potential hin) hier um ${\delta_0 \over k_a}$
   \item Anschlu�bedingungen liefern zwei F�lle
   \begin{Folgerungen}
   \item \bfindex{Potentialstreuung}: Anschlu� an die L�sung im
         Potential nahe dem Nulldurchgang
   \item \bfindex{Resonanzstreuung}: Anschlu� an die L�sung im
         Potential nahe dem Maximum der L�sung au�erhalb
   \item Phasendifferenz des Anschlusses zwischen Resonanz- und
         Potentialstreuung: 90\grad
   \end{Folgerungen}
  \end{itemize}

\item Experiment:
  \begin{itemize}
   \item Messung von $f(\theta)$ f�r verschiedene Energien
   \item Fit der $\delta_l$ an die gemessenen Verteilungen
   \item Je nach Projektil mu� das Coulombpotential ber�cksichtigt
         werden
   \item Anpassen des Potentialmodells so, da� sich als L�sung der
         \nfindex{Schr�dingergleichung} mit diesem Potential die
         bestimmten $\delta_l$ erbeben
  \end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Streul�nge} und \nfindex{effektive Reichweite}}

\begin{itemize}
\item \underline{Definition}: \bfindex{Streul�nge}

      Zur Ermittlung der Streul�nge legt man am Potentialrand eine
Tangente an die L�sung der \nfindex{Schr�dingergleichung}. Der
Schittpunkt dieser Tangente mit der r-Achse definiert die Streul�nge.
\begin{Folgerungen}
\item $a > R_0$: gebundener Zustand
\item $a < R_0$: ungebundener Zustand
\item $0 < a < R_0$: repulsives Potential
\item f�r sehr gro�es a: \emindex{Resonanzstreuung}, d. h.
      $E \rightarrow |V|$
\item f�r kleine Teilchenenergieen sieht man eine Streuung an einer
      harten Kugel mit Radius $2 a$ ($\sigma_0 = 4\pi a^2$)
\end{Folgerungen}
(s. a. Fig.55 Mayer-Kuckuk S. 128 )

\item \underline{Definiton}: \bfindex{effektive Reichweite}

      Sei v die ungest�rte Fortsetzung der L�sung der
Schr�dingergleichung u (d. h. ohne Potential). $v^2 - u^2$ gibt dann
den Einflu� des Potentials auf die Wellenfunktion wieder. Man
definiert die effektive Reichweite als
\begin{equation}
r_e = 2 \int_0^\infty (v^2 - u^2) dr
\end{equation}
F�r die G�ltigkeit dieser Definition mu� die Teilchenenergie klein
gegen die Potentialtiefe sein.
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Bornsche N�herung}}

\begin{itemize}
  \item Zur Berechnung bei gro�en Teilchenenergien, da bei hohen
  Teilchenenergien viele Partialwellen n�tig w�ren
  \item Betrachte einlaufende und auslaufende Welle als eben, d. h.
     \begin{eqnarray}
      {1 \over \tau} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} &
      {1 \over \tau} e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}} \\
      \mbox{mit }& \int |\psi| d\tau = 1
     \end{eqnarray}
  \item Betrachte die \emindex{�bergansrate} aus \bfindex{Fermi's
        Goldene Regel}
        \begin{equation}
        W(\vec{k}', \vec{k}) {2 \pi \over \hbar}  \left|
        U(\vec{k},\vec{k}') \right|^2 {dn \over dE}
        \end{equation}
        mit dem \nfindex{�bergangsmatrixelement} U
  \item F�r das �bergangsmatrixelement gilt hier:
   \begin{equation}
   U(\vec{k}',\vec{k}) = {1 \over \tau} \int \left( e^{i \vec{k}'
   \cdot \vec{r}}\right)^* V(r) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d\tau
   \end{equation}
  \item {\bf Beachte:} St�rungstheoretische Rechnung, d. h. im
        Gegensatz zur Partialwellenmethode nicht exakt!
  \item Der \emindex{Wirkungsquerschnitt} ergibt sich mit der
  Stromdichte der einfallenden Teilchen
  \begin{equation}
   {d\sigma \over d\Omega} = {W_\theta(\vec{k},\vec{k}') \over j}
  \end{equation}
  \item f�r die \nfindex{Dichte der Endzust�nde} gilt
  \begin{equation}
    {dn \over dE} = {\tau p^2 \over h^3 \sigma}
  \end{equation}
  \item {\bf G�ltigkeitsbereich}: $E \gg V$ d. h. $R_0 k
  \left|\sqrt{1\pm {V_0 \over E}} - 1 \right| \ll 1$
  \item Hieraus z. B. die \emindex{Rutherford-Streuung}, wenn
  das Potential $V(r) = {ZZ' e^2 \over r}$
\end{itemize}

F�r schwere Ionen findet man
\begin{itemize}
 \item Nahezu klassische Beschreibung m�glich
 \item Voraussetzung hierzu: Potential �ndert sich im Verlauf der
 Wellenl�nge wenig, d. h. $|\nabla(\bared{\lambda(r)})|^2 \ll 1$
 \item Oder $2 \bared{\lambda} \ll r_{min}$
 \item Kriterium f�r klassische Bahnen: gro�er
       \emindex{Sommerfeldparameter}
    \begin{equation}
    n = {Z_1 Z_2 e^2 \over \hbar v_0} = 0.16 Z_1 Z_2 \sqrt{m_r \over
    E_{CM}}
    \end{equation}
 \item Bei Rechnung mit Partialwellen stellt man fest, da� bei
       schweren Ionen sehr hohe Drehimpulse auftreten
 \item \emindex{Glory-Effekt}: Projektil umrundet den Targetkern und
       wird r�ckw�rts gestreut
\end{itemize}

\section{Kernkr�fte und starke Wechselwirkung}

\subsection{\nfindex{Deuteron}}

Eigentschaften
\begin{itemize}
  \item \emindex{Bindungsenergie}: 2.225 MeV, Bestimmung durch
  \emindex{Photospaltung} oder Messung der beim Neutroneneinfang an
   Protonen freiwerdenden $\gamma$-Strahlung
  \item \emindex{Spin}: 1 aus Hyperfeinstrukturbeobachtungen
  \folgt \bfindex{Triplett-Zustand}
  \item \emindex{Bahndrehimpuls}: 0 \folgt \nfindex{Grundzustand}
   $^3S_1$
  \item \emindex{Magnetisches Moment}: 0.86$\mu_K$ aus der
  \nfindex{Kernspinresonanz}, Summe aus Protonen und Neutronenmoment
   w�re 0.88$\mu_K$
  \item \emindex{Quadrupolmoment}: sehr klein aus dem
   \nfindex{Zeemann-Effekt} der \nfindex{Hyperfeinstruktur}
  \item N�herungsweise Beschreibung als Zentralpotential,
   Quadrupolmoment weist aber auf einen Spinabh�ngigen nichtzentralen
   Beitrag der Kernkraft hin
  \item Aus der positiven \emindex{Parit�t} des Deuterons und dem
   kleinen \nfindex{Quadrupolmoment} folgt Beimischung von $^3D_1$
   zum Grundzustand
  \item \emindex{Radius}: Bei N�herung mit einem Kastenpotential
   findet man eine Beziehung zwischen Radius und
   \nfindex{Potentialtiefe}
   \begin{Folgerungen}
   \item je kleiner der Radius desto tiefer das Potential
   \item Defintion des Radius als den Wert, bei dem die Wellenfunktion
    auf $1\over e$ abgefallen ist
   \item \nfindex{Deuteronradius}: ca. 4.3fm, da Bindungsenergie ca.
    2.2MeV
   \item h�ufig benutze N�herungform f�r die
    \nfindex{Deuteronwellenfunktion}:
    \emindex{Hulth�n-Wellenfunktion}
\end{Folgerungen}
\end{itemize}

\subsection{Spinabh�ngigkeit der Kernkr�fte}

\begin{itemize}
 \item Problem: Kein gebundener Singulett-Zustand des Deuterons \folgt
  Neutron-Proton-Wechselwirkung spinabh�ngig
 \item Absch�tzung �ber das Magnetische Moment:
   \begin{equation}
    E_{mag} = 0.0159 {\mu_1 \mu_2 \over R^3} [MeV]
   \end{equation}
   f�r R in fm. Liefert eine zu geringe Kraft, um die Aufhebung der
   Bindung zu erkl�ren.
 \item Untersuchung durch Streuung langsamer Neutronen
 \item {\bf Berechneter} \bfindex{Streuquerschnitt}: $\sigma = 4 \cdots 9 b$
 \item {\bf Gemesssener Streuquerschnitt}: $\sigma = 20.3b$
 \item L�sung (Wiegner): Der gemessene Streuquerschnitt ist die Summe
   aus \bfindex{Trippletstreuung} und \bfindex{Singulettstreuung}
   \begin{equation}
   \sigma = {3 \over 4} \sigma_t + {1\over 4} \sigma_s \exeq 20.3b
   \end{equation}
 \item Vorfaktoren da 3 Singulettzust�nde und 1 Tripplettzustand

\end{itemize}


\rem{---}
\pagebreak
\rem{---}

\section{Kinematik der Kernreaktionen}

Betrache: Laborsystem, relativistische Teilchen, Bindungsenergien,
zwei Teilchen im Anfangs- und Endzustand

\begin{equation}
 a + b \rightarrow c + d
\end{equation}

Energie:

\begin{equation}
E = {m_0 c^2  \over \sqrt{1-\beta^2} } \approx m_0 c^2 + \einhalb m_0
v^2 + ...
\end{equation}

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

\dframebox{$E=\sqrt{c^2 p^2 + m_0^2 c^4}$}

\section{Bezeichnungen}

\begin{tabular} {||c|c|c||c|c|c||}
\hline
Name & K�rzel & Element & Name & K�rzel & Element \\
\hline
  \nfindex{Mesothorium 1} & MsTh1 &  $^{228}$Ra
& \nfindex{Mesothorium 2} & MsTh2 &  $^{228}$Ac \\
  \nfindex{Radiothorium}  & RdTh  &  $^{228}$Th
& \nfindex{Th-Emanation}  & Tn    &  $^{220}$Rn \\
  \nfindex{Thoron}        & Tn    &  $^{220}$Rn
& \nfindex{Thorium A}     & ThA   &  $^{216}$Po \\
  \nfindex{Thorium B}     & ThB   &  $^{212}$Pb
& \nfindex{Thorium C}     & ThC   &  $^{212}$Bi \\
  \nfindex{Thorium C'}    & ThC'  &  $^{212}$Po
& \nfindex{Thorium C''}   & ThC'' &  $^{208}$Tl \\
  \nfindex{Thorium D}     & ThD   &  $^{208}$Pb
& \nfindex{Radium A}      & RaA   &  $^{218}$Po \\
  \nfindex{Radium B}      & RaB   &  $^{214}$Pb
& \nfindex{Radium C}      & RaC   &  $^{214}$Bi \\
  \nfindex{Radium C'}     & RaC'  &  $^{214}$Po
& \nfindex{Radium C''}    & RaC'' &  $^{210}$Tl \\
  \nfindex{Radium D}      & RaD   &  $^{210}$Pb
& \nfindex{Radium E}      & RaE   &  $^{210}$Bi \\
  \nfindex{Radium F}      & RaF   &  $^{210}$Po
& \nfindex{Radium G}      & RaG   &  $^{206}$Pb \\
  \nfindex{Emmanation}    & Rn    &  $^{222}$Rn
& \nfindex{Ionium}        & Io    &  $^{230}$Th \\
  \nfindex{Uran X1}       & UX1   &  $^{234}$Th
& \nfindex{Uran X2}       & UX2   &  $^{234}$Pa \\
  \nfindex{Uran I}        & U I   &  $^{238}$U
& \nfindex{Uran II}       & U II  &  $^{234}$U  \\
  \nfindex{Thorium X}     & ThX   &  $^{224}$Ra
&                         &       &             \\
\hline
\end{tabular}


%===============Dokument Ende ======================================

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\end{document}
