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\documentclass[titlepage,12pt,a4paper]{report}

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\title{Zusammenfassung Computational Physics}
\author{Alexander Wagner }
\date{19.07.99}

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\makeindex

% Seitengr"o{\ss}en definieren

\begin{document}

% Titelseite erzeugen
\maketitle

\parindent0cm
\tableofcontents
\pagebreak

\pagestyle{myheadings}


%============== Dokument Begin =====================================
\chapter{Fragenkatalog}

(Seitenangaben f"ur Kinzel/Reents: ,,Physik per Computer'', 1. Aufl.
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1996)

\begin{enumerate}
   \item Nichtlineares Pendel S. 6
   \item Fouriertransformation S. 13
   \item Nichtlinearer Fit S. 25

   \dframebox{Lineare Gleichungen}
   \item Quantenoszillator S. 51
   \item Anharmonischer Oszillator
   \item Kettenschwinungungen S. 65
   \item Hofstadter Schmetterling S. 69

   \dframebox{Iterationen}
   \item Populationsdynamik - Logistsiche Abbildung S. 89
   \item Frenkel-Kontorov Modell S. 101
   \item Fraktales Gitter S. 110

   \dframebox{Differentialgleichungen}
   \item Runge-Kutta-Verfahren S. 127
   \item Chaotisches Pendel S. 134
   \item Station"are Zust"ande S. 144
   \item Solitonen S. 150
   \item Zeitabh"angige Sch"ordingergleichung S. 159

   \dframebox{Monte-Carlo-Simulationen}
   \item Fraktale Aggregate S. 180
   \item Perolkation S. 189
   \item Polymerketten S. 200
   \item Ising Ferromagnet S. 210

\end{enumerate}

\rem{---}

\chapter{Allgemeines}

\section{Nichtlineares Pendel (S. 6)}

\subsection{Physik}

\begin{itemize}
  \item Mathematisches Pendel
  \item \bfindex{Energieerhaltung} liefert
    \bfindex{Bewegungsgleichung}:
    \begin{equation}
     \underbrace{ \einhalb m l^2 \dot{\phi}^2}_{E_{kin}}
            - \underbrace{m g l \cos(\phi)}_{E_{pot}}
            = - \underbrace{m g l \cos(\phi_0)}_{E_0}
    \end{equation}
  \item Bestimmung von $\phi(t)$
    \begin{itemize}
      \item Aufl"osen nach $\dot{\phi}^2$
      \item Aufl"osen nach dt
      \item Integrieren
    \end{itemize}
    Man findet:
    \begin{eqnarray}
      & dt = \sqrt{l \over 2g} {d\phi \over \sqrt{\cos(\phi) -
        \cos(\phi_0)}} \\
      & t(\phi) = \sqrt{{l \over 2g}} \int_0^\phi {d\phi' \over
        \sqrt{\cos(\phi') - \cos(\phi_0)}}
    \end{eqnarray}
    (mit $\phi(0) = 0$ und $\dot{\phi}(0) > 0$)
  \item Divergenz des Integranden: Substitution
    \begin{equation}
      \sin(\psi) = {\sin(\einhalb{\phi}) \over \sin(\einhalb(\phi_0))}
    \end{equation}
   Man findet damit folgendes:
   \begin{eqnarray}
     \sin(\psi) & = & {\sin\left(\halbe{\phi}\right) \over \sin\left(
     \halbe{\phi_0}\right)} \\
     \folgt \psi & = & \arcsin\left( {\sin\left(
     \halbe{\phi}\right) \over \sin\left(
     \halbe{\phi_0}\right)}\right) \\
   \end{eqnarray}
    Differential transformieren!
   \begin{eqnarray}
     {d\psi \over d\phi} &  = & {1 \over \sqrt{1-{\sin^2\left(
     \halbe{\phi}\right) \over \sin^2\left( \halbe{\phi_0}\right)}}}
     {\cos\left( \halbe{\phi}\right) \over \sin\left(
     \halbe{\phi_0}\right)} \einhalb \\
     & = & \einhalb \sqrt{ {\cos^2\left( \halbe{\phi}\right)}  \over
     \underbrace{\sin^2\left( \halbe{\phi_0}\right)}_{\einhalb
     (1-\cos(\phi_0))}
     - \underbrace{\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)}_{\einhalb
     (1-\cos(\phi))}}   \\
     & = & {1 \over \sqrt{2}} \sqrt{{
     \overbrace{\cos^2\left(\halbe{\phi}\right)}^{1-\sin^2\left(
     \halbe{\phi}\right)} \over \cos(\phi) - \cos(\phi_0)}}
   \end{eqnarray}
   damit folgt
   \begin{eqnarray}
    {d\phi \over \sqrt{\cos(\phi) - \cos(\phi_0}} & = & \sqrt{2 \over
    1-\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)} \\
    \folgt t(\phi) & = & \sqrt{l \over g} \int_0^\psi \sqrt{2 \over
    1-\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)} \\
    & = & \sqrt{l \over g} \int_0^\phi{{d \psi \over
    \sqrt{1-\sin^2\left( \halbe{\phi_0} \sin^2(\psi)\right)}}}
   \end{eqnarray}

  \item Umschreiben auf \emindex{Elliptisches Integral}
        $F\left(\psi, {\sin(\phi_0) \over 2}\right)$:
    \begin{equation}
      t(\phi) = \sqrt{{l \over g}} \int_0^\psi {d\psi' \over
      \sqrt{1- \sin^2({\phi_0 \over 2}) \sin^2(\psi')}} = \sqrt{{l
      \over g}} F\left(\psi, {\sin(\phi_0) \over 2}\right)
    \end{equation}
  \item \bfindex{Schwingungsdauer}: $T = 4 t(\phi_0)$
    \begin{equation}
      T = 4 \sqrt{{l \over g}} F \left( {\einhalb{\pi}, \sin\left(
      \einhalb{\phi_0}\right)}\right) = 4 \sqrt{{l \over g}} K\left(
      \sin(\einhalb{\phi_0})\right)
    \end{equation}
    $K\left(\sin \left(\einhalb{\phi_0}\right) \right)$
    \emindex{Vollst"andiges elliptisches Integral} erster Art
  \item Ma{\ss} f"ur die \emindex{Nichtlinearit"at}:
        $\sin^2\left({\phi_0 \over 2}\right)$
  \item Umkehrfunktionen der Elliptischen Integrale: \emindex{Jacobi
        Amplitude}

  \item Ergebnisse:
   \begin{enumerate}
     \item mit wachsendem $\phi_0$ zun"achst schwache Abweichung von
der harmonischen Schwingung \end{enumerate}
     \item ist $\phi_0 > 90\grad$ \folgt $T \uparrow$
     \item $\phi_0 \rightarrow 180\grad$ \folgt Divergenz von T, das
Pendel braucht eine unendlich lange Zeit um im oberen Umschlagpunkt
zum Stillstand zu kommen
     \item skalierte Amplitude \index{Amplitude!skalierte}: bei
kleinem $\phi_0$ \folgt \emindex{Sinusschwingung}, $\phi_0 \rightarrow
\pi$ \folgt $\rightarrow $ \emindex{Stufenfunktion}
     \item \emindex{Fourierentwicklung}:
     \begin{Folgerungen}
      \item ungerade Funktion \folgt nur Sinusterme in der
            Entwicklung
      \item periodische Funktion \folgt ungeradzahlig Vielfache der
            Grundfrequenz bleiben "ubrig ($\omega={2\pi \over T},
            2\omega, 4\omega,\ldots$)
      \item steigt die \nfindex{Amplitude} der h"oheren Harmonischen
            \folgt steigende \nfindex{Anharmonizit"at} (Kurve wird
            eckiger)
      \item \emindex{Phasenraumplot} $(\phi, \dot{\phi})$
      findet man f"ur kleine $\phi_0$ (Auslenkungen) Kreise, die sich
      mit wachsender Energie verformen. $E_{kin} > E_{pot}$ \folgt
      \emindex{"uberschlag} \folgt Bewegung nur in eine Richtung mit
      $\omega > 0$ auch am oberen \nfindex{Umschlagpunkt}
     \end{Folgerungen}

\end{itemize}


\section{Fouriertransformation (S. 13)}

\begin{itemize}
  \item Entspricht: \emindex{Trigonometrische Interpolation} (s.a.
        \nfindex{Stoer} I, S.78)
  \item Verwendung: Interpolation periodischer Funktionen
  \item Idee: $\sin(x), \cos(x)$ spannen eine
        vollst"andige \nfindex{Orthonormalbasis}
        f"ur einen \nfindex{Vektorraum} auf. Alle Funktionen sollten
        sich in dieser Basis entwickeln lassen.
        (Beweise f"ur Basis etc. s. \nfindex{Stoer} I) \folgt Man kann zeigen,
        da{\ss} es genau ein Interpolationspolynom gibt, das durch alle
        \nfindex{St"utzstellen} geht.
    \item Ansatz:
    \begin{itemize}
      \item Gegeben seien N St"utzpunkte $(x_k, f_k), k=0\cdots N-1$
      \item o.B.d.A. nach Gr"o{\ss}e geordnet, d.h. $0 \leq x_0 < x_1 <
            \cdots < x_{N-1} < 2\pi$
      \item Entwicklung in $\sin()$ und $\cos()$:
         \begin{eqnarray}
           & \psi(x) = {A_0 \over 2} + \sum_{h=1}^M  (A_h \cos(hx) +
           B_h \sin(hx)) \\
           & \mbox{f"ur $N=2M+1$ ungerade} \nonumber \\
           & \psi(x) = {A_0 \over 2} + \sum_{h=1}^{M-1}  (A_h
           \cos(hx) + B_h \sin(hx)) + {A_M \over 2} \cos(Mx) \\
           &\mbox{f"ur $N=2M$ gerade} \nonumber \\
           &\mbox{beide Formen sind "aquivalent zu} \nonumber \\
           & p(x) = \beta_0 + \beta_1 e^{ix} + \beta_2 e^{2ix}+ \cdots
          \beta_{N-1} e^{(N-1) ix}
         \end{eqnarray}
         ("ubergang zwischen beiden Formen mit \emindex{Moivrescher
          Formel})
         \item Zu bestimmen ist $p(x)$ so, da{\ss} $p(x_k) = f_k \forall k$
         \item Koeffizienten des komplexen Polynoms:
          \begin{equation}
            \beta_j = {1 \over N} \sum_{k=0}^{N-1} f_k \omega_k^{-j} =
            {1 \over N} \sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi i {j k \over N}}
          \end{equation}
          Beweis:

          Es sei: $\omega^j = e^{j i x}$, d.h. an den St"utzstellen
          $x_k$ ist $\omega_k^j = e^{j i x_k}$. Damit kann man das
          \emindex{Interpolationspolynom} schreiben als:
          \begin{equation}
            p(\omega) = \beta_0 + \beta_1 \omega + \cdots +
            \beta_{N-1} \omega^{N-1} = \sum_{j=0}^{N-1} \beta_j
            \omega^j \equiv f_k |_{x=x_k}
          \end{equation}
          Damit ergibt sich:
          \begin{eqnarray}
            & \sum_{k=0}^{N-1} f_k \omega_k^{-j} = \nonumber \\
            & = \beta_0
            {(\omega_0)^0 \over (\omega_0)^0} + \beta_1 {(\omega_1)^1
            \over (\omega_1)^1} + {\beta_2 (\omega_2)^2 \over
            (\omega_2)^2} + \cdots \beta_{N-1} {(\omega_{N-1})^{N-1}
            \over (\omega_{N-1})^{N-1}} = N \beta_j \\
            & \folgt \beta_j =  {1 \over N} \sum_{k=0}^{N-1} f_k
            e^{-2\pi i {j k \over N}} \\
            & & \Box \nonumber
          \end{eqnarray}
          Die \nfindex{Abbildung} von $f$ auf $\beta$ hei{\ss}t
          \emindex{diskrete Fouriertransformation}
        \item \emindex{Minimaleigenschaft} der
        \nfindex{Abschnittspolynom}e: Von allen m"oglichen
          trigonometrischen Polynomen $q(x) = \gamma_0 + \gamma_1
          e^{ix} + \cdots + \gamma_s e^{i sx}, s \leq N-1$ minimiert
          das \emindex{Fourierpolynom} $p_s(x) = \beta_0 + \beta_1
          e^{ix} + \cdots + \beta_s e^{i sx}$ die
          \emindex{Fehlerquadratsumme}:
          \begin{equation}
            S(q) = \sum_{k=0}^{N-1} \left| f_k - q(x_k)\right|^2
          \end{equation}
          Insbesondere ist $S(p) = 0$. Dadurch sind die
          Abschnittspolynome eindeutig bestimmt. (Beweis: \nfindex{Stoer} I,
          S.83)
        \item F"ur die \nfindex{Koeffizienten} der trigonometrischen
        Polynome gilt:
        \begin{eqnarray}
           &&A_h = \beta_h + \beta_{N-h} \\
           &&B_h = i(\beta_h - \beta_{N-h})
        \end{eqnarray}
        Dies gilt allgemein im komplexen.

        \beachte F"ur reelle St"utzordinaten $f_k$ sind die
        Koeffizienten reell.
      \end{itemize}
  \item \beachte Hohe Frequenzen ergeben oft eine schlechte N"aherung.
Aber man kann hohe Frequenzen in niedrige negative umwandeln, wenn man
beachtet, da{\ss} $\beta_s = \beta_{s-N}$ ist.

\end{itemize}

\subsection{Algorithmus zur Fast Fourier Transformation}

\begin{itemize}
  \item Problem: Auswertung von Summen der Form
     \begin{equation}
       \beta_j =  {1 \over N} \sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi i {j k
       \over N}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \  j=0,1,\cdots,N-1
     \end{equation}
     \folgt $\Order(N^2)$ Multiplikationen!

     Definiere $W = e^{2 \pi i \over N}$ \folgt $\beta_j =
     \sum_{k=0}^{N-1} W^{jk} f_k$ \entspr \nfindex{Matrix} mal Vektor,
     d. h. pro Zeile N Multiplikationen in N Zeilen.

  \item \bfindex{FFT} (\nfindex{Fast Fourier Transformation}) ben"otigt
        nur $\Order(N \log(N))$ Multiplikationen
  \item \prinzip Darstellung von N als Produkt $N_1 \cdot
        N_2 \cdot N_3 \cdots N_n$, dann Reduktion auf kleinere
        Probleme der Gr"o{\ss}e $N_m$
  \item H"ochste Effizienz f"ur $N=2^n$ mit $n > 0$ (ganz)
  \item Verfahren: (\nfindex{Sande}, \nfindex{Tukey} 1966)
  \begin{itemize}
    \item \definition
      \begin{equation}
          \epsilon_n = \exp{\left( {2 \pi i \over 2^n}\right)}
      \end{equation}
    \item Damit lassen sich die \nfindex{Koeffizienten} schreiben:
      \begin{equation}
        N \beta_jt = \sum_{k=0}^{N-1} f_k \epsilon_n^{j k}
      \end{equation}
      wobei $j = 0, 1, \cdots N-1$
    \item Aufspaltung der Summen in geraden ($j=2h$) und ungeraden
      Anteil ($j=2h+1$)
    \item Zusammenfassung der ,,komplement"aren Terme'' $f_k
          \epsilon_n^{jk}$ und $f_{k+M} \epsilon_n^{n(k+M)}$ wobei
         $k=0,1,\cdots, M-1$ mit $M := {N\over 2}$
    \item Man erh"alt Summen halber l"ange. Mit $\epsilon_n^2 =
          \epsilon_{n-1}$ und $\epsilon_n^M  = -1$ erh"alt man:

    \begin{eqnarray}
     N \beta_{2h} = \sum_{k=0}^{N-1} f_k \epsilon_n^{2hk} =
     \sum_{k=0}^{M-1} \underbrace{(f_k + f_{k+M})}_{f'_k}
     \epsilon_{n-1}^{hk} \\
     N \beta_{2h+1} = \sum_{k=0}^{N-1} f_k \epsilon_n^{(2h+1)k} =
     \sum_{k=0}^{M-1} \left( \underbrace{(f_k - f_{k+M})
     \epsilon_n^k}_{f''_k} \right) \epsilon_{n-1}^{hk}
    \end{eqnarray}
    \item Diese Summen lassen sich analog weiter verk"urzen, so da{\ss} man
          mit $m = n, n-1, \cdots, 0$ und den Abk"urzungen $M:=2^{m-1}$
          und $R:= 2^{n-m}$:
          \begin{equation}
          N \beta_{j R+r} = \sum_{k=0}^{2M-1} f_{r,k}^{(m)}
          \epsilon_m^{jk}
          \end{equation}
          mit $r=0,1,\cdots, R-1$ und $j= 0,1,\cdots, 2M-1$ sowie der
          rekursiven Definition der $f_{r,k}^{(m)}$ ausgehend von den
          Startwerten $f_{0,k}^{(n)} := f_k$
          \begin{eqnarray}
            && f_{r,k}^{(m-1)} = f_{r,k}^{(m)} + f_{r,k+M}^{(m)} \\
            && f_{r+R,k}^{(m-1)} = f_{r,k}^{(m)} - f_{r,k+M}^{(m)}
               \epsilon_m^k
          \end{eqnarray}
    \item Die gesuchten \nfindex{Koeffizienten} ergeben sich dann zu
    \begin{equation}
      \beta_r = {1 \over N} f_{r,0}^{(0)}
    \end{equation}
    \item Problem bei der konkreten Implementation: Das Arbeiten mit
     zwei unabh"angigen Arrays zur Speicherung aller Werte
     $f_{*,*}^{(m)}$ ben"otigt ausgesprochen viel Platz. \folgt
     Effizientere Speicherverwaltung n"otig! Man kann mit einem Array
     auskommen. (S. Stoehr I, S. 87ff)

  \end{itemize}

\end{itemize}

\subsection{Konkrete Realisierung}

s. a. Numerical Receipes in C: 12.2 Fast Fourier Transform (FFT)

\begin{itemize}
  \item \definition
     \begin{equation}
       W = e^{2 \pi {i \over N}}
     \end{equation}
  \item jede Transformation l"a{\ss}t sich in gerade und ungerade Punkte
teilen (\emindex{Danielson-Lanczos Lemma}):
     \begin{eqnarray}
       F_k &=& \sum_{j=0}^{N-1} e^{2 \pi i k {j \over N}} f_j \\
           &=& \sum_{j=0}^{\halbe{N}-1} e^{2 \pi i k {2j \over N}} f_{2j}
             + \sum_{j=0}^{\halbe{N}-1} e^{2 \pi i k {2j+1 \over N}}
               f_{2j+1} \\
           &=& \sum_{j=0}^{\halbe{N}-1} e^{2 \pi i k {j \over {N \over 2}}} f_{2j}
             + W^k\sum_{j=0}^{\halbe{N}-1} e^{2 \pi i k {j \over {N
               \over 2}}} f_{2j+1} \\
           &=& F_k^e + W^k F_k^o
     \end{eqnarray}

   \item Rekursive Anwendung des \emindex{Danielson-Lanczos Lemma}
f"uhrt auf eine \nfindex{Einpunkt-Transformation}
     \begin{equation}
       F_k^{eeeoeoeooo\cdots eoo} = f_n
     \end{equation}
     d. h. einer der Koeffizienten ist gleich dem Eingabewert der
Transformation. Problem: Bestimmung desjenigen $n$ f"ur das das gilt

    \item Betrachtung des Teilungsalgorithmus liefert
      \begin{Folgerungen}
        \item jede Teilung testet ob die Gesamtzahl der Komponenten
        gerade oder ungerade ist, also das kleinste signifikante Bit
        auf gerade oder ungerade
        \item Kombination der e und o liefert eine Bin"arzahl, bei der
        e f"ur 0 und o f"ur 1 steht
        \item diese Bin"arzahl ist ''r"uckw"arts'' angeschrieben
        (\nfindex{Bitreversal})
        \item Algorithmus zur Findung des zugeh"origen $n$: Schreibe
        f"ur alle e eine 0, f"ur o eine 1, drehe die Folge der e's und
        o's um und interpretiere die entstehende Folge als Bin"arzahl
      \end{Folgerungen}
    \item Anzahl der n"otigen Operationen: $\log_2(N)$ aufteilungen, N
      Multiplikationen \folgt $N \log_2(N)$ Operationen insgesamt

    \beachte Ausgangsvektor mu{\ss} eine $2^N$ Eingangswerte haben, damit
    die Teilung auf einer Punkttransformation endet

    \item Laufindizes der Summen: $N-1 \rightarrow \halbe{N}-1
\rightarrow \cdots \rightarrow 1$, d.h. Punkttransformation ist erreicht,
wenn die Summe nur noch "uber einen Wert l"auft  (\folgt
Abbruchbedinung)

    \item \emindex{Bitreversal}: Entspricht dem tauschen von zwei
Arrayeintr"agen, d.h. es wird kein zus"atzlicher Speicherplatz ben"otigt.
(Wenn die erste Zahl das bitinvertierte der zweiten ist, ist die
zweite das Bitinvertierte der ersten, z. B. $1011011 \leftrightarrow
1101101$)

    \item Beschleunigung der Berechnung: je weniger Sinus- und
Cosinusfunktionen berechnet werden m"ussen, umso schneller der
Algorithmus. \folgt Berechnung von Sinus und Cosinus h"oherer
Winkelwerte "uber \nfindex{Additionstheorem}e wie $\sin(2\alpha) = 2
\sin(\alpha) \cos(\alpha)$ etc.


\end{itemize}

\subsection{Eigenschaften der Diskreten FFT}

\begin{itemize}
  \item F"ur Spr"unge in der Ausgangsfunktion sind hohe Frequenzen zur
Wiedergabe n"otig
  \item Hohe Frequenzen f"uhren in der Fourierapproximation zu starken
Oszillationen, so da{\ss} bisweilen die Ausgangsfunktion nur schlecht
wiedergegeben wird.
  \item Da man die Fourierreihe "uber beliebige Intervalle laufen
lassen kann, kann man dieses Ph"anomen verringern
  \item An Sprungstellen findet sich immer ein starkes
\emindex{"uberschwingen} (\nfindex{Gibbsches Ph"anomen}) \folgt
schlechte Approximation unstetiger Funktionen

  \item \emindex{Aliasing}:
  \begin{Folgerungen}
    \item jede Sinusfunktion mu{\ss} an mindestens 2 St"utzstellen gemessen
    werden um eindeutig zu sein (\nfindex{Abtastrate} $\Delta$)
    \item \emindex{Nyquist-Frequenz}: h"ochste in der in der
    \nfindex{Approximation} verwendbare Frequenz, d. h. h"ohere
    Frequenzen (im positiven wie negativen) aus der Reihenentwicklung
    m"ussen verworfen werden (\nfindex{Low-Pass-Filter} n"otig!)

    \begin{equation}
      f_c \defeq {1 \over 2 \Delta}
    \end{equation}
  \end{Folgerungen}


\end{itemize}

\subsection{Symmetrieeigenschaften der Fourierkoeffizienten}

Sei $h(t)$ die Ausgangsfunktion und $H(f)$ deren Fouriertranformierte,
sowie $a_k$ die Koeffizienten der Cosinuns und $b_k$ die Koeffizienten
der Sinusterme dann gilt

\begin{itemize}
  \item $h(t)$ reell \folgt $H(-f) = H^*(f)$
  \item $h(t)$ imagin"ar \folgt $H(-f) = -H^*(f)$
  \item $h(t)$ gerade \folgt $H(f)$ gerade
  \item $h(t)$ ungerade \folgt $H(f)$ ungerade
  \item $h(t)$ reell gerade \folgt $H(f)$ reell gerade
  \item $h(t)$ reell ungerade \folgt $H(f)$ imagin"ar ungerade
  \item $h(t)$ imagin"ar gerade \folgt $H(f)$ imagin"ar gerade
  \item $h(t)$ imagin"ar ungerade \folgt $H(f)$ reell ungerade
  \item $h(a t) \longrightarrow {1 \over a} H\left({f \over a}\right)$
        \emindex{Timescaling}
  \item ${1\over |b|} h\left( {t\over b}\right) \longrightarrow H(b f)$
        \emindex{Frequencyscaling}
  \item $h(t-t_0) \longrightarrow H(f) e^{2 \pi i t_0}$
        \emindex{Timeshifting}
  \item $h(t) e^{-2 \pi i f_0 t} \longrightarrow H(f-f_0)$
        \emindex{Frequencyshift}

  \item $h(t)$ gerade \folgt $b_k = 0$
  \item $h(t)$ ungerade \folgt $a_k = 0$
  \item $h(t + \halbe{T}) = -h(t)$ (Periodizit"at) \folgt $a_{2k} = 0 =
        b_{2k}$
  \item $h(t)$ ungerade und periodisch \folgt $a_k = 0 = b_{2k}$
  \item $h(t)$ gerade und periodisch \folgt $b_k = 0 = a_{2k}$
\end{itemize}

\subsection{Datengl"attung}

\prinzip Mitteln des Wertes an einem Punkt durch gewichtetes
Mitteln der Daten um einen Punkt herum. Zur Wichtung verwendet man
eine \emindex{Gau{\ss}glocke} um unerw"unschte neue Strukturen zu
vermeiden, d. h. jeder Datenpunkt wird entsprechend seinem Abstand vom
aktuellen Me{\ss}wert mit einer Gau{\ss}funktion gewichtet.

\prinzip Entspricht dem \bfindex{Falten} der \nfindex{Me{\ss}funktion} g
mit einer \nfindex{Gau{\ss}funktion} k.

\begin{equation}
  \overline{g}_r = \sum_{j=-\halbe{M}+1}^{\halbe{M}} g_{r-j} k_j
\end{equation}

Die \emindex{Gau{\ss}glocke} hei{\ss}t auch
\emindex{Gewichtsfunktion} oder \emindex{Kern}. Dieser mu{\ss} normiert
sein, d. h. bei Betrachtung diskreter Datenpunkte gilt $\sum_j=1^N
k_j = 1$.

Betrachtet wird die diskrete Folge $g_i = f_i + r_i$, wobei $f_i$ die
eigentlichen Funktionswerte, und $r_i$ das Rauschen darstellt. Die
gemittelte Funktion wird als

\begin{equation}
  \overline{g}_r = \sum_{j=1}^N g_{r-j+1} k_j
\end{equation}

wenn man lt. Kienzel die Glau{\ss}kurve symmetrisch so in das Intervall
$k_j$ legt, da{\ss} das Maximum bei 1 liegt und die Intervalle bei 1
loslaufen.


Mit Hilfe der \nfindex{Fouriertransformierten} kann man $g'_s$ und
$k'_s$ schreiben als:

\begin{equation}
  \overline{g}_r = \sum_{s=1}^N g'_s k'_s e^{-2 \pi i (s-1) (r-1) \over N}
\end{equation}

da f"ur die Faltung von Funktionen gilt:

\begin{eqnarray}
  h_r & = & \sum_{j=1}^N f_{r+1-j} g_j \\
  \overline{h}_s & = & {1 \over \sqrt{N}} \sum_{r=1}^N \overline{g}_m
e^{-2 \pi i {(r-1)(s-1) \over N}} \\
  g_j & = & {1 \over \sqrt{N}} \sum_{m=1}^N \overline{g}_m e^{-2 \pi i
{(m-1) (j-1) \over N}} \\
  f_{r+1-j} & = & {1 \over \sqrt{N}} \sum_{n=1}^N \overline{f}_n
e^{-2 \pi i {(n-1) (r-j) \over N}} \\
  \folgt \overline{h}_s & = & \left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3
  \sum_{r,j,m,n} \overline{g}_m \overline{f}_n e^{{2\pi i \over
N} \left( (r-1) (s-1) - (m-1) (j-1) - (n-1)(r-j)\right) } \\
 \mbox{es gilt: } \nonumber \\
 \sum_{l=1}^N e^{2 \pi i l {q \over N}} & = & N \delta_{q,kN}  \ \ \
 \forall k \in Z
\end{eqnarray}

Beachte $\folgt (r-1) (s-1) - (m-1) (j-1) - (n-1) (r-j) = rs - r -
s + 1 - m j + j - 1 - nr + nj + r - j$ womit sich ergibt:

\begin{eqnarray}
\overline{h}_s & = & \left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3 \sum_{r,j,m,n}
\overline{g}_m \overline{f}_n \exp\left( {2 \pi i \over N} ( m-s +
r(s-n) +j(n-m))\right) \\
   & = & \left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3 \sum_{m,n} \overline{g}_m
\overline{f}_n \exp\left( {2 \pi i \over N} (m-s)\right) N
\delta_{s-n,0} N \delta_{n-m,0} \\
   & = & \sqrt{N} \sum_{m,n} \overline{g_m} \overline{f}_n \exp\left(
{2 \pi i \over N} (m-s)\right) \delta_{s,n} \delta_{n,m} \\
   & = & \sqrt{N} \overline{g}_s \overline{f}_s
\end{eqnarray}

Wichtige Punkte f"ur die \emindex{Gl"attung}
\begin{itemize}
  \item Am Rand des Intervalls gr"o{\ss}ere Abweichungen von der
        Originalfunktion, da diese nicht notwendig periodisch ist
       (letzeres ist Voraussetzung der Fourieranalyse)
  \item gegl"attete Kurve hat auf Grund der Mittlung kleinere Amplitude
        als die Originalkurve
  \item Ganze Gau{\ss}glocke verwenden (in beide Richtungen!)
  \item Normierter Kern
  \item richtige Breite der \nfindex{Gewichtsfunktion}
  \begin{itemize}
   \item zu schmal:kein Gl"attung (\nfindex{Extremfall}: Ungegl"attete
         Daten)
   \item zu breit: verwischen kurzperiodischer Strukturen
         (\nfindex{Extremfall}: Konstante)
  \end{itemize}
  \item Bei bekannter \nfindex{Statistik} der Streuung gibt es
        analytische Ans"atze zur Ermittlung des optimalen Kerns
\end{itemize}

\pagebreak

\section{Nichtlinearer Fit (S. 25)}

\definition
\begin{itemize}
  \item N Datenpaare $\{t_i, Y_i\}$
  \item \emindex{Modellfunktion} $g(\vec{a}, t_i)$
  \item \emindex{Parametervektor} $\vec{a}$ mit M Komponenten
  \item \emindex{Fehler} der Daten $Y_i$ bei $t_i$: $\varepsilon_i$
  \item \emindex{Varianz}: $\sigma_i^2$ ($\langle \varepsilon_i
        \rangle = 0, \langle \varepsilon_i^2 \rangle = \sigma_i^2)$
  \item bester Parametersatz: $\vec{a}_0$
  \item \emindex{Quadratische Abweichung}: \nfindex{$\chi^2$} mit
    \begin{equation}
      \chi^2(\vec{a}) = \sum_{i=1}^N \left( {Y_i - g(\vec{a}, t_i)
      \over \sigma_i}\right)^2
    \end{equation}
  \item Wahrscheinlichkeit, da{\ss} $\chi^2 < \chi_0^2$ ist:
    \begin{equation}
      P_{N-M}(\chi_0^2) = {1 \over \Gamma\left({N-M \over 2}\right)}
      \int_0^{\chi_0^2 \over 2} e^{-t} t^{{N-M \over 2}-1} dt
    \end{equation}
    Das Integral hei{\ss}t \emindex{unvollst"andige Gammafunktion}.

    Vorraussetzungen  f"ur die G"ultigkeit dieser Gleichung
    \begin{itemize}
      \item $g(\vec{a},t_i)$ ist angemessenes Modell
      \item \emindex{Fehler} $\varepsilon_i$ sind
            \emindex{gau{\ss}verteilt} und \emindex{unkorreliert}
    \end{itemize}
    \beachte $\chi^2(\vec{a}_0)$ hat nur $N-M$
    \nfindex{Freiheitsgrade}, da M "uber die Minimumsbedinung
    festgelegt sind. F"ur gro{\ss}e Werte von $N-M$ gilt der
    \emindex{Zentrale Grenzwertsatz}, d.h. $\chi^2$ ist
    \nfindex{gau{\ss}verteilt} mit Mittelwert $\langle \chi^2 \rangle =
    N-M$ und \nfindex{Varianz} $2(N-M)$
  \item \emindex{Quantile}: Umkehrung von $P(\chi^2)$.
        $\chi^2$ f"ur das x \% der Me{\ss}werte jenseits der Schwelle
        liegt, d. h. die Quantile von 0.95 zu einer
        \nfindex{$\chi^2$-Verteilung} mit $N-M$ Freiheitsgraden
        besagt, wie gro{\ss} das $\chi^2$ ist unterhalb dessen 95 \% der
        Ergebnisse liegen

\end{itemize}

\subsection{Bedeutung von \nfindex{$\chi^2$}}

\begin{itemize}
  \item $\chi^2$ macht Aussagen "uber die Genauigkeit des Fits
  \item Sei $\chi_0^2 = \chi^2(\vec{a}_0)$ das Minimum von
        $\chi^2(\vec{a})$
  \item Sei $P(\chi_0^2) = 0.99$ \folgt Wenn das Experiment richtig
ist, liefern 99\% aller Experimente ein kleineres $\chi^2$, d. h. das
Experiment geh"ort zum restlichen 1\% der F"alle.
  \item Sei $P(\chi_0^2) = 0.9999$ \folgt das Experiment w"urde zu den
0.01\% der F"alle geh"oren, die ein so gro{\ss}es $\chi^2$ liefern \folgt
Unwahrscheinlich \folgt Modell falsch
  \item Ist der Wert von $\chi_0^2$ sehr klein \folgt Daten d"urften
keinen Fehler haben \folgt ebenfalls falsch
  \item \emindex{Vertrauensintervall}: Das Intervall f"ur den Wert von
$\chi_0^2$, das akzeptiert wird.

\beachte Das \emindex{Vertrauensintervall} ist subjektiv! Es h"angt von
der Erfahrung mit "ahnlichen Experimenten und vom Experiment selbst ab.
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Fehlerabsch"atzung} f"ur $\vec{a}_0$ mit der
\nfindex{$\chi^2$-Verteilung}}

\beachte Es wird nur ein Experiment gemacht, trotzdem soll der Fehler
f"ur den Parametersatz abgesch"atzt werden.

\begin{itemize}
  \item Konturen im M-Dimensionalen $\vec{a}$-Raum mit konstantem
$\chi^2(\vec{a})$ sind ein Ma{\ss} f"ur den Fehler von $\vec{a}_0$
  \item Bei kleinen Abweichungen $|\vec{a} - \vec{a}_0|$:
        Ellipsoide mit M Hauptachsen
  \item L"ange der Hauptachsen: Ma{\ss} f"ur die Empfindlichkeit des Fits
        bei "anderung von A in diese Richtung (je kleiner die Achse,
        desto empfindlicher der Fit f"ur diesen Parameter)
  \item Quantitatives Verfahren:
    \begin{itemize}
       \item Erzeugung k"unstlicher Daten $Y_i$ durch Addition eines
             gau{\ss}verteiten Fehlers $\varepsilon_i$ zum Modell
             $g(\vec{a}_0, t_i)$:
             \begin{equation}
               Y_i = g(\vec{a}_0, t_i) + \varepsilon_i
             \end{equation}
       \item Es gilt: $\langle \varepsilon_i^2 \rangle = \sigma_i^2$
             (\nfindex{Gau{\ss}verteilung})
       \item Erneuter Fit mit diesen Daten \folgt
             \nfindex{Parametersatz} $\vec{a}_1$
       \item Widerholung der Prozedur liefert mehrere
             Parametervekroren $\vec{a}_k$
       \item Aus der Breite der Verteilung der Komponenten
             der $\vec{a}_k$ \folgt Fehlerbalken f"ur $\vec{a}_0$
    \end{itemize}
  \item Kann man $\chi(\vec{a})$ um $\vec{a}_0$ entwicklen und diese
Entwicklung nach quadratischen Gliedern abbrechen, so ist
     \begin{equation}
       \Delta = \chi(\vec{a})-\chi(\vec{a}_0)
     \end{equation}
    wieder nach P verteilt, aber nur mit M Freiheitsgraden
  \item Gebiete mit konsantem $\Delta$ sind im \nfindex{Parameterraum}
    Ellipsoide
  \item Projektionen der Ellipsoide auf die Achse $i$ gibt die
Fehlerbalken des Parameters $a_i$
\end{itemize}

\section{Multipol-Entwicklung}

Verwendung z. B. in der klassischen \nfindex{Elektrodynamik} zur
Beschreibung komplizierter Felder von Ladungsverteilungen.

\emindex{Potential}
\begin{equation}
  \Phi(\vec{r}) = \sum_{i=1}^N {e_i \over |\vec{r} - \vec{r}^{(i)}|}
\end{equation}
f"ur diskrete Ladungen, bzw. f"ur eine kontinuierliche Ladungsdichte
\begin{equation}
  \Phi(\vec{r}) = \int d^3 r' {\rho(\vec{r}') \over |\vec{r} -
\vec{r}'|}
\end{equation}

Das elektrische \nfindex{Feld} ist durch den Gradienten bestimmt
($\vec{E} = -\nabla \Phi(\vec{r})$)

Man kann nun ${1 \over |\vec{r} - \vec{r}'|}$ nach
\emindex{Legendre-Polynome}n oder \emindex{Kugelf"alchenfunktionen}
entwickeln.  \footnote{S.  z.B.  Jackson: Klassische
Elektrodynamik S. 120ff und S.159ff, Flie{\ss}bach: Elektrodynamik S.
116ff} Hierzu betrachtet man die Differenz der beiden Ortsvektoren in
Kugelkoordinaten. Man kann dann mit dem \nfindex{Cosinussatz} f"ur
allgemeine Dreiecke schreiben:

\begin{equation}
  {1 \over |\vec{r} - \vec{r}'|} = {1 \over \sqrt{r^2 +r'^2 - 2
\vec{r} \cdot \vec{r}'}}
\end{equation}

Womit der Abstand $|\vec{r} - \vec{r}'|$ eine Funktion der
Vektorbetr"age und des Zwischenwinkels wird \folgt Entwicklung nach
\nfindex{Kugelfl"achenfunktionen} ist m"oglich und es ergibt sich

\begin{equation}
  {1 \over |\vec{r} - \vec{r}'|} = \sum_{l,l',m,m'} A_{ll'mm'}(r,r')
Y^*_{l'm'}(\theta', \phi') Y_{lm}(\theta, \phi)
\end{equation}

Wendet man auf beide Seiten der Gleichung den
\nfindex{Laplace-Operator} $\Delta$ an, so findet man nach einiger
Rechnung unter Verwendung der Eigenschaften der
\nfindex{Kugelfl"achenfunktionen} schlie{\ss}lich die allgemeine
Entwicklung

\begin{equation}
  {1 \over |\vec{r} - \vec{r}'|} = 4 \pi \sum_{l=0}^\infty
\sum_{m=-l}^l {1 \over 2 l + 1} {r^l_< \over r_>^{l+1}}
Y^*_{l'm'}(\theta', \phi') Y_{lm}(\theta, \phi)
\end{equation}

Eingesetzt in das Potential $\Phi(\vec{r})$ ergibt sich die allgemeine
\bfindex{Multipolentwicklung}. Als \emindex{Multipolmoment} bezeichnet
man

\begin{equation}
  q_{lm} = \int d^3r' \rho(\vec{r}') r'^l Y_{lm}^*(\theta',\phi')
\end{equation}

F"ur eine Entwicklung bis zum \nfindex{Quadrupolmoment} findet man also

\begin{equation}
  \Phi(\vec{r})={q \over r} + {\vec{p} \cdot \vec{r} \over r^3} +
  \einhalb {1 \over r^5} \vec{r} \hat{Q} \vec{r} + \Order({1 \over
  r^4}
\end{equation}

\rem{---}

\chapter{Lineare Gleichungen}

\section{Quantenoszillator (S. 51)}

\beachte \emindex{Schr"odingergleichung} ist linear
\begin{Folgerungen}
  \item jede "uberlagerung von L"osungen ist wieder eine L"osung
  \item Separation durch Produktansatz f"ur Raum und Zeit
\end{Folgerungen}

Numerische L"osungswege f"ur die \emindex{station"are Schr"odingergleichung}:
\begin{itemize}
  \item \nfindex{Diskretisierung} der linearen
        \nfindex{Differentialgleichung} und L"osung des entstehenden
        endlichen \nfindex{Eigenwertproblem}s
  \item \nfindex{Entwicklung} in einen vollst"andigen Satz von
        \nfindex{Eigenfunktion}en und Betrachtung endlich vieler
\end{itemize}
Beide Wege f"uhren auf die L"osung endlicher Eigenwertgleichungen (d.
h. mit endlicher Matrix)

\begin{itemize}
 \item \emindex{Potential}
   \begin{equation}
     V(q) = \einhalb m \omega^2 q^2
   \end{equation}
   q: \nfindex{Ortskoordinate} des Teilchens, $\omega = \sqrt{k \over m}$,
   mit $\omega$ = Grundfrequenz

 \item\emindex{Hamilton-Operator}:
   \begin{equation}
     H_0 = T + V = \einhalb (p^2 + q^2)
   \end{equation}

   (dimensionslose Form, d.h. Energie in Einheiten von $\hbar \omega$,
   Impuls in Einheiten von $\sqrt{\hbar m \omega}$, L"angen in Einheiten
   von $\sqrt{{\hbar \over m \omega}}$)

  \item \emindex{Eigenzust"ande}
    \begin{equation}
      |j\rangle = {1 \over \sqrt{2^j j! \sqrt{\pi}}} e^{-\einhalb q^2}
       H_j(q)
    \end{equation}
    $H_j(q)$: \nfindex{Hermitepolynome}

  \item \emindex{Energieeigenwerte}
    \begin{equation}
      H_0 |j\rangle = \epsilon^0_j \ket{j}
    \end{equation}
    wobei $\epsilon^0_j = j + \einhalb$ mit $j=0,1,2\cdots$

  \item Wegen der \emindex{Nichtentartung} mu{\ss} die Matrix
        $\bra{j}H_0\ket{k}$ diagonal sein. (Bei entarteten
        Eigenzust"anden mu{\ss} die Matrix nicht diagonal sein, ist aber
        nat"urlich durch die Eigenwerte diagonalisierbar. )

  \item \nfindex{Hamilton-Operator} mit \emindex{St"orung}
        (\nfindex{anharmonisches Potential})
     \begin{equation}
       H = H_0 + \lambda q^4
     \end{equation}
     \folgt gesucht ist jetzt \bra{j}H\ket{k}

  \item Schreibe mit \emindex{Erzeuger} und \emindex{Vernichter}
    \begin{equation}
      q = {1 \over \sqrt{2}} (a^\dagger + a)
    \end{equation}

   Mit den Eigenschaften:
   \begin{eqnarray}
     & a^\dagger \ket{j} = \sqrt{j+1}\ \ket{j+1} \\
     & a \ket{0} = 0 \\
     & a \ket{j} = \sqrt{j}\ \ket{j-1}\ \ \mbox{f"ur $j >0$}
   \end{eqnarray}

   \folgt Ein $q^4$-Term wie oben mischt wegen $q = \einhalb (a^\dagger
+ a) \folgt q^4 \propto (a^\dagger + a)^4$ den Eigenzustand $n$ mit
den Zust"anden bis $n\pm 4$.

  \item q im Raum der \underline{ungest"orten} Zust"ande:
    \begin{equation}
      Q_{jk} = \bra{j} q \ket{k} ={1 \over \sqrt{2}} \sqrt{k+1}
               \delta_{j,k+1} + {1 \over \sqrt{2}} \sqrt{k}
               \delta_{j,k-1} = \einhalb \sqrt{j+k+1} \delta_{|k-j|,1}
    \end{equation}
    da:
    \begin{eqnarray}
      \sqrt{\einhalb}\langle j | a^\dagger + a | k \rangle
      & = & \sqrt{k+1 \over 2} \langle j | k+1 \rangle + \sqrt{k \over
            2} \langle j | k-1 \rangle \\
      & = & \sqrt{k+1 \over 2} \delta_{j,k+1} +  \sqrt{k
            \over 2} \delta_{j,k-1}
    \end{eqnarray}


  \item \bfindex{N"aherung}: Betrachte $Q_{jk}$ in endlicher Dimension
n. $H_0$ sei eine $n \times n$ Diagonalmatrix mit den Elementen
$j+\einhalb$, $q^4$ durch vierfache Matrixmultiplikation mit sich
selbst dargestellt.
\end{itemize}

Aus der Hamilton-Matrix lassen sich nun die \emindex{Eigenwerte}
bestimmen. Die St"orung $q^4$ verkn"upft dabei Zust"ande \ket{j} mit den
Zust"anden \ket{j\pm 4} (s. Definition von q "uber
\nfindex{Leiteroperatoren}) \folgt f"ur die N"aherung sollten mindestens
die \nfindex{Matrixelement}e \bra{j}$q^4$\ket{j\pm 4} in der
Hamiltonmatrix enthalten sein, um $\epsilon_j$ einigerma{\ss}en genau
berechnen zu k"onnen. Plottet man Die Energie als Funktion des
Parameters $\lambda$ z. B. f"ur eine 4x4 \nfindex{Hamiltonmatrix}, so
sieht man deutlich, da{\ss} die h"oheren \nfindex{Eigenwerte} ($j = 3, 4
$)f"ur gr"o{\ss}ere $\lambda$ sich deutlich von den niederen Eigenwerten
(j = 1, 2) entfernen, obwohl man bei kleinen $\lambda$ noch sehr gut
den harmonischen Oszillator reproduziert.

\bfindex{Fehlerabsch"atzung}: Erh"alt man, wenn man die Eigenwerte f"ur
unterschiedliche Dimensionen der Matrix bei gleichem $j$ vergleicht.
So findet man in diesem Beispiel f"ur $\epsilon_0(n=20)$ und
$\epsilon_0(n=40)$ eine "ubereinstimmung in 9 signifikanten Stellen,
f"ur $\epsilon_{10}$ f"ur die beiden n-Werte aber nur noch 3
signifikante Stellen.

\folgt f"ur genaue Rechnungen bei hohen \nfindex{Energieeigenwerten}
mu{\ss} man Eigenwerte gro{\ss}er Matrizen berechnen.

\section{Elektrisches Netzwerk}

\begin{itemize}
  \item \definition \emindex{Komplexer Widerstand}
    \begin{eqnarray}
      & Z = R & \mbox{ Ohmscher Widerstand} \\
      & Z = {1 \over i \omega C} & \mbox{Kondensator} \\
      & Z = {i \omega L} & \mbox{Spule}
    \end{eqnarray}
  \item \emindex{Kirchoffsche Gesetze}
    \begin{enumerate}
      \item Wegen \emindex{Ladungserhaltung}: An jedem Knoten ist die
        Summe der einlaufenden Str"ome gleich der Summe der
        auslaufenden
      \item Entlang jedes Weges addieren sich die Teilspannungen "uber
        jedem Bauelement zur Gesamtspannung
    \end{enumerate}
     $\oplus$ \emindex{Ohmsches Gesetz} \folgt Beschreibung jedes
     Netzwerks m"oglich
  \item \beachte Gilt f"ur \underline{monofrequente} Spannungen und
        Str"ome
  \item Beliebige Eingangssignale - \prinzip
    \begin{itemize}
      \item Zerlegung des Eingangssignals in eine
            \emindex{Fourierreihe} (ggf. Abtasten an diskreten Stellen
            und FFT)
        \begin{equation}
          V_e(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty V_e^{(n)} e^{2 \pi i n {t
                   \over T }}
        \end{equation}

      \item Berechnung der Ausgansspannungen f"ur jede einzelne
            Eingangsspannung (= \nfindex{Fourierkoeffizient} $V_e^{(n)}$)

      \item \emindex{Fouriersynthese} der Ausgangsspannungen liefert
            das endg"ultige Ausgangssignal
        \begin{equation}
          V_a(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty V_a^{(n)}  e^{2 \pi i n {t
                   \over T }}
        \end{equation}
    \end{itemize}

\end{itemize}

\section{Kettenschwinungungen (S. 65)}

Problem: \nfindex{Lineare Kette} von Massen (Atomen), suche die
\nfindex{Eigenfrequenzen}

\begin{itemize}
  \item Betrachte eine Einheitszelle a, d. h. die Anordnung der Atome
wiederhole sich periodisch mit der L"ange a
  \item Die Einheitszelle bestehe aus 3 Atomen der Masse $m_1$ und
einem Atom der Masse $m_2$ an den Positionen $r_n, s_n, t_n, u_n$
($u_n$ sei das schwere Atom der Masse $m_2$)
  \item Die Atome seien untereinander "uber Federn der Federkonstante
$f$ gekoppelt.

  \item \bfindex{Bewegungsgleichung}       \nonumber
    \begin{eqnarray}
      m_1 {d^2 \over dt^2} r_n & = & f (s_n - r_n) - f (r_n - u_{n-1}) \nonumber \\
                               & = & f(s_n + u_{n-1} - 2 r_n) \\
      m_1 {d^2 \over dt^2} s_n & = & f(t_n + r_n - 2 s_n) \\
      m_1 {d^2 \over dt^2} t_n & = & f(u_n + s_n - 2 t_n) \\
      m_1 {d^2 \over dt^2} u_n & = & f(r_{n+1} + t_n - 2 u_n) \\
    \end{eqnarray}

  \item \emindex{Translationsinvarianz}
    \begin{Folgerungen}
      \item Suche L"osung mit Fouriertransformation
      \item f"ur endliche Kette: Periodische Randbedinungen (d.h. Ring)
      \item Ansatz:
      \begin{equation}
       \vec{x_n}(t) = \left(
       \begin{array}{c}
         r_n(t) \\
         s_n(t) \\
         t_n(t) \\
         u_n(t)
       \end{array}
       \right)
       = \vec{S}(q) e^{iqan \pm i\omega t}
      \end{equation}
     \item Werte f"ur q: $q_\nu = {2 \pi \over N a} \nu, \nu = -{N
           \over 2} \cdots {N \over 2}$
     \item ${d^2 \over dt^2} \vec{x}_n = - \omega^2 \vec{x}_n$ und
           $\vec{x}_{n\pm 1} = e^{\pm iqa} \vec{x}_n$
    \end{Folgerungen}

  \item Umschreiben als \nfindex{Matrix}
  \begin{equation}
    \left(
     \begin{array}{cccc}
               2f & -f &  0 & -f e^{iqa}\\
               -f & 2f & -f & 0         \\
               0  & -f & 2f & -f        \\
       -f e^{iqa} &  0 & -f & 2f
     \end{array}
    \right) \vec{S}(q) = \omega^2
    \left(
     \begin{array}{cccc}
       m_1&  0 &  0 & 0   \\
       0  & m_1&  0 & 0   \\
       0  &  0 & m_1& 0   \\
       0  &  0 &  0 & m_2
     \end{array}
    \right)
     \vec{S}(q)
  \end{equation}

  D. h. man hat eine normale \emindex{Eigenwertgleichung} der Form
  \begin{equation}
    {\bf F}\vec{S} = \lambda {\bf M} \vec{S}
  \end{equation}

  Diese ist "aquivalent zu

  \begin{equation}
    {\bf M^{-1}} {\bf F}\vec{S} = \lambda \vec{S}
  \end{equation}

  \item Eigenwerte positiv, d. h. ${\bf M}^{-1} {\bf F}$ hermitesch?
    Betrachte
    \begin{equation}
      {\bf M}^{-\einhalb} {\bf F} {\bf M}^{-\einhalb} {\bf M}^{\einhalb}
      \vec{S} = \lambda {\bf M}^{\einhalb} \vec{S}
    \end{equation}
    als \nfindex{Eigenwertgleichung} f"ur den \nfindex{Eigenvektor}
    ${\bf M}^{\einhalb} \vec{S}$. Hierbei ist ${\bf M}^{-\einhalb} {\bf F} {\bf M}^{-\einhalb}$
    hermitesch.

\rem{ Warum??? }

  \item Die ermittelten Eigenschwingungen $\vec{x}_n$ sind spezielle
L"osungen der Bewegungsgleichung, die allgemeine L"osung ergibt sich als
"uberlagerung der speziellen:
    \begin{equation}
      \vec{x}_n(t) = \sum_{\nu, l} \vec{S}_l(q_\nu) e^{i q_\nu a n}
      \left( c_{\nu l} e^{i\omega_{\nu l}t} + c^*_{-\nu l}
      e^{-i\omega_{\nu l}t} \right)
    \end{equation}
    Wobei die Koeffizienten $c_{\nu l}$ durch die Anfangsbedinugnen
festgelegt werden
\end{itemize}

Ergebnis: Zu jedem q-Wert gibt es (im Beispiel vier) Eigenfrequenzen
$\omega$. Es entstehen vier B"ander wie man das vom Festk"orper her von
den Phononen kennt.


\section{Hofstadter Schmetterling (S. 69)}

\subsection{Physik}

\prinzip \nfindex{Spektrum} der Kristallelektronen im homogenen
magnetischen Feld, d. h. Auftragung der Energie des Elektrons gegen
die Magnetfeldst"arke

\begin{itemize}
  \item \nfindex{Tight-Binding-N"aherung}: Elektronen sitzen auf
quadratischem Gitter fest an die Atome gebunden.
\nfindex{H"upfmatrixelemente} beschreiben ihre Bewegung von Atom zu
Atom (= \nfindex{Gitterplatz} zu Gitterplatz)

  \item \emindex{Energieeigenwerte}:
   \begin{equation}
     \varepsilon(\vec{k}) = \varepsilon_0 (\cos(k_x a) + \cos(k_y a))
   \end{equation}

  \item \bfindex{Peierls Trick}: Ber"ucksichtigung des Magnetfeldes
durch \emindex{Substitution}
     \begin{equation}
       \hbar \vec{k} \longrightarrow \vec{p} + {e \over c} \vec{A}
     \end{equation}
     wo $\vec{p}$ der \nfindex{Impulsoperator} und $\vec{A}$ das
\nfindex{Vektorpotential} sind

  \item Sei $\vec{B} \perp (x,y)$-Ebene \folgt Wahl von $\vec{A} =
        (0, x B, 0)$

  \item \emindex{Schr"odingergleichung}
    \begin{equation}
      \left[ \varepsilon_0 \cos\left( {a p_x \over \hbar} \right) +
      \varepsilon_0 \cos\left( {a p_y \over \hbar} + {a e x B \over
      \hbar c} \right) \right] \phi(x,y) = E \phi(x,y)
    \end{equation}

  \item \emindex{Moivresche Formel}: $\cos(\alpha) = \einhalb
        \left( e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}\right)$
  \item \emindex{Translationsoperator}: $e^{ia p_x \over \hbar}$
        (verschiebt in Richtung $p_x$ um a)

  \item Umschreiben der \nfindex{Schr"odingergleichung}
    \begin{equation}
     \einhalb \varepsilon_0 \left[
     \phi(x+a, y) + \phi(x-a, y) + e^{i a e x B \over \hbar c}
     \phi(x,y+a) + e^{-i a e x B \over \hbar c}  \phi(x, y-a) \right]
     = E \phi(x,y)
    \end{equation}

  \item \emindex{Ansatz}: F"ur die y-Abh"angigkeit \nfindex{Ebene
        Wellen}
    \begin{equation}
      \phi(x,y) = e^{i \nu y \over a} \psi({x \over a})
    \end{equation}

  \item \definition dimensionslose Variablen
    \begin{Diamonds}
      \item $m = {x \over a}$
      \item $\sigma = {a^2 e B \over \hbar }$: Quotient aus
      \nfindex{magnetischem Flu{\ss}} $a^2 B$ und \emindex{Flu{\ss}quantum}
      ${h c \over e}$
      \item $\psi_m = \psi(m)$
    \end{Diamonds}

  \item \bfindex{Harper-Gleichung}
    \begin{equation}
      \psi_{m-1} + 2 \cos(2 \pi m \sigma + \nu) \psi_m + \psi_{m+1} =
      E \psi_m
    \end{equation}
    \beachte Messung der Energie in Einheiten von
$\halbe{\varepsilon_0}$

    \beachte Entspricht der Abbildung eines 2D-Gitterelektrons auf
ein Teilchen, da{\ss} auf einer Kette im periodischen
Cosinus-\nfindex{Potential} springt.  Dabei ist $\nu$ (=
\nfindex{Impuls} in y-Richtung) die Phase des Potentials, und $\sigma$
das Verh"altnis von \nfindex{Periodenl"ange} zu
\nfindex{Gitterkonstante} (=1 in m-Variablen)

  \item \nfindex{Harper-Gleichung} in \emindex{Matrixform}:
    \begin{equation}
      \left(
        \begin{array}{c}
          \psi_{m+1} \\
          \psi_m
        \end{array}
      \right)  =
      \underbrace{
      \left(
      \begin{array}{cc}
         E - 2 \cos(2\pi m \sigma + \nu) & -1 \\
         1 & 0 \\
      \end{array}
      \right)}_{M_1(m,E)}
      \left(
        \begin{array}{c}
          \psi_m \\
          \psi_{m-1}
        \end{array}
      \right)
     \end{equation}

  \item physikalische Bedinung an die Wellenfunktionen:
        \emindex{gebundener Zustand}

  \item Die Matrizen $M(m,E)$ sind periodisch
    \folgt Lange Produkte dieser Matrizen bestehen im wesentlichen aus
einem sich wiederholenden Block dieser Matrizen, dessen L"ange der
Periode m entspricht

  \item Seien die Matrizen Periodisch in m mit der Periode q \folgt es
existiert eine ganze Zahl p so da{\ss}
    \begin{equation}
       2 \pi \sigma (m+q) - \nu = 2 \pi \sigma m - \nu + 2 \pi p
    \end{equation}
     und damit f"ur $\sigma$
    \begin{equation}
      \sigma = {p \over q}
    \end{equation}

  \item Das Produkt von $q$ M-Matrizen sei $M_q$

  \item Mit dem \emindex{Bloch-Theorem} $\psi_{m+q} = e^{ikq} \psi_m$ und
    \begin{equation}
      \underbrace{\prod_{r=1}^q M_1(q-r, E)}_{M_q(E)}
      \left(
      \begin{array}{c}
        \psi_0 \\
        \psi_{-1}
      \end{array}
      \right) =
      e^{ikq}
      \left(
      \begin{array}{c}
        \psi_0 \\
        \psi_{-1}
      \end{array}
      \right)
   \end{equation}
   folgt, da{\ss} $e^{ikq}$ \nfindex{Eigenwert} von $M_q(E)$ ist.

  \item Da $\Det{M_q} = 1$ ergibt sich der zweie \nfindex{Eigenwert}
zu $e^{-ikq}$ und damit mit \emindex{Moivrescher Formel} f"ur den
Cosinus
     \begin{equation}
       \Tr M_q(E) = 2 \cos(kq)  \label{eq:spurbedingung}
     \end{equation}

  \item Da die Spur der Matrix eine Gleichung q-ter Ordnung liefert,
existieren h"ochstens q reelle L"osungen $E(k,\nu)$ \folgt maximal q
Energieb"ander.

  \item f"ur $q \rightarrow \infty$ ($\sigma$ irrational)\folgt
Spektrum mit beliebig vielen Energieb"andern

\end{itemize}

\subsection{Algorithmus}

\prinzip Numerische Auswertung der Spurbedinung
(\ref{eq:spurbedingung}) f"uhrt auf \emindex{Nullstellenbestimmung}
eines Polynoms q-ten Grades \folgt schwierig

\rem{---}

\chapter{Iterationen}

\section{Populationsdynamik - Logistische Abbildung (S. 89)}

\subsection{Eigenschaften}

\begin{itemize}
\item \definition Die logistische Abbildung ist definiert durch die
Rekursion

\begin{equation}
   x_{n+1} = r x_n (1-x_n) = f(x_n)
\end{equation}

wobei $r$ ein Parameter ist. Bisweilen wird aus $r$ ein Faktor ${1
\over 4}$ ausgeklammert und $r$ nur zwischen 0 und 1 variiert.

Sie kann zur einfachen Beschreibung von Populationsentwicklungen
benutzt werden.  Betrachte z. B. eine einj"ahrige Insektenpopulation.
Jedes Insekt legt $r$ Eier, aus denen im folgenden Jahr $r x_n$
Insekten schl"upfen.  Eine begrenzte Futtermenge, die das Wachstum der
Population einschr"ankt wird durch den nichtlinearen Term $x_n^2$
erreicht, in dem man davon ausgeht, da{\ss} die gelegten Eier linear mit
der vorhandenen Population abnehmen, da bei zu vielen Insekten eine
gewisse Anzahl keine Eier legen wird.  Sei $\overline{z}$ die
Grenzpopulation, so ist der verringernde Faktor dann $z \over
\overline{z}$, d. h. man erh"alt $z_{n+1} = r z_n (1- {z_n \over
\overline{z}})$.  Normiert man die Grenzpopulationsgr"o{\ss}e auf 1 so
erh"alt man die logistische Abbildung.

\item \beachte Durch die iterative Definition f"uhrt der $x_n$-Term
alleine zu \underline{exponentiellem} Wachstum!
\item \beachte Die Rekursionsformel kann auch als (schlechte)
L"osungsformel f"ur die Differentialgleichung

\begin{equation}
  {dx \over dn} = (r-1) x-r x^2
\end{equation}

benutzt werden. Hierzu setzt man $x_{n+1} - x_n \approx {dx \over
dn}$. Deren L"osung ist

\begin{equation}
  x(n) = {r -1 \over r + const. \exp((1-r)n)}
\end{equation}

\begin{Folgerungen}
  \item $r < 1$: $x_\infty = 0$
  \item $r = 1$: \emindex{Phasen"ubergang} von Aussterbender
zu konstanter Population
  \item $r > 1$: $x_\infty = 1 - {1 \over r}$ wenn $x(0) > 0 $
\end{Folgerungen}


\item zweifach iterierte Abbildung:
\begin{equation}
  f^{(2)}(x) = f\left(f(x)\right) = x_n r^2(1-x_n) \left(1-x_n r
(1-x_n)\right)
\end{equation}
  analog f"ur die n-fache Iteration

\item \emindex{Fixpunkt}: Die Gleichung hat den Fixpunkt $x^* = 1-{1
\over r}$, d. h. dieser Punkt wird in sich selbst abgebildet. Er ist
auch Fixpunkt der zweifach iterierten Abbildung. F"ur $r < 4$ ist
dieser \nfindex{Fixpunkt} attraktiv, d.h. Werte in der N"ahe des
Fixpunktes laufen auf den Fixpunkt zu. Man sieht dies, wenn man eine
kleine Abweichung vom Fixpunkt betrachtet:

\begin{eqnarray}
& f(x^* + \epsilon_0) \approx f(x^*) + f'(x^*) \epsilon_0 = x^* +
f'(x^*) \epsilon_0 \\
\mbox{kleine $\epsilon$}& \epsilon_n \approx f'(x^*) \epsilon_{n-1}
\approx \left[ f'(x^*) \right]^n \epsilon_0
\end{eqnarray}

da f"ur $r < 3$ die Ableitung am Fixpunkt $< 1$ ist, insofern die
St"orung verschwindet. F"ur $r > 3$ ist hingegen die Ableitung am
\nfindex{Fixpunkt} $> 1$, die St"orung explodiert, der Zyklus wird
instabil

\item analoges Vorgehen f"ur die zweifach iterierte Abbildung liefert
auch hier f"ur bestimmte r-Werte Fixpunkte

\item Man findet "uberg"ange von Zweierzyklen zu Viererzyklen, d. h.
eine \emindex{Periodenverdopplung}

\item F"ur $r_0 = 1$: \emindex{Phasen"ubergang} von aussterbender zu
konstanter Population

\item Bei $r_l$ wird aus einem $2^{l-1}$- ein $2^l$-Zyklus

\item $r_\infty \approx 0.89$: Unendlich viele Perioden, d.h.
$l\rightarrow \infty$

\item Gesetz zur Ann"aherung an an $r_\infty$
\begin{equation}
  r_l \approx r_\infty - {c \over \delta^l}
\end{equation}

wobei $\delta$ die \emindex{Feigenbaumkonstante} ist.

\item \bfindex{Feigenbaumkonstante}
   \begin{equation}
     \delta = \lim_{r \rightarrow \infty} {r_l - r_{l-1} \over
     r_{l+1} - r_l} = 4.66920\cdots \label{eq:Feigenbaumkonstante}
   \end{equation}

ist eine universelle Konstante, die f"ur verschiedene $f(x)$ beobachtet
wird, die durch \nfindex{Periodenverdopplung} ins \emindex{Chaos}
"ubergehen. Sie gibt das Verh"altnis zwischen der Dauer der Stabilit"at
zweier aufeinanderfolgender Zyklen an.

\item \emindex{Periodenverdopplung} entspricht Frequenzhalbierung,
d.h. dem Entstehen von Subharmonischen.

\item \emindex{Deterministisches Chaos}
\index{Chaos!deterministisches}: Obwohl die $x_n$ nicht zuf"allig
gew"ahlt sind, sondern durch eine wohldefinierte Parabel erzeugt sind,
scheinen sie zuf"allig in einem oder mehreren der chaotischen B"ander
hin und her zu springen.

\item \bfindex{Ljapunow-Exponent} $\lambda$: Ma{\ss} f"ur \emindex{Chaos}.
Bestimmend f"ur Chaos ist die Empfindlichkeit auf Anfangsbedingungen.
Betrachte zwei \nfindex{Trajektorie}n $x_n$ und $x_n + \epsilon_n$.
Der \nfindex{Ljapunow-Exponent} ist dann definiert durch:

  \begin{equation}
     \epsilon_n = \epsilon_0 e^{\lambda n}
  \end{equation}
d. h. ein \underline{positiver} Ljapunow-Exponent $\lambda >
0$ bedeutet Chaos, bei negativem Exponenten verschwindet die
Abh"angigkeit von der Anfangsbedingung exponentiell mit der Iteration.

\item Weiterhin gilt:

   \begin{equation}
     \left| f^{(n)}(x_0 + \epsilon_0) - f^{(n)}(x_0) \right| =
     \epsilon_n \epsilon_0 e^{\lambda n}
   \end{equation}

was f"ur $\epsilon_0 \rightarrow 0$ die Ableitung der n-fach iterierten
darstellt, da ${f^{(n)}(x_0 + \epsilon_0) - f^{(n)}(x_0) \over
\epsilon_0}$ der \nfindex{Differentialquotient} ist, welcher f"ur
$\epsilon_0$ zur \nfindex{Ableitung} wird.

\item Direkte Definition des \nfindex{Ljapunow-Exponenten}

  \begin{equation}
    \lambda = \lim_{n\rightarrow \infty} = {1 \over n}
    \sum_{i=0}^{n-1} \ln \left( \left| f'(x_i) \right| \right)
\end{equation}

d. h. man summiert entlang einer \nfindex{Trajektorie} den
\nfindex{Logarithmus} der \nfindex{Steigung} auf. Die folgt aus der
\nfindex{Kettenregel}:
\begin{eqnarray}
  e^{\lambda n} & = & {d \over dx} f^(n)(x) = {d \over dx}
f(f(f(\cdots f(x_0)))) \\
  e^{\lambda n} & = & f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(f(\cdots
f(x_0)))) \cdot f'(\cdots(f(x_0))) \cdots f'(x) \nonumber \\
  \lambda & = & {1 \over n} \ln\left[ f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \cdot
f'(f(\cdots f(x_0)))) \cdot f'(\cdots(f(x_0))) \cdots f'(x)\right]
\nonumber \\
  \lambda & = & {1 \over n} \ln\left[ f'(f(f(\cdots f(x_0)))) \right]
+ \ln\left[f'(f(\cdots f(x_0))))\right] + \ln\left[f'(\cdots(f(x_0)))
\cdots f'(x)\right] \nonumber
\\ \lambda & = & {1 \over n} \sum_{i=0}^{n-1} \ln\left| f'(x_i)
\right|
\end{eqnarray}

wobei der $\lim_{n\rightarrow \infty}$ betrachtet wird.

\end{itemize}

\subsection{Algorithmus}

Ziel: Bestimmung von
\begin{enumerate}
  \item \emindex{Feigenbaumkonstante} $\delta$
  \item \emindex{Feigenbaumdiagramm} $x(r)$
(\nfindex{Bifurkationsdiagramm})
\end{enumerate}

\beachte Hier Definition der \emindex{Logistischen Abbildung} mit
ausgeklammerter 4 aus r, d.h.
\begin{equation}
   x_{n+1} = 4 r x_n (1-x_n) = f(x_n)
\end{equation}

Vorgehensweise:

\begin{itemize}
  \item Direkte Bestimmung der Feigenbaumkonstante aus
(\ref{eq:Feigenbaumkonstante}) ist nicht m"oglich, da numerische
Algorithmen zur L"osung der Gleichungen $f^{(l)}(x^*) = x^*$ und
$\left| {df^{(l)}(x^*) \over dx} \right| = 1$ (\entspr Forderung, da{\ss}
$\epsilon_n = \epsilon_0$, d. h. minimal) versagen, deren L"osung
notwendig ist, um die $r_l$ (= Punkte an denen ein $2^{l-1}$ Zyklus
instabil und ein $2^l$ Zyklus stabil wird, d. h.
\nfindex{Periodenverdopplung} stattfindet) zu finden.

  \item \emindex{Superstabile periodische Bahnen}: Bahnen, die bei
$x_0 = \einhalb$ beginnen, und nach $2^l$ Schritten wieder dort enden.
Bei Variation von r wandert der Startpunkt des Zyklus um den Wert
\einhalb

Vorteil: Da $f'(\einhalb)=0$ konvergieren Abweichungen von $x_0$ sehr
schnell gegen den $2^l$-Zyklus

  \item In jedem Intervall $[r_l \cdots r_{l+1}]$ gibt es eine
superstabile Bahn \index{Bahn!superstabile} der Periode $2^l$ f"ur den
Parameterwert $r=R_l$
  \item $R_l$ skaliert wie die $r_l$ mit der
\nfindex{Feigenbaumkonstante} $\delta$ gegen $r_\infty$

  \item L"ose folglich
  \begin{equation}
    f^{\left( 2^l \right)} \left( \einhalb \right) = \einhalb
  \end{equation}

  \folgt Diese Gleichung hat $2^l-1$ Fixpunkte \folgt schnell
oszillierende L"osung \folgt numerische L"osung schwierig :-(

  \item Trick: Invertieren der Gleichung
    \begin{Folgerungen}
      \item Zwei Zweige
      \item L"osungsprozedur kann in nur einem Zweig suchen, entweder
(R)echts oder (L)inks von $x_0 = \einhalb$
      \item Jede Periodische Bahn \index{Bahn!periodische} ist durch
eine Folge von C, R, L gegeben
      \item Beschreibung druch \emindex{symbolische Dynamik}
\index{Dynamik!symbolische}, die Regeln unterliegt
    \end{Folgerungen}

  \item Algorithmus zur Bestimmung der RL-Sequenz f"ur eine gegebene
Periode $2^l$ (ohne Beweis)
    \begin{enumerate}
      \item Startwert ist $x_0$ \folgt jede Sequenz beginnt mit C
      \item $l=1$: \folgt CR
      \item $l+1$:
        \begin{enumerate}
          \item Verdopple die Sequenz (z. B. CR $\rightarrow$ CRCR)
          \item Ersetze: C durch L wenn Anzahl der R in der
Ausgangssequenz ungerade, sonst durch R (hier: CRCR $\rightarrow$
CRLR)
      \end{enumerate}
      \item z.B. $l=3$: CRLR $\rightarrow $ CRLRCRLR $\rightarrow$
            CRLRRRLR usf.
    \end{enumerate}

  \item F"ur inverse \nfindex{Iteration}: Neues
\nfindex{Koordinatensystem} mit Ursprung in $(x,y) = (\einhalb,
\einhalb)$ und reskalierten Achsen so, da{\ss} der Scheitel der Parabel
bei $(0,1)$ liegt
  \begin{equation}
   f(x) = 4 r x (1-x) \longrightarrow g(\xi) = 1-\mu \xi^2
  \end{equation}
  wobei $\mu = r(4r-2)$ bzw. $r={1 \over 4} \left(
  1+\sqrt{1+4\mu}\right)$

  \item Superstabile Bahnen f"ur $l=2$ gen"ugen dann
    \begin{equation}
      g_R(g_L(g_R(1))) = 0 \mbox{ bzw. }
      1=g_R^{-1}(g_L^{-1}(g_R^{-1}(0)))
    \end{equation}

    mit den Funktionen
    \begin{equation}
      g_R^{-1}(\xi) = \sqrt{1-\xi \over \mu} \mbox{ und }
      g_L^{-1}(\xi) = - \sqrt{1-\xi \over \mu}
    \end{equation}

  \item Endg"ultige Bestimmungsgleichung f"ur $\mu$ (in 3. Ordnung):
    \begin{equation}
      \mu - \sqrt{\mu + \sqrt{\mu - \sqrt{\mu}}} = 0
    \end{equation}
    welche durch Iteration gel"ost werden kann. Sie ergibt sich auch
den Formeln f"ur $g_R^{-1}$ und $g_L^{-1}$ und der Bedinung

\begin{equation}
  1 = g_R^{-1} \left( g_L^{-1} \left( g_R^{-1}(0) \right) \right)
\end{equation}

wie folgt:
\begin{eqnarray}
  1 & = & \sqrt{{1 + \sqrt {1 - \sqrt{1 \over \mu} \over \mu} \over
\mu}} \\
  1 & = & {1 \over \mu} \sqrt{ \mu + \mu \sqrt{1 - \sqrt{1 \over
\mu} \over \mu}} \\
  1 & = & {1 \over \mu} \sqrt{\mu + \sqrt{\mu - \mu \sqrt{1 \over
\mu}}} \\
  1 & = & {1 \over \mu} \sqrt{ \mu + \sqrt{\mu - \sqrt{\mu}}}
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Box
\end{eqnarray}



  \item \beachte Die CLR-Sequenz bestimmt die Vorzeichen der
geschachtelten Wurzeln: L gibt ein positives, R ein negatives
Vorzeichen. Gilt f"ur alle \index{Bahn!superstabile} superstabilen
Bahnen.

  \item aus den $\mu$ \folgt $r_l$

  \item damit dann "uber
    \begin{equation}
      \delta = \lim_{l \rightarrow \infty} {r_l - r_{l-1} \over
      r_{l+1} - r_l}
    \end{equation}
    die \emindex{Feienbaumkonstante}


\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Feigenbaumdiagramm}}

\begin{itemize}

  \item Durchlaufe f"ur jeden r-Wert die Iteration bei bestimmtem,
festgelegten x (das kein Fixpunkt ist) 1000
mal.
  \item Nach 100 Iterationen zeichne den ersten Punkt beim erzielten
x-Wert, sodann einen Punkt bei jedem weiteren erzielten x.
  \item Die Entstehenden Linien zeigen den jeweiligen
\emindex{Attraktor}.
  \item Jeder x-Wert l"auft nach ca. 100 Iterationen auf einen dieser
Attraktoren zu, d.h. der Eingangswert x f"ur die ersten 100 Iterationen
ist irrelevant.
  \item An Gabelungen (\nfindex{Bifurkationen}) springt der x-Wert der
als Ergebnis der Iteration erzielt wird zwischen zwei Punkten hin und
her, bei 4-fachen Attraktoren zwischen 4 Punkten usf.
  \item Im chaotischen Bereich springt das Ergebnis der Iteration "uber
den ganzen Bereich.
  \item An chaotische Bereiche schlie{\ss}en sich solche mit definierten
Attraktoren an \folgt \emindex{Fenster}

  \item Man findet, da{\ss} neben Perioden 2, 4, 8 etc. auch 3, 6, 12 usw.
in den Fenstern vorkommen, und man kann zeigen, da{\ss} in der Tat alle
Perioden existieren.

  \item In den chaotischen Bereichen unterhalb eines stabilen Zyklus
findet man in der H"aufigkeitsverteilung der Werte in bestimmten
intervallen (\nfindex{Kanalplot}) bereits deutlich die Spitzen des
n"achsten stabilen Zyklus.

  \item \emindex{Geometrische Konstruktion}
\index{Konstruktion!geometrische} der Zyklen:
    \begin{itemize}
      \item Zeichne Parabel
      \item vom Startwert auf der Parabel ausgehend zeichne man eine
horizontale bis zur Winkelhalbierenden
      \item von der \nfindex{Winkelhalbierenden} senkrecht zur Parabel
\folgt n"achster Punkt der Iteration
      \item von dort aus zur"uck zur Winkelhalbierenden
      \item und wieder senkrecht zur Parabel \folgt n"achster Punkt
    \end{itemize}
    Bei einem superstabilen n Zyklus bilden sich die Punkte nach n
Wiederholungen der Prozedur exakt aufeinander ab. Chaotische Bereiche
erkennt man daran, da{\ss} die Prozedur breite B"ander liefert.
\end{itemize}

\beachte
\begin{Folgerungen}
 \item Bei der Berechnung der Funktionswerte der logistischen
Abbildung kommt es Aufgrund der Rundung im Rechner (endliche
Genauigkeit bei Digitalrechnern) leicht zu Fehlern! (z.B. mit
Maschinengenauigkeit liefert $x_0={1 \over 3}, r={97\over 100}$ f"ur
$x_{100}=0.144807$, der wahre Wert ist $x_{100}=0.410091$)
\item Positive \nfindex{Ljapunow-Exponenten} zeigen deutlich eine hohe
Abh"angikeit von den Anfangswerten an.
 \item Es ist n"otig, mit sehr hoher Genauigkeit zu rechnen, bei der
Logistischen Abbildung in der Gr"o{\ss}enordnung von 60 Dezimalstellen!
\end{Folgerungen}

\section{Frenkel-Kontorov Modell (S. 101)}

\subsection{Allgemeines}

\prinzip Zwei konkurrierende physikalische Kr"afte greifen an einem
System an.

Betrachte hier: Kette auf \nfindex{Wellblech}
\begin{itemize}
  \item "au{\ss}eres periodisches Potential $V(x)$ (Wellblech)
  \item Wechselwirkungspotential zwischen benachbarten Teilchen
  $W(x_n - x_{n-1})$
\end{itemize}

Damit ergibt sich die Energie eines Teilst"ucks $x_{M+1} \cdots x_N$

\begin{equation}
  H_{MN} = \sum_{n=M+1}^N \left[ V(x_n) + W(x_n - x_{n-1} - W(x_{n+1}
  - x_n) \right]
\end{equation}

Betrachte nun die \emindex{Ruhelage} \folgt es kompensieren sich alle
\underline{Kr"afte} ($F = {\partial V \over \partial t}$)
\begin{equation}
  0 = { \partial H_{MN} \over \partial x_n} =
  {\partial \over  \partial t} V(x_n) +
  {\partial \over  \partial t} W(x_n - x_{n-1}) -
  {\partial \over  \partial t} W(x_{n+1} - x_n)
\end{equation}

\definition $p_n = {\partial \over  \partial t} W(x_n - x_{n-1}$

\begin{eqnarray}
 & p_{n+1} = p_n + {\partial \over  \partial t} V(x_n) \\
 & x_{n+1} = x_n + {\partial \over  \partial t} W^{-1}(p_{n+1})
\end{eqnarray}

(die zweite Gleichung durch invertieren der Definition und
umnumerieren von $n-1 \rightarrow n$)
\begin{Folgerungen}
  \item Beschreibung einer Iteration
  \item Vorgabe von $(x_0,p_0)$ liefert $(x_1, p_1)$ sowie
        $(x_{-1},p_{-1})$
  \item "aquivalent ist die Vorgabe von $(x_{-1}, x_0)$ (benutze
        Definition von p!)
  \item jeder Startpunkt bestimmt eindeutig den Zustand der Kette
  \item \emindex{Funktionaldeterminante}
    \begin{equation}
      \left| { \partial (x_{n+1}, p_{n+1}) \over \partial (x_n, p_n)
      }\right| := D :=
      \left|
       \begin{array}{cc}
        {\partial x_{n+1} \over \partial x} &
        {\partial x_{n+1} \over \partial p} \\
        {\partial p_{n+1} \over \partial x} &
        {\partial p_{n+1} \over \partial p}
       \end{array}
      \right|
      = 1
    \end{equation}
    d.h. \nfindex{Abbildung} $(x_n,p_n) \rightarrow (x_{n+1},
    p_{n+1})$ ist \emindex{fl"achentreu} (\nfindex{Fl"achenelement}
    $dS := |D| dx dx$ bei Koordinatentransformationen. s. z.B.
    Bronstein S.364)
    \begin{Folgerungen}
    \item Fl"achenerhaltender Flu{\ss} im \emindex{Phasenraum}
    \item Die Gleichungen entsprechen einer \nfindex{Momentaufnahme}
          einer kontinuierlichen \nfindex{Dynamik}
          \index{Dynamik!kontinuierliche}, d. h. einem
          \emindex{Poincar‚-Schnitt} in 3D-Phasenraum
    \end{Folgerungen}
\end{Folgerungen}

\subsection{Konkretes Beispiel}

\begin{itemize}
  \item Betrachte die \nfindex{Potential}e
    \begin{eqnarray}
      V(x) = {K \over (2\pi)^2} \left( 1 - \cos(2 \pi x) \right)
      W(\Delta) = \einhalb (\Delta - \sigma)^2
    \end{eqnarray}
    Dabei:
    \begin{itemize}
      \item K: St"arke des periodischen Potentials
      \item $\sigma$: Abstand der Teilchen f"ur $K=0$ in Einheiten
      der \nfindex{Periodenl"ange} des Potentials
    \end{itemize}
  \item Modifikation von $p_n = x_n - x_{n-1} - \sigma$ zu $p_n = x_n - x_{n-1}$
  \item Gleichungen mit dem \nfindex{Potential}
  \begin{eqnarray}
     p_{n+1} & = & p_n + {K \over 2 \pi} \sin(2 \pi x_n) \\
     x_{n+1} & = & x_n + p_{n+1}
  \end{eqnarray}
  $\longrightarrow$ \emindex{Standardabbildung} oder
  \emindex{Chirikov-Abbildung}

  \item \emindex{Energie}
    \begin{equation}
      H_{MN} = K \sum_{n=M+1}^N {1 \over (2 \pi)^2} \left( 1-
      \cos(2 \pi x_n)\right) +  \sum_{n=M+1}^N \einhalb (p_n -
      \sigma)^2
    \end{equation}

  \item Die Energie ist eine Funktion von $x$ und $p$

  \item Mittlere \nfindex{Energie} pro \nfindex{Teilchen}
    \begin{equation}
      h = \lim_{N-M \rightarrow \infty} {1 \over N-M} H_{MN}
    \end{equation}

  \item \emindex{Grundzustand}: $h(x_0, p_0) \exeq \min$

  \item \emindex{Windungszahl}: mittlerer Abstand benachbarter
        Teilchen
    \begin{equation}
      w = \langle x_{n+1} - x_n \rangle = \lim_{N-M \rightarrow
      \infty} {x_N - x_M \over N - M}
    \end{equation}

  \item Relativ zum \nfindex{Gitter} periodische Zust"ande:
    $\exists P, Q$ mit $x_{n+Q} = x_n + P$, womit f"ur die Windungszahl
    folgt
    \begin{equation}
      w = {x_{n+Q} - x_n \over Q} = {P \over Q}
    \end{equation}
    d. h. $w$ ist rational! \index{Windungszahl!rational}

  \item Zust"ande mit \underline{irrationaler} Windungszahl
  \index{Windungszahl!irrational} rasten nicht in das Gitter ein
\end{itemize}

\subsection{Ergebnisse}

\begin{itemize}
  \item Plot von p gegen x \folgt 3 unterschiedliche Bahnformen:
  \begin{itemize}
    \item nulldimensional:
     \begin{Folgerungen}
       \item Kommensurable Zust"ande
       \item rationale Windungszahl
       \item endlich viele Punkte z. B. in der Mitte der Inseln
     \end{Folgerungen}
    \item eindimensional
      \begin{Folgerungen}
        \item geschlossene Bahnen
        \item um die nulldimensionalen herum
        \item jedes $x_n$ schwankt um den entsprechenden
        kommensurablen Wert mit einer zur \nfindex{Periode} des
        \nfindex{Potential}s inkommensurablen Frequenz
        \item im \emindex{Ortsraum} oszilliert das Teilchen in der
        Tallage um das Minimum des Potentials herum
        \item eindimensionale Bahnen, die den ganzen
        \nfindex{Phasenraum} f"ullen hei{\ss}en \emindex{KAM-Trajektorien}
      \end{Folgerungen}
    \item zweidimensional
      \begin{Folgerungen}
        \item Zust"ande f"ullen ganze Fl"achenst"ucke
        \item chaotisches Verhalten \index{Chaos!Frekel-Kontorova}
        \item chaotische Bahnen k"onnen eindimensionale Bahnen nicht
        "uberspringen
        \item Es gibt einen kritischen K-Wert $K_c = 0.971635\cdots$,
        unterhalb dem eindimensionale Bahnen den gesamten Phasenraum
        f"ullen \folgt keine chaotischen Bahnen m"oglich
        \item f"ur $K=K_c$ verschwindet die letzte KAM-Trajektorie, die
        mit der irrationalsten \nfindex{Windungszahl}, dem inversen
        goldenen Schnitt (\index{Goldener Schnitt!inverser})
        $w={2 \over (1+\sqrt{5})} = 0.618\cdots$
      \end{Folgerungen}
  \end{itemize}
  \item Zustand niedrigster \nfindex{Energie} zu einem bestimmten
        $x_0$ und $\sigma$
   \begin{Folgerungen}
     \item f"ur globales \nfindex{Minimum} ist das absuchen der
           gesamten Ebene n"otig (es existieren alternative Verfahren)
     \item Am Minimum rastet die \nfindex{Windungszahl} $w$ auf den
           Wert $w=\sigma$ ein
     \item Bestimmt man f"ur alle Werte von $\sigma$ das Minimum von
$h(x_0,p_0)$ findet man, da{\ss} w in jede rationale Zahl $P \over Q$ in
Stufen einrastet
     \item die Breite der Stufen nimmt mit wachsendem $Q$ ab.
     \item $w(\sigma)$ hat unendlich viele Stufen, wobei zwischen zwei
Stufen wieder unendlich viele liegen
     \item $w(\sigma)$ ist trotzdem stetig, d. h. es gibt auch zu
irratinalen $\sigma$ einen \nfindex{Grundzustand}
     \item dieses Verhalten nennt man \bfindex{Teufelstreppe}
   \end{Folgerungen}
   \item Ursache des Verhaltens des Grundzustandes: zwei
konkurrierende L"angen:
   \begin{itemize}
     \item zu rationalen $w$-Werten geh"oren kommensurable
Grundzust"ande, die einzelnen Punkten in der x-p-Ebene entsprechen
    \item zu inkommensurablen Grundzust"anden geh"oren keine
fl"achenf"ullenden chaotischen Zust"ande, sondern nur Linien
    \item Inkommensurable Zust"ande k"onnen ohne Energie"anderung "uber
das Cosinuspotential gezogen werden
   \end{itemize}
\end{itemize}

\section{Fraktales Gitter (S. 110)}

\rem{---}

\chapter{Differentialgleichungen}

\section{Grundlagen}

\begin{itemize}
  \item Lineare Differentialgleichungen
\index{Differentialgleichung!lineare, n-ter Ordnung} n-ter Ordnung
kann man durch folgende \nfindex{Substitution} auf ein System von
Differentialgleichungen \index{Differentialgleichung!System} 1.
Ordnung zur"uckf"uhren:
  \begin{eqnarray}
    \mbox{gg.} & y^{(n)}(x) = f(x, y, y', y'', \cdots y^{(n-1)}) \\
    \mbox{Substitution} & y_1 = y \\
    & y_2 = y'\\
    & \vdots \nonumber \\
    & y_n = y^{(n-1)}
\end{eqnarray}
Man erh"alt so:
  \begin{eqnarray}
     y_1' & = & y_2 \\
     y_2' & = & y_3 \\
        & \vdots & \\
     y_n' & = & f(x, y_1, y_2, \cdots, y_n)
\end{eqnarray}

\item in \emindex{Vektorform}
  \begin{equation}
    \vec{y}'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} {\vec{y}(y+\Delta x)
    - \vec{y}(x) \over \Delta x} = \vec{f}(x,\vec{y})
\label{eq:Differenzenquotient}
\end{equation}

\item Mit Gleichung (\ref{eq:Differenzenquotient}) l"a{\ss}t sich die
\emindex{Ableitung} einer Funktion numerisch bestimmen \folgt
\nfindex{N"aherungsmethode}

\item \emindex{Euler-Verfahren}:
  \begin{equation}
    y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)
  \end{equation}

wobei $h$ die \emindex{Schrittweite} ist.
   \begin{Folgerungen}
     \item ungenau: bei der gleichen Zahl Rechenschritte l"a{\ss}t sich
leicht eine wesentlich h"ohere Genauigkeit erziehlen
     \item relativ instabil
   \end{Folgerungen}

\item \nfindex{Entwicklung} in eine \emindex{Taylorreihe} liefert die
\emindex{Fehlerabsch"atzung}
  \begin{equation}
    y_{n\pm 1} = y(x_n \pm h) = y_n \pm h y_n' + {h^2 \over 2} y_n''
\pm {h^3 \over 6} y_n''' + \Order (h^4)
\end{equation}

\item Damit folgt f"ur das \nfindex{Euler-Verfahren} ein
\nfindex{Fehler} der Ordnung $h^2$, da man die \nfindex{Taylorreihe}
bereits nach dem Glied $y'(x)$ abbricht

\end{itemize}

\section{Runge-Kutta-Verfahren (S. 127)}
\index{Runge-Kutta-Verfahren}

(s. a. deVries: ''Computerphysik'' 1.Aufl. 1995 S.
217ff\footnote{Universit"atsbibliothek Signatur 750 ST 630 D514 C7+2})

\subsection{Allgemeine Bemerkungen}

\begin{itemize}
  \item Allgemeines Kennzeichen aller Runge-Kutta-Verfahren ist, da{\ss}
die L"osung mit Hilfe der Ableitung $f(x,y)$ ausgedr"uckt wird, und
nicht wie bei der Approximation mit der \emindex{Taylorreihe} durch
viele verschiedene Ableitungen unterschiedlicher Ordnung

  \item Allgemeine Form aller Euler-Verfahren:
    \begin{equation}
      y(x_0 + h) = y(x_0) + h \left[ \alpha f(x_0,y_0) + \beta
      f(x_0+\gamma h, y_0 + \delta h f_0)\right]
    \end{equation}

  \item Ableitung ist "uber ein Integral m"oglich. Es gilt, da
$y'=f(x,y)$:
     \begin{equation}
       y(x_0 + h) = y(x_0) + \int_{x_0}^{x_0+h} f(\tau, y) d\tau
     \end{equation}
     Approximation des Integrals nach der
     \begin{Folgerungen}
       \item Mittelpunktsmethode: modifizierte Eulerverfahren (s.u.)
       \item Trapezregel: verbessertes Eulerverfahren
       \item Simpson-Regel: Runge-Kutta 4. Ordnung (Standard-Runge-Kutta)
     \end{Folgerungen}
\end{itemize}

\subsection{Mittelpunktsmethode - modifiziertes Eulerverfahren}
\index{Mittelpunktsmethode}

\begin{itemize}
  \item F"ur einen \emindex{Euler-Schritt} gilt:
    \begin{equation}
      y_{n+1} = y_n + \underbrace{h}_{\mathrm{Schrittweite}}
      \underbrace{f(x_n, y_n)}_{=y'(x)}
    \end{equation}
    und damit ein Fehler $\Order(h^2)$
  \item ''Testschritt'' in die Mitte: d.h.
    \begin{enumerate}
      \item Berechne die \nfindex{Steigung} am Startpunkt $= f(x,y)$
            damit $k_1 = h f(x_n,y_n)$
      \item Mache einen Schritt in die Mitte des Intervalls in
            Richtung dieser Steigung zum Punkt $(x_n + \einhalb, y_n +
\einhalb k_1)$
      \item Berechne die Steigung an diesem Punkt
            $= f(x_n + \einhalb, y_n + \einhalb k_1)$
      \item mache den gesamten Schritt mit der eben
            berechneten Steigung in der Mitte des Invervalls
    \end{enumerate}

  \item In Gleichungen:
    \begin{eqnarray}
      k_1 & = & h f(x_n, y_n)  \nonumber \\
          & = &\Delta y_1 \\
      k_2 & = & h f(x_n + \einhalb h, y_n + \einhalb k_1)  \nonumber \\
          & = & \Delta y_2\\
      y_{n+1} & = & y_n + k_2 + \Order(h^3)
    \end{eqnarray}
  \item Fehler dieser Methode: $\Order(h^3)$ \folgt
        \nfindex{Runge-Kutta 2. Ordnung}
  \item Nur zwei Berechnungen on $f(x,y)$ n"otig
\end{itemize}

\subsection{Standard Runge-Kutta-Verfahren}

\begin{itemize}
  \item Standardverfahren: \emindex{Runge-Kutta 4. Ordnung}
  \item \prinzip Weitere Unterteilung der
        \emindex{Mittelpunktsmethode}
  \item \bfindex{Algorithmus}
     \begin{eqnarray}
       k_1 & = & h f(x_n, y_n) \\
       k_2 & = & h f(x_n + \halbe{h}, y_n + \halbe{k_1}) \\
       k_3 & = & h f(x_n + \halbe{h}, y_n + \halbe{k_2}) \\
       k_4 & = & h f(x_n + h, y_n + k_3) \\
       y_{n+1} & = & y_n + {k_1 \over 6} + {k_2 \over 3} + {k_3 \over
       3} + {k_4 \over 6} + \Order(h^5)
     \end{eqnarray}
  \item Man tut also so, als ob man einen weiteren Funktionswert bei
        $f(x_n + \halbe{h}, y_n + \halbe{k_2})$ h"atte
  \item Zum mittleren \nfindex{St"utzpunkt} gelangt man einmal "uber die
        \nfindex{Steigung}, die sich ergibt, wenn man sie an
        $(x_n,y_n)$ berechnet, und einmal mit der Steigung, die sich
        ergibt, wenn man sie an der Stelle $x_n + \halbe{h}, y_n +
        \halbe{h K_1}$ berechnet. (s. z.B. Mayberg-Vachenauer S.59)
  \item "uber die Steigungen an der mittleren St"utzstelle wird geeignet
        gemittelt (s.o.)
  \item 4 Berechnungen von $f(x,y)$ n"otig
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Schrittweitenanpassung}}

\prinzip In Bereichen in denen sich die Funktion nur gering "andert
kann man mit einer wesentlich gr"o{\ss}eren \nfindex{Schrittweite} rechnen,
als in Bereichen, in denen sich die Funktion stark "andert. \folgt
Dynamische Anpassung der Schrittweite kann die Rechenzeiten drastisch
reduzieren.

\begin{itemize}
  \item Gute N"aherungen erh"alt man Erfahrungsgem"a{\ss} wenn
    \begin{equation}
       0.05 \leq h L \leq 0.20
    \end{equation}
    wobei $|f(x_n, y_n)| \approx L$ l"angs der L"osung von $y' = f(x,y)$
    mit $y(x_0)=y_0$
  \item \definition \bfindex{Schrittkennzahl} $= h |f(x_n,y_n)|$
  \item Approximation der \nfindex{Schrittkennzahl} f"ur das
        \nfindex{Runge-Kutta-Verfahren}:
        \begin{equation}
          h |f(x_n, y_n)| \approx 2
          \left| {K_3 - K_2 \over K_2 - K_1} \right| =: 2 q
        \end{equation}
  \item \nfindex{Schrittweitenkontrolle} nach \emindex{Collatz}:
     \begin{Folgerungen}
       \item $q > 0.1$: Ersetze $h$ durch $\halbe{h}$ und
       wiederhole den letzten Schritt
       \item $q < 0.025$: akzeptiere den letzen Schritt und setze
       $h$ zu $2h$ f"ur die folgende Rechnung
       \item $0.025 \leq q \leq 0.1$: akzeptiere den Schritt, lasse
       $h$ unver"andert
     \end{Folgerungen}
  \item \emindex{Schrittweitenhalbierung}:

     Rechne zweimal mit dem gleichen Verfahren von $x$ nach $x+h$
     \begin{Folgerungen}
       \item Erste Rechnung in einem Schritt: Ergebnis $\eta$
       \item Zweite Rechnung in zwei Schritten mit $\halbe{h}$:
       Ergebnis $\xi$
       \item unterdr"uckt man in der Taylorentwicklung der L"osung
       h"ohere Glieder als die Ordnung der N"aherung so findet man
       \begin{equation}
         y(x) - \eta \approx c_{p+1} h^{p+1},
         y(x) - \xi \approx 2 c_{p+1} \left( \halbe{h}\right)^{p+1}
       \end{equation}
       \item Verfahrensfehler:
         \begin{equation}
          y(x) - \eta \approx {2^p \over 2^p -1} \left( \xi -
          \eta \right)
         \end{equation}
       \item \emindex{Schrittweitenhalbierung} wenn
         \begin{equation}
           \sqrt[p+1]{ {2^p \over 2^p -1} {|\xi - \eta| \over
           \varepsilon}} \geq 2
\end{equation}
     \end{Folgerungen}
\end{itemize}

\section{Chaotisches Pendel (S. 134)}


\subsection{Klassisches \nfindex{Pendel} mit \nfindex{Reibung}}

\begin{itemize}
 \item \emindex{Bewegungsgleichung} (dimensionslos):
   \begin{equation}
    {d^2 \over dt^2}\phi + r \dot{\phi} + \sin(\phi) = 0
   \end{equation}
   wobei $r$ der \nfindex{Reibungsparameter} ist.

 \item Zerlegung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung:
   \begin{eqnarray}
     \dot{\phi} & = & \omega \nonumber \\
     \dot{\omega} & = & - r \omega - \sin(\phi)
   \end{eqnarray}

   \folgt \nfindex{Darstellung} in 2D \nfindex{Phasenraum}

 \item Eindeutiger Zusammenhang zwischen $(\phi, \omega)$ und
$(d\phi, d\omega)$ \folgt $(\phi(t),\omega(t))$-Trajektorien k"onnen
sich nicht kreuzen.

 \item {\it Man kann zeigen}: Da sich die
\nfindex{Phasenraumtrajektorien} nicht kreuzen k"onnen, kann es im 2D
keine \nfindex{chaotische Bewegung} \index{Bewegung!chaotische} geben.

 \item ''im 2D ist kein Platz, f"ur etwas anderes als langfristig
geschlossene Bahnen.''

 \item Das \nfindex{Pende} relaxiert nach einigen Schwingungen in die
Ruhelage (\nfindex{Reibung}!)

\folgt $(\phi=0, \omega=0)$ ist ein
\emindex{Attraktor}

\end{itemize}

\subsection{Getriebenes Pendel}

\begin{itemize}
 \item Hinzuf"ugen einer weiteren Dimension f"ur den
\nfindex{Phasenraum} durch einf"uhren einer periodischen
\nfindex{Kraft} \index{Kraft!periodische}

 \item \emindex{Bewegungsgleichung}:
   \begin{equation}
     {d^2 \over dt^2}\phi + r \dot{\phi} + \sin(\phi) = a
     \cos(\omega_D t)
   \end{equation}

 \item Daraus drei Gleichungen 1. Ordnung ($\theta = \omega_D t$)
   \begin{eqnarray}
     \dot{phi} & = & \omega \nonumber \\
     \dot{\omega} & = & - r \omega - \sin(\phi) + a \cos(\theta)
     \nonumber \\
     \dot{\theta} = \omega_D
   \end{eqnarray}
   \begin{Folgerungen}
     \item 3D-Phasenraum: $(\phi, \omega, \theta)$
     \item 3 Parameter: $(r, a, \omega_D)$
     \item Ungetrieben und ohne Reibung $(a=r=0)$: Harmonische
Schwingung \index{Schwingung!harmonische} der \nfindex{Frequenz}
$\omega_0 = 1$
   \end{Folgerungen}

 \item i. A. Drei konkurrierende Zeitskalen:
   \begin{enumerate}
     \item \nfindex{Antriebsperiode}: ${2\pi \over \omega_D}$
     \item \nfindex{Eigenperiode}: ${2 \pi \over \omega_0}$
     \item \nfindex{Relaxationszeit}: $1 \over r$
   \end{enumerate}

 \item \definition \bfindex{Poincar‚-Schnitt}

   Betrachtung der Bewegung nur nach festgelegten Zeitpunkten "ahnlich
einer \nfindex{Stroboskopaufnahme}

 \item \nfindex{Zeitintervall}: \nfindex{Antriebsperiode}
  \folgt Betrachte
  \begin{equation}
   \left( \phi(t_j), \omega(t_j)\right) \mbox{ mit } t_j = {2 \pi j
   \over \omega_D}, \ \ \ \ j=0,1,2,\cdots
  \end{equation}

 \item Betrachte \nfindex{Abbildung} analog der \nfindex{logistischen
Abbildung}. Hier ist aber die Abbildung nicht fl"achenerhaltend.

 \item Fl"achenst"ucke werden bei der \nfindex{Iteration} kleiner \folgt
\emindex{Attraktoren}

 \item Trajektorien im \emindex{Poincar‚-Schnitt} bei obigem
Zeitintervall \index{Poincar‚-Schnitt!Trajektorien}
   \begin{Folgerungen}
     \item Bei periodischer Bewegung \index{Bewegung!periodische}
     mit \nfindex{Periodenl"ange} $2 \pi \over \omega_0$: entweder
     einzelne Punkte oder eine geschlossene Kurve
     \item $\omega_0 = \omega_D$: Nur ein einziger Punkt in der Ebene
     \item $\omega_0 = \left( {p \over q} \omega_D\right)$ ($p,q$
teilerfremd): $q$  Punkte, deren Reihenfolge des Durchlaufs durch $p$
gegeben wird
     \item $\omega_0$ irrationales Vielfaches von $\omega_D$:
unendlich viele Punkte f"ullen eine geschlossene Kurve
   \end{Folgerungen}

 \item \emindex{Seltsamer Attraktor} \index{Attraktor!seltsamer}:
   \begin{itemize}
     \item sind \nfindex{Fraktal}e
     \item entsprechen chaotischen Bahnen \index{Bahn!chaotische}
     \item ''sehen aus wie gekneteter Teig''
   \end{itemize}


\end{itemize}

\subsection{Fraktale Dimension}
\index{Dimension!fraktale}

Mehrere M"oglichkeiten zur \definition

\begin{enumerate}

\item physikalische Bestimmung der Dimension: F"ur \nfindex{Masse} und
\nfindex{Ausdehnung} eines Objekts gilt
      \begin{equation}
        M \propto L^D
      \end{equation}
      Wobei $L$ die \nfindex{Einheitsl"ange} ist. Damit folgt f"ur die
      Dimension
      \begin{equation}
        D_{phys} = \lim_{L \rightarrow \infty} {\log{M} \over \log{L}}
      \end{equation}

      \dframetext{12cm}{D.h. bei einer 2D-Fl"ache bedeutet eine
fraktale Dimension $D$ von z. B. $D=1.9$, da{\ss} die mittlere Dichte
$M(L) \over L^2$ nicht konstant ist, sondern mit $L^{2-D}=L^{-0.1}$
abnimmt.}

\item "uberdeckung des Objekts mit W"urfeln der Kantenl"ange
      $\varepsilon$. $N(\varepsilon)$ sei die kleinste Zahl solcher
      W"urfel \folgt $N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}$ und
      damit
      \begin{equation}
        D_{B} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} {\log \left(
        N(\varepsilon)\right) \over \log\left({1 \over \varepsilon}
        \right)}
      \end{equation}

      \dframetext{12cm}{D.h es existiert eine charakteristische L"ange
(\emindex{Korrelationsl"ange}) $\xi$ f"ur die gilt: Mi{\ss}t man mit einer
L"ange $L>\xi$ findet man als Dimension des Objekts die
Einbettungsdimension, mi{\ss}t man mit einer L"ange $L<\xi$ so sieht man
die fraktale Dimension. $\xi$ mi{\ss}t also das gr"o{\ss}te Loch im gr"o{\ss}ten
Cluster.}

\item Methode von \emindex{Grassberger} und
\emindex{Procaccia}:

  \begin{itemize}
     \item Erzeuge $N$ m"oglichst unkorrelierte Punkte $x_i$ auf dem
           \nfindex{Attraktor}
     \item Z"ahle die Punkte $x_j$, die zu $x_i$ einen Abstand haben,
           der kleiner ist als $R$
     \item Mittle diese Zahl "uber $x_i$
     \item Als Gleichung mit der \emindex{Stufenfunktion} $\Theta(x)$:
     \begin{equation}
       C(R) = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N (N-1)}
       \sum_{i \neq j}^N \Theta \left( R - |x_i - x_j|\right)
     \end{equation}
     \item Interpretation: $C(R)$ entspricht der mittleren Masse eines
     Ausschnitts aus dem \nfindex{Attraktor}. "uber die
     Massen-L"angen-Beziehung folgt f"ur die \emindex{Fraktale
     Dimension}
     \begin{equation}
        C(R) \propto R^{D_C}
     \end{equation}
     \beachte Gilt nur f"ur $R$-Werte die gr"o{\ss}er als der mittlere
     Abstand der Datenpunkte und kleiner als die Ausdehnung des
     Attraktors sind.
  \end{itemize}


\item "uber die \emindex{Informationsentropie}
  \begin{itemize}
    \item "uberdecke den \nfindex{Attraktor} mit Quadraten der
          Kantenl"ange $\varepsilon$
    \item Z"ahle die Punkte der \nfindex{Trajektorie} die in jedem
          K"astchen liegen \folgt $p_i = $ \nfindex{Wahrscheinlichkeit}
          da{\ss} ein Punkt $(\phi,\omega)$ des Attraktors in Quadrat $i$
          liegt
    \item \definition \bfindex{Entropie}
         \begin{equation}
           I(\varepsilon) = -\sum_i p_i \ln(p_i)
         \end{equation}
    \item \definition \bfindex{Informationsdimension}
         \begin{equation}
           D_I = - \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} {I(\varepsilon)
           \over \ln(\varepsilon)}
         \end{equation}
\end{itemize}

\end{enumerate}

Man kann zeigen, da{\ss} $D_B \leq D_I \leq D_C$, wobei man jedoch in
praktischen Anwendungen oft "ubereinstimmung innerhalb des
Beobachtungsfehlers findet.

\subsection{Ergebnisse des Getriebenen Pendels}

\begin{itemize}
  \item Ohne Antrieb: Ged"ampfte Schwingung und schlie{\ss}lich anhalten in
der Ruhelage bei $(\phi, \omega) = (0,0)$

  \item kleine $a$: Nach einer \emindex{Einschwingphase} periodische
Bewegung mit der Periode ${2 \pi \over \omega_D}$, d. h. einen Punkt
im \nfindex{Poincar‚-Schnitt}  (erst nach der Einschwingphase!)

  \item ab $a = 0.68$: Antrieb ist stark genug f"ur einen
\emindex{"uberschlag} \folgt Bahn verl"a{\ss}t den Bildschirm und tritt auf
der gegen"uberliegenden Seite wieder ein (Folge der
\nfindex{Periodizit"at})

  \item $a = 0.7$: Chaotische Bewegung \index{Bewegung!chaotische}
\folgt chaotischer Attraktor. \index{Attraktor!chaotischer} Im
\nfindex{Poincar‚-Schnitt}: Dichte Punkte entlang von Linien
(''gekneteter Teig'')

  \item $a = 0.85$ scheinbar regellose Bewegung, jedoch zeigt der
\nfindex{Poincar‚-Schnitt}, da{\ss} in Wahrheit ein Zyklus der L"ange $7
{2  \pi \over \omega_D}$ vorliegt.

  \item \emindex{Periodenverdopplung}: Einfacher Zyklus bei $a=0.97$
verdoppelt sich f"ur $a=0.98$ und $a=0.99$ und vervierfacht sich bei
$a=1.0$

  \item mit wachsender Antriebsst"arke beobachtet man einen
fortw"arenden Wechsel von periodischen und chaotischen Bahnen.

\end{itemize}

\section{Station"are \nfindex{Schr"odingergleichung} (S. 144)}

\subsection{Allgemeines}

\begin{itemize}
 \item \definition {\bf Station"are Sch"ordingergleichung}
 \index{Schr"odingergleichung!station"are} in \emindex{Ortsdarstellung}:
\nfindex{Erwartungswert}e der \nfindex{Operatoren} sind
\emindex{zeitunabh"anig}

\begin{equation}
  -{\hbar^2 \over 2 m} \psi''(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)
\end{equation}

 \item \definition \bfindex{Wahrscheinlichkeitsdichte}
  \begin{equation}
    \varrho_p = \left| \psi(\vec{r},t) \right|^2
    \stackrel{\mathrm{hier}}{=} \left| \psi(x) \right|^2
  \end{equation}

 \item \definition \bfindex{Potential}: $V(x)$
  Wenn $V(x)$ reell ist (physikalisches Potential), kann auch
$\psi(x)$ reell gew"ahlt werden

 \item Die \nfindex{Schr"odingergleichung} beschreibt ein Teilchen der
Masse $m$ im Potential $V(x)$

 \item Unterschied zur klassischen Mechanik: Durch die
\bfindex{Normierungsbedingung} $\int dx |\psi(x)|^2$ werden die
m"oglichen Energieeigenwerte quantisiert. \index{Quantisierung}

 \item L"osungen, deren \nfindex{Energie} minimal vom
\nfindex{Energieeigenwert} der \nfindex{Schr"odingergleichung}
abweichen explodieren exponentiell f"ur $x \rightarrow \infty$

 \item Symmetrische Potentiale \index{Potential!symmetrisches} $V(x)
= V(-x)$ f"uhren zu symmetrischen L"osungen $\psi(x) = \pm \psi(-x)$,
wobei das \nfindex{Vorzeichen} mit wachsendem
\nfindex{Energieeigenwert} abwechselt

 \item \emindex{Grundzustand}: symmetrisch ($\psi_0(x) = \psi_0(-x)$)
und hat \underline{keine} \nfindex{Nullstelle}

 \item F"ur jeden \nfindex{Eigenwert} oberhalb des Grundzustandes kommt
ein \emindex{Knoten} in der Wellenfunktion hinzu \folgt
\nfindex{Knotenzahl} = Nummer des \nfindex{Energieniveaus}

\end{itemize}

Im folgenden Betrachte als \emindex{Beispiel} den anharmonischen
\nfindex{Oszillator} \index{Oszillator!anharmonisch,
quantenmechanisch}. F"ur ihn gilt die \nfindex{Schr"odingergleichung}

\begin{equation}
  \psi''(x) + (-x^2 - \lambda x^4 + 2 E) \psi(x) = 0
\end{equation}

(in dimensionsloser Form, d.h. Energie $E$ und Ort $x$ in Einheiten
$\hbar \omega$ bzw. $\sqrt{\hbar \over m \omega}$). Die Eigenwerte des
ungest"orten Oszillators sind bekannt und relativ zur
\nfindex{Ruheenergie} $E_0 = \einhalb$ gegeben durch

\begin{equation}
  E_n^0 = n + \einhalb \ \ \ \ \ \mbox{mit } n=0,1,2,\cdots
\end{equation}

\subsection{\nfindex{Schie{\ss}verfahren}}

Ziel: Suche der \emindex{Eigenwerte}

\prinzip Schie{\ss}e die Wellenfunktion $\psi(x)$ f"ur verschiedene E-Werte
solange zu gr"o{\ss}eren $x$ hin, bis die \nfindex{Randbedinung}
(\nfindex{Normierungsbedingung}) $|\psi(x)| \rightarrow 0$ f"ur $x
\rightarrow \infty$ erf"ullt ist.

\beachte $\psi(x)$ bleibt nur in einem kleinen Intervall nahe bei 0.

\begin{itemize}
  \item W"ahle einen Energiewert $E$, der sicher \underline{unterhalb}
der \nfindex{Grundzustandsenergie} $E_0$ liegt
  \item integriere die \emindex{Schr"odingergleichung} von einem
\nfindex{Startwert} $x_0$ bis zu einem $x$-Wert bei dem $|\psi(x)|$
unrealistisch gro{\ss} geworden ist
  \item Erh"ohe die \nfindex{Energie} schrittweise, bis $\psi(x)$ das
Vorzeichen wechselt \folgt $E_0$ mu{\ss} unterhalb dieser
\nfindex{Energie} liegen
  \item Integriere in der Mitte des so gefundenen Intervalls
  \begin{Folgerungen}
    \item $\psi(x)$ wechselt das Vorzeichen: $E_0$ liegt in der
unteren H"alfte
   \item $\psi(x)$ wechselt nicht das Vorzeichen: $E_0$ liegt in der
oberen H"alfte
\end{Folgerungen}
  \item Finde $E_0$ durch \emindex{Einschachteln}
\end{itemize}

\subsection{\nfindex{Numerov-Verfahren}}

(s. z.B. Stoer II, 7.4)

Ziel: Gr"o{\ss}ere Genauigkeit bei einfacherem Verfahren

\prinzip Diskretisierung des Intervalls und N"aherung der Differentiale
durch geeignete \nfindex{Differenzenquotienten}

\beachte Problemabh"anig, funktioniert also nicht allgemein! (Im
Unterschied zum \emindex{Runge-Kutta-Verfahren}) Anwendung auf
Gleichungen der Form:

\begin{equation}
  \psi''(x) + k(x) \psi(x) = g(x)
\end{equation}

wobei hier $k(x) = 2(E-V(x))$ und $g(x) = 0$

Voraussetzungen:
\begin{itemize}
  \item $k(x)$ stetig
  \item $k(x) \geq 0$ f"ur $x \in [a,b]$
\end{itemize}

Damit kann man zeigen, da{\ss} eine eindeutige L"osung existiert. F"ur die
Anwendung hier ist $g(x) = 0$, die Gleichung selbst mit $-1$
multipliziert.

Verfahren:
\begin{itemize}
  \item Teile das Intervall $[a,b]$ in $n+1$ "aquidistante Teile:
   \begin{equation}
     a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n+1} = b
   \end{equation}
   wobei $x_j = a+ j \cdot h$  mit $h := {b-a \over n+1}$

  \item \definition $\psi_j = \psi(x_j)$ \folgt
  $\psi_i'' = \psi''(x_i)$
  \item Betrachte die \emindex{Taylorentwicklung}
  \begin{equation}
    \psi_{n \pm 1} = \psi_n \pm h \psi_n' + {h^2 \over 2} \psi_n''
    \pm {h^3 \over 6} \psi_n^{(3)} + {h^4 \over 24} \psi_n^{(4)} \pm
    \ldots
  \end{equation}
  \item Betrachte nun $\psi_{n+1} + \psi(n-1)$:
   \begin{Folgerungen}
     \item Alle ungeraden Potenzen in $h$ fallen weg (einmal mit $+$
     in $\psi_{n+1}$, einmal mit $-$ in $\psi_{n-1}$)
     \item Alle geraden Potenzen bekommen einen Faktor 2 (immer mit
           $+$)
     \item $\psi_n'' = - k_n \psi_n$
   \end{Folgerungen}

   \item Neue \nfindex{Taylorreihe} nach dieser Substitution:
    \begin{equation}
      \psi_{n+1} + \psi_{n-1} = 2 \psi_n - k_n \psi_n + 2 \cdot {h^4
      \over 24} \psi_n^{(4)} + \Order(h^6)
    \end{equation}

   \item Ersetze damit die 4. Ableitung durch die diskretisierte
         zweite (durch Aufl"osen nach $\psi_n^{(4)}$):
    \begin{eqnarray}
      \psi_n^{(4)} & = & \left. {d^2 \over dx^2} \psi''(x)
      \right|_{x_n} = - \left. {d^2 \over dx^2} \left( k(x)
      \psi(x) \right) \right|_{x_n} \nonumber \\
      & = & - {k_{n+1} \psi_{n+1} - 2 k_n \psi_n + k_{n-1} \psi_{n-1}
      \over h^2 } \\
      & & \mbox{da mit der Taylorreihe gilt} \nonumber \\
      h^2 \psi_n'' & = & \psi_{n+1} + \psi_{n-1} - 2 \psi_n
    \end{eqnarray}

   \item Einsetzen in die Taylorreihe ergibt
     \begin{equation}
       \left( 1 + {h^2 \over 12}  \right) \psi_{n+1}
       - 2 \left( 1 - {5 \over 12} h^2 k_n \right) \psi_n
       + \left( 1 + {h^2 \over 12} k_{n-1}\right) \psi_{n-1}
       + \Order(h^6) = 0
     \end{equation}
   \item Aus \underline{zwei benachbarten} Startwerten kann man
         s"amtliche $\psi_n$-Werte berechnen.
\end{itemize}

Anpassungen an das Problem:

\begin{itemize}
  \item Intervalle:
   \begin{itemize}
     \item gerade \nfindex{Wellenfunktion}: $x_n = \left(
           n-\einhalb \right) h$
     \item ungerade \nfindex{Wellenfunktion}: $x_n = n h$
   \end{itemize}
  \item Startwerte: Wegen der \nfindex{Symmetrie} des Potentials
   \begin{itemize}
     \item gerade \nfindex{Wellenfunktion}: $\psi_0 = \psi_1 \neq 0$
     \item ungerade \nfindex{Wellenfunktion}: $\psi_0 = 0, \psi_1
     \neq 0$
   \end{itemize}
   Wobei $\psi_1$ beliebig ist, da er nicht den
   \nfindex{Energieeigenwert}, sondern wegen der \nfindex{Linearit"at}
   der \nfindex{Schr"odingergleichung} nur die Normierung "andert
  \item Programmierung: Berechne Konstanten nicht innerhalb der
Scheife jedes mal neu, sondern einmal am Anfang der Prozedur um
\nfindex{CPU-Zeit} zu sparen!
\end{itemize}

Vorteil dieser Methode gegen die N"aherung durch
\nfindex{Diagonaliserung} einer endlichen \nfindex{Untermatrix}: Man
erh"alt eine obere und untere Schranke, und kann die Genauigkeit "uber
Halbierung der Schrittweite pr"ufen.

\section{Solitonen S. 150}
\index{Soliton} \index{Kortweg-de Vries-Gleichung}
\index{KDV-Gleichung}

\definition \bfindex{Soliton}

Solitonen sind Wellenl"osungen der \emindex{Kortweg-de
Vries-Gleichung}
\begin{equation}
  {\partial \over \partial t} u(x,t) = 6 {\partial \over \partial x}
u(x,t) - {\partial^3 \over \partial x^3} u(x,t) \label{eq:KdV}
\end{equation}

Wobei $t > 0$ und $-\infty < x < \infty$ ist. Diese Gleichung
beschreibt z. B. die Auslenkung $u(x,t)$ bei \nfindex{Wasserwellen} in
seichten Kan"alen


Eigenschaften
\begin{itemize}
  \item Durchdringen einander, ohne da{\ss} sich die Form "andert
  \item Ausbreitungsgeschwindigkeit ist amplitudenabh"angig:
        Solitonen mit h"oherer Amplitude laufen schneller als solche
        mit niedriger Amplitude
  \item Bei und nach der Durchdringung "andern sich die
        Geschwindigkeiten der beteiligten Solitonen nicht
  \item Nichtlineare Gleichung: Der Term $u {\partial \over \partial
        x} u(x,t)$ gibt bei doppelter Auslenkung einen vierfachen
        Beitrag
  \item "uberholt ein schnelles Soliton (mit gro{\ss}er Amplitude) ein
        kleines, so wird w"arend des "uberholvorgangs das kleine Soliton
        gebremst, und das gro{\ss}e beschleunigt.
\end{itemize}

\bfindex{Solitonenl"osung} der \nfindex{Kortweg-de Vries-Gleichung}
(\ref{eq:KdV})

\begin{equation}
  u(x,t) = -2 \mathrm{sech}^2 (x-4t) = -2 {1 \over \cosh(x-4t)}
\end{equation}

Beschreibt ein \nfindex{Wellental}, da{\ss} sich mit $v=4$ nach rechts
bewegt.

\bfindex{Multisolitonenl"osung}

Betrachtet man als \emindex{Anfangszustand}
\begin{equation}
  u(x,0) = -N (N+1) \mathrm{sech}^2(x)
\end{equation}
so entstehen daraus N Solitonen, die sich mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten fortbewegen. Die L"osungen kann man z. B. "uber ein
\emindex{inverses Streuproblem} \index{Streuproblem!inverses} finden.
(S. z.B. Baumann: ''Mathematica in der Theoretischen Physik'' Kap. 5).
Auch die \emindex{Schr"odingergleichung} mit dem
\emindex{P"oschl-Teller-Potential} $V(x)=-N(N+1) \mathrm{sech^2}(x)$
besitzt N Solitonenl"osungen.

\subsection{Algorithmus}

Betrachte zun"achst eine einfache \nfindex{Diskretisierung}:

\begin{itemize}
  \item $u_n^j = u(j dx, n dt)$, d.h. j Punkte in x, n Punkte in
        t-Richtung als ''Gitter''
  \item \emindex{Vorw"arts-2-Punkt-Formel}:
     \begin{equation}
       f'(x_k) = {f(x_k+h) - f(x_k) \over h}
     \end{equation}
     als N"aherung f"ur die partiellen Ableitungen. (F"ur $u_{xxx}$ drei
     mal interieren)
   \item zu l"osende Gleichung
     \begin{equation}
       u_{n+1}^j = u_n^j + dt \left( 6 u_n^j {u_n^{j+1} -
       u_n^j \over dx} - {u_n^{j+3} - 3u_n^{j+2} + 3 u_n^{j+1} -
       u_n^j \over (dx)^3}\right)
     \end{equation}
\end{itemize}

{\bf Problem:} Schlechte L"osung, da Solitonen nicht stabil sind, wenn
sie sich durchdringen, d.h. schon nach wenigen Zeitschritten
''explodiert'' die L"osung.

{\bf Fehlerursachen}
\begin{enumerate}
  \item Schlechte Darstellung der Ableitungen

  Analog zum Vorgehen beim \emindex{Numerov-Verfahren} kann man die
erste Ableitung besser Darstellen. Betrachte dazu die Taylorreihe
  \begin{equation}
     u_{\pm 1} = u_0 \pm dx u_0' + {(dx)^2 \over 2} u_0'' \pm
     {(dx)^3 \over 6} u_0''' + \cdots
  \end{equation}
  Bildet man nun $u_1 - u_{-1}$ so findet man
  \begin{equation}
    u_0' = {u_1 - u_{-1} \over 2 dx} - {(dx)^2 \over 6} u_0''' + \cdots
  \end{equation}
  d. h. mit einem Fehler $\Order((dx)^3)$ statt wie "ublich
$\Order((dx)^2)$ bei Approximation mit $u'_0 = {u_1 - u_0 \over dx}$.
Analog kann man f"ur h"ohere Ableitungen verfahren, und so den
\nfindex{Fehler} bei geeigneter Wahl der Koeffizienten minimieren. Man
gewinnt so eine Gr"o{\ss}enordnung!

  \item Keine \emindex{Mittelwertbildung}. Diese w"urde den Algorithmus
stabilisieren

  Man verwende hierzu statt ${\partial u \over \partial t} =
{u^j_{n+1} - u_n^j \over dt}$ besser den \emindex{Mittelwert}, den man
durch die \emindex{Substitution}
\begin{equation}
    u_n^j \rightarrow \einhalb \left( u_n^{j+1} + u_n^{j-1} \right)
\end{equation}
  erh"alt.

  \rem{ Unterschied zur genaueren Ableitung wie bei 1.???}

  \item $dx$ mu{\ss} relativ gro{\ss} gegen $dt$ gew"ahlt werden

  \definition \bfindex{Courant-Bedingung}

St"orungen bleiben nur dann stabil, wenn der Zeitschritt $dt$ kleiner
als der Ausbreitungsschritt $dx \over |v|$ ist.
\end{enumerate}

\beachte Nach der symmetrischen Diskretisierung
\index{Diskretisierung!symmetrische} enth"alt die Gleichung nun drei
Zeitschritte, d. h. f"ur die Berechnung der Zukunft ($n+1$) mu{\ss} man
Gegenwart $n$ und Vergangenheit $n-1$ kennen.  \folgt der erste
Schritt (hier ist nur die Gegenwart bekannt!)  mu{\ss} nach der einfachen
Formel erfolgen, die weiteren dann mit den beiden symmetrischen
Diskretisierungen

\beachte Man kann den Fehler der numerischen Approximation durch
verkleinern der Schrittweite reduzieren.  Dabei w"achst der Aufwand f"ur
die Berechnung in x-Richtung mit $1 \over dx$.  Aus Stabilit"atsgr"unden
mu{\ss} aber dt $\propto {dx}^3$ verkleinert werden!


\section{Zeitabh"angige Sch"ordingergleichung S. 159}

\definition
\begin{itemize}
  \item $\psi(x,t)$: komplexwertige \emindex{Wellenfunktion} eines
Teilchens der Masse $m$
  \item $V'(x)$: \emindex{Potential} in dem sich das
\nfindex{Teilchen} bewegt
  \item $|\psi(x,t)|^2 dx$: \emindex{Wahrscheinlichkeit}, das Teilchen
zur Zeit $t$ in$[x..x+dx]$ zu finden
  \item \emindex{Schr"odingergleichung}
   \begin{equation}
     i \hbar {\partial \psi(x,t) \over \partial t} = - {\hbar \over
     2m} {\partial^2 \psi(x,t) \over \partial x^2} + V'(x) \psi(x,t)
   \end{equation}
Erzeuge dimensionslose Form durch
  \begin{itemize}
    \item skalieren der Zeit und des Ortes mit $t_0$ bzw. $x_0$
    \item Erf"ullung von $\hbar t_0 = 2 m x_0^2$
    \item sei $V(x) {t_0 \over \hbar} = V({x \over x_0})$
    \item Zeit und Ort in Einheiten von $t_0$ bzw. $x_0$ gemessen
  \end{itemize}
  liefert
  \begin{equation}
    i {\partial \psi(x,t) \over \partial t} = H \psi = \left[
    -{\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)\right] \psi(x,t)
  \end{equation}
\end{itemize}

L"osungsans"atze:
\begin{enumerate}
 \item Berechne Eigenzust"ande des station"aren Problems und entwickle
$\psi(x,0)$ nach diesen \folgt \emindex{Reihenentwicklung} f"ur
$\psi(x,t)$
 \item direkte Integration der zeitabh"angigen Gleichung analog den
Solitonen
\end{enumerate}

\subsection{Teilchen im unendlich hohen Kasten}

\begin{itemize}
  \item \nfindex{Potential}
    \begin{equation}
      V(x) = \left\{
      \begin{array}{cll}
        0 & \mbox{f"ur} & -\einhalb \leq x \leq \einhalb \\
        \infty & \mbox{sonst} \\
      \end{array}
      \right.
    \end{equation}
    Dabei: $x$ in Einheiten der Kastenbreite $a$ und die Energie in
Einheiten von ${\hbar^2 \over 2 m a^2}$

  \item \beachte Aus dem Potential ergibt sich die
\emindex{Randbedinung}! Die \nfindex{Wellenfunktion} mu{\ss} am
Potentialrand verschwinden (fest eingespannte Saite).

  \item \nfindex{Energie} $E_n$ der station"aren Zust"ande
\index{Zustand!station"arer} $\psi_n(x)$:
  \begin{eqnarray}
    & E_n = n^2 \pi^2  \mbox{ mit } n=1,2,3\ldots \\
    & \psi_n(x) = \left\{
    \begin{array}{cl}
      \sqrt{2} \cos(n\pi x) & \mbox{f"ur $n$ ungerade}\\
      \sqrt{2} \sin(n\pi x) & \mbox{f"ur $n$ gerade}\\
    \end{array} \right., -\einhalb \leq x \leq \einhalb
  \end{eqnarray}
  \folgt \emindex{stehende Wellen}, deren Betrag sich wie der
mittlere Ort des Teilchens zeitlich nicht "andert

   \item im Kasten hin- und herlaufendes \emindex{Wellenpaket} (d. h.
"uberlagerung von Sinus-Wellen, die nicht notwendigerweise die
eine \nfindex{Wellenl"anger} mit vielfachen der Kastenbreite haben)
\folgt \nfindex{Entwicklung} in \emindex{Eigenfunktionen} der
station"aren Zust"ande:
   \begin{eqnarray}
     \psi(x,t) & = &
     \underbrace{\sum_{m=1}^{\infty}
     \overbrace{c_{2m-1}}^{\mbox{\tiny Entwicklungskoeff.}} \ \
     \overbrace{\exp{(-i \pi^2 (2m-1)^2)t}}^{\mbox{\tiny Zeitentw. =
     Phasenfaktor}} \ \
     \overbrace{\cos((2m-1) \pi x)}^{\mbox{\tiny
     Wellenfunktion}}}_{\psi_u(x,t)} \nonumber \\
     & + & \underbrace{\sum_{m=1}^{\infty} c_{2m} \exp{(-i \pi^2
     (2m)^2)t} \sin(2m \pi x)}_{\psi_g(x,t)}
   \end{eqnarray}
   \folgt \nfindex{Symmetrie} der \nfindex{Basisfunktion}en f"uhrt zur
Zerlegung in geraden und ungeraden Teil.

  \item Jede \nfindex{Eigenfunktion} ist eine "uberlagerung unendlich
vieler stehender Wellen \index{Welle!stehende}, wobei sich bei jeder
der \emindex{Phasenfaktor} mit anderer Geschwindigkeit entwickelt
\folgt \emindex{Interferenz}

   \item Besonderheit der Energien: Jede \nfindex{Frequenz}
$\omega_n = n^2 \pi^2$ ist ein Vielfaches der \nfindex{Grundfrequenz}
$\omega_1 = \pi^2$
   \begin{Folgerungen}
     \item $\psi(x,t)$ ist periodisch in $t$ mit $T={2\pi \over
           \omega}$
     \item nach der Zeit $T$ verschwinden die Interferenzen, das
           \nfindex{Wellenpaket} erscheint im Ausgangszustand.
   \end{Folgerungen}

  \item \beachte f"ur die Phasenfaktoren
  \begin{eqnarray}
    \exp{(-i \pi (2m-1)^2 )} & = & -1 \\
    \exp{(-i \pi (2m)^2}     & = & +1 \\
    \exp{(-i \pi {(2m-1)^2 \over 2} )} & = & -i \\
    etc. \nonumber
  \end{eqnarray}
  \begin{Folgerungen}
    \item $t = \halbe{T} = {1 \over \pi}$:
       \begin{equation}
         \psi(x, \halbe{T}) = -\psi_g(x,0) + \psi_u(x,0) =
         -\psi_g(-x,0) - \psi_u(-x,0) = -\psi(-x,0)
       \end{equation}
       d. h. an der Mittelachse des Kastens gespiegelte
       \nfindex{Anfangsverteilung}
    \item Bewegungsrichtung f"ur $t = \halbe{T} = {1 \over \pi}$: aus
       der \emindex{Stromdichte}
       \begin{equation}
         j(x,t) = i \left( \psi(x,t) {\partial \psi^*(x,t) \over
         \partial x} - \psi^*(x,t)  {\partial \psi(x,t) \over \partial
         x} \right)
       \end{equation}
       folgt durch Einsetzen $j(x,\halbe{T})=-j(-x,0)$, d.h. das
       \nfindex{Wellenpaket l"auft in die entgegengesetzte Richtung}
    \item Auch zu fr"uheren Zeiten entstehen solche einfachen Wellen z.
B. bei ${T \over 4}$ oder \underline{allgemein} f"ur $t = T {p \over
q}$ mit $p, q$ teilerfremd, da dann die Phase h"ochstens $q$
verschiedene Werte annehmen kann, und so die Gesamtwelle aus q
"uberlagerten Einzelwellen besteht. Sind diese glatt, so ist die
resultierende Struktur glatt und einfach.
\end{Folgerungen}

\end{itemize}

\subsection{Algorithmus}

\begin{itemize}

  \item \emindex{Diskretisierung} der \nfindex{Wellenfunktion}
    \begin{equation}
      \psi_n^j = \psi(j dx, n dt)
    \end{equation}
    mit den Schrittweiten $dx$ bzw. $dt$.

  \item Zweite Ableitung mit Fehler $\Order(dx^2)$:
    \begin{equation}
      {\partial^2 \psi \over \partial x^2 } \rightarrow {1 \over dx^2}
      \left( \psi_n^{j+1} - 2\psi_n^j + \psi_n^{j-1} \right)
    \end{equation}

  \item \emindex{Diskretisierung} der zweiten Ableitug:

        \beachte Erhaltung der \bfindex{Gesamtwahrscheinlichkeit}!
    \folgt \emindex{Zeitentwicklungsoperator} mu{\ss} \emindex{unit"ar}
    sein (F"ur die Normierung gilt $1 = \langle a | a \rangle
    \gefordert \langle a | T^\dagger T | a\rangle$ \folgt
Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit \entspr $T^\dagger T
\gefordert 1$, d. h. $T$ unit"ar.)

    L"osung der \nfindex{Schr"odingergleichung} mit dem
    \nfindex{Zeitentwicklungsoperator}
    \begin{equation}
      \psi(x, t + dt) = e^{-i H dt} \psi(x,t)
    \end{equation}

    Schreibt man $e^{-i H dt} \approx 1 - i H dt + \Order(dt^2)$, so
ist das nicht unit"ar, da
    \begin{equation}
    (1 + i H^\dagger dt) (1-i H dt) = 1 - i H dt
    + i H^\dagger dt + H^\dagger H dt^2 \neq 1
    \end{equation}
   Betrachte statt dessen:
   \begin{eqnarray}
     e^{-i H dt} & = & {e^{-i H \halbe{dt}} \over e^{i H \halbe{dt}}}
     \nonumber \\
     & = & \left( 1 + i H \halbe{dt}\right)^{-1} \left( 1 - i H
     \halbe{dt}\right) + \Order(dt^3)
   \end{eqnarray}
   \folgt {\bf Diskretisierte Zeitentwicklung }
   \begin{equation}
     \psi_{n+1}^j = \left( 1 + i H \halbe{dt}\right)^{-1} \left( 1 - i H
     \halbe{dt}\right) \psi_n^j
   \end{equation}

   \item implizite \emindex{Differenzengleichung} zur Bestimmung der
   \nfindex{Wellenfunktion}
   \begin{equation}
     \left( 1 + i H \halbe{dt}\right) \psi_{n+1}^j =
     \left( 1 - i H \halbe{dt}\right) \psi_n^j \label{eq:sgdiffgl}
   \end{equation}

  \item Einsetzen des Hamilton-Operators $H=-{\partial^2 \over
\partial x^2} + V(x)$ und Benutzung von (\ref{eq:sgdiffgl}) liefert
schlie{\ss}lich eine Gleichung der Form ${\bf T} \vec{\psi}_{n+1} = {\bf
\Omega_n}$:
  \begin{eqnarray}
   && \psi_{n+1}^{j+1} + \left( i {2 (dx)^2 \over dt} - (dx)^2 V^j +2
\right)  \psi_{n+1}^{j} + \psi_{n+1}^{j-1} = \nonumber \\
   && - \psi_n^{j+1} + \left( i {2 (dx)^2 \over dx} + (dx)^2
V^j + 2\right) \psi_n^j - \psi_n^{j-1} = \Omega_n^j
\label{eq:omegadef}
\end{eqnarray}
  $\bf T$ hat hierbei \emindex{Tridiagonalgestalt} (Verkn"upfung von
  $\psi_{n+1}^{j+1}, \psi_{n+1}^j, \psi_{n+1}^{j-1}$ mit
  $\psi_{n}^{j+1}, \psi_{n}^j, \psi_{n}^{j-1}$)
\end{itemize}

\subsection{Tridiagonalmatrizen}

Zu l"osen ist ein \emindex{Gleichungssystem} der Form
\begin{equation}
   \psi_{n+1}^{j+1} = a^j \psi_{n+1}^j + b_n^j \label{eq:tridiagdef}
\end{equation}

d. h. $a^j$ ist unabh"angig von $n$, w"arend $b_n^j$ sich aus der
\nfindex{Wellenfunktion} berechnet.

(\ref{eq:omegadef}) kann man schreiben als:

\begin{equation}
  \psi_{n+1}^{j+1} = \Omega_n^j - \left( i {2 (dx)^2 \over dt} - (dx)^2 V^j +2
\right)  \psi_{n+1}^{j} - \psi_{n+1}^{j-1}
\end{equation}

und eingesetzt in (\ref{eq:tridiagdef}) folgt damit

\begin{equation}
  \psi_{n+1}^j = {1 \over 2 + dx^2 V^j - i {2 (dx)^2 \over dt} - a^j}
\left( \psi_{n+1}^{j-1} + b_n^j - \Omega_n^j\right)
\end{equation}

Vergleich mit (\ref{eq:tridiagdef}) wobei $j=j-1$ ergibt dann
Bestimmungsgleichungen f"ur $a^{j-1}$ und $b^{j-1}$, welche man nach
den gesuchten Koeffizienten $a^j$ und $b^j$ aufl"osen kann. Man findet
so

\begin{eqnarray}
  a^j & = & 2 + (dx)^2 V^j - i {2 (dx)^2 \over dt} - {1 \over a^{j-1}}
\\
  b^j & = & \Omega_n^j + {b_n^{j-1} \over a^{j-1}}  \label{eq:brekurs}
\end{eqnarray}

Zur L"osung sind n"otig:
\begin{itemize}
  \item \emindex{Anfangszustand}
  \item \emindex{Randbedingungen}: F"ur ein \nfindex{Teilchen} im
unendlich hohen Kasten also $\psi_n^0 = 0 = \psi_n^J$ (Rand: $x=0$
bzw. $x=1$, St"utzpunktezahl: $J=1+{1 \over dx}$)
\end{itemize}

Einsetzen von $j=1$ in (\ref{eq:omegadef}) liefert die
\emindex{Startwerte}

\begin{eqnarray}
  a^1 & = & 2 + (dx)^2 V^1 - i {2 (dx)^2 \over dt} \\
  b^1_n & = & \Omega_n^1 \label{eq:startwerte}
\end{eqnarray}

Berechnung der \emindex{Wellenfunktion} erfolgt ''von hinten'' durch
\emindex{R"uckw"artsintegration}:

\begin{equation}
  \psi_{n+1}^j = {\psi_{n+1}^{j+1} - b_n^j \over a^j}
\label{eq:wfrekurs}
\end{equation}

\beachte Z"ahlindex f"ur Zeitschritte: n, f"ur Ortsschritte: j

\folgt konkreter Algorithmus

\begin{enumerate}
  \item W"ahle \nfindex{Startzustand} $\psi_0^j$ \folgt $\Omega_0^j$
        aus Gleichung (\ref{eq:omegadef})

  \item Berechne $a^j$ mit dem Startwert aus (\ref{eq:startwerte})

  \item F"ur alle Orte $j$: Berechne $b_n^j$ mit dem Startwert und
        (\ref{eq:brekurs})

  \item (\ref{eq:wfrekurs}) liefert die Wellenfunktion $\psi_{n+1}^j$
f"ur den n"achsten Zeitschritt wobei als Startwert die
\emindex{Randbedinung} am rechten Kastenende $\psi^J_{n+1} = 0$ dient

  \item mit (\ref{eq:omegadef}) \folgt $\Omega_{n+1}^j$

  \item Iteriere Schritt 3 bis 5 f"ur $n=0,1,2,\ldots$

\end{enumerate}

\subsection{Ergebnisse}

\begin{itemize}
   \item Relevante Zeitskalen
   \begin{enumerate}
     \item $T = {2 \over \pi} \approx 0.6366$:
     \nfindex{Welle} kehrt in den Ausganszustand zur"uck (gr"o{\ss}te
     \nfindex{Zeitskala})

     \item Zeit, die das Teilchen ben"otigt, um auf Grund seines
Impulses den Kasten einmal zu durchlaufen: $t_1 = {1 \over 2k}$

     \item Zerflie{\ss}en des Wellenpaketes: Gau{\ss}f"ormiges Wellenpaket der
Breite $\sigma$ hat nach $t$ die Breite $\sigma \sqrt{1 + {t^2
\hbar^2 \over 2 m^2 \sigma^4}}$ \folgt Relevante Skala $t_2$, wenn
diese Breite der Kastenbreite entspricht.

     \item gr"o{\ss}te relevante \emindex{Phasengeschwindigkeit}
     Zur Ermittlung betrachte die Eigenfunktionenentwicklung:
     \begin{eqnarray}
       \psi(x,t) &  = & \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-i n^2 \pi^2 t}
       \sin(n \pi x) =  \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-i n \pi (n \pi t
       \pm x)} \\
       c_n & = & 2 \int_0^1 \sin(n\pi x) \psi(x,0) dx
     \end{eqnarray}
     \folgt \nfindex{Phasengeschwindigkeit} der $n$ten
     \nfindex{Teilwelle}: $v^{Ph}_n = \pm n \pi$
     \folgt Bis zu welchem $n$ liefert $c_n$ einen nennenswerten
     Beitrag?

     Betrachte dazu die \nfindex{fouriertransformierte} (\folgt $x
     \rightarrow k$). Geht man als Ausgangswellenfunktion von einem
\emindex{Gau{\ss}paket} aus, so ist dessen \nfindex{Fouriertransformierte}
wieder ein Gau{\ss}paket, aber mit \underline{inverser} Breite. Man findet
so

     \begin{equation}
       |c_n| \propto \exp\left(-\einhalb \sigma^2 (n \pi - k^2)\right)
     \end{equation}
     Kann noch Amplituden von $1 \over 1000$ der Ausgangsamplitude
darstellen, so findet man damit als Absch"atzung f"ur n ($c_n \propto$
Amplitude):
     \begin{equation}
       -\einhalb \sigma^2 (n \pi - k^2) \leq \ln({1 \over 1000})
     \end{equation}
     \folgt $n_{max} \approx 35, v^{Ph}_n \approx 100$

     Daraus folgt auch eine Absch"atzung f"ur die Schrittweiten $dx$ und
     $dt$: $dx \leq 10^{-3}$ \folgt $dt \leq {dx \over v^{Ph}_max} =
     10^{-5}$
  \end{enumerate}

  \item genauere Absch"atzung der Schrittweite:

  Fordert man, da{\ss} die Integration mindestens f"ur die Dauer einer
Periode korrekt ist, so mu{\ss} man wie folgt vorgehen.
  \begin{itemize}
    \item Exakte Zeitentwicklung der Eigenmoden l"auft mit dem Faktor
          $\exp(-i n^2 \pi^2 l dt)$

    \item benutzte N"aherung (gegeben durch den \nfindex{unit"ar}
          gew"ahlten \nfindex{Zeitentwicklungsoperator}):
      \begin{equation}
       \left( {1 - i {dt \over 2} n^2 \pi^2 \over
       1+  i {dt \over 2} n^2 \pi^2}\right)^l = e^{-i l d\pi}
       \mbox{wobei} d\phi = 2 \arctan\left( \halbe{dt} n^2 \pi \right)
      \end{equation}

     \item Betrag der Differenz unter Benutzung der
           \nfindex{Taylorentwicklung}  von $d\phi$ liefert $\Delta
           \approx {1 \over 12} l (dt n^2 \pi^2)^3$

     \item Fordere $\Delta < \einhalb$ f"ur $l = {T \over dt}$ und $n
           = n_{max}$ \folgt $dt \leq 2 \cdot 10^{-6}$
  \end{itemize}

\end{itemize}

\chapter{Monte-Carlo-Simulationen}

\section{Fraktale Aggregate S. 180}

\section{Perolkation S. 189}

\section{Polymerketten S. 200}

\section{Ising Ferromagnet S. 210}

\begin{itemize}
  \item Zur"uckf"uhren thermischer Eigenschaften auf die Berechnung der
        \emindex{Zustandssumme}
        \begin{equation}
          Z = \sum_{\underline{S}} e^{-{H(\underline{S}) \over k_B T}}
        \end{equation}
        d. h. Z ist Summe aller m"oglichen
\nfindex{Vielteilchenzust"ande} $\underline{S}$ wobei jeder Zustand
entsprechend seiner \nfindex{Energie} $H(\underline{S})$ gewichtet
wird. $T$: \nfindex{Temperatur}, $k_B$: \nfindex{Boltzmann-Konstante}

   \item \emindex{Ising-Modell}: Einfaches \nfindex{Quadratgitter} auf
dessen Gitterpl"atzen Spins mit zwei Einstellm"oglichkeiten sitzen, von
denen benachbarte Spins miteinander wechselwirken.

  \item mathematische Darstellung:
    \begin{itemize}
      \item \nfindex{Gitterplatz}: $i = 1,\ldots,N$
      \item \nfindex{Spinzustand}: $S \in \{+1,-1\}$
      \item \nfindex{Vielteilchenzustand}: $\underline{S}=(S_1, S_2,
\ldots, S_N)$
      \item \nfindex{Nachbarpaare}: $(i,j)_{nn}$
      \item \nfindex{Paar-Wechselwirkungsenergie}: $-J < 0$
      \item \nfindex{Magnetfeld} ("au{\ss}eres): $h$; feldparallele Spins
haben die Energie $-h < 0$
      \item \nfindex{Gesamtenergie}:
       \begin{equation}
         H = -J \sum_{(i,j)_{nn}} S_i S_j - h \sum_i S_i
       \end{equation}
    \end{itemize}

  \item \bfindex{Problem}: Berechnung der \emindex{Zustandssumme}
ben"otigt bei N Spins $2N 2^N$ Berechnungen \folgt auf Superrechnern
w"are maximal etwa ein 3x3x3-Magnet zu berechnen.

  \item \underline{Idee}: Benutze nur einige wenige Zust"ande
$\underline{S}=(S_1,S_2,\ldots,S_N)$ zur Berechnung der
\nfindex{Zustandssumme} \folgt \underline{funktioniert nicht}, da
zuf"allig erzeugte Zust"ande nach dem zentralen \emindex{Grenzwersatz}
eine Energie $H \approx 0 + \Order(\sqrt{N})$ haben, die physikalisch
relevanten Zust"ande aber Energien der Gr"o{\ss}enordnung $\Order(N)$ \folgt
physikalisch relevante Zust"ande werden so nicht erzeugt.

  \item Erzeugung physikalisch relevanter Zust"ande:
  \begin{itemize}
    \item Starte mit Grundkonfiguration $\underline{S}(t=0)$
    \item erzeuge eine Folge $\underline{S}(t), \underline{S}(2),
    \ldots, \underline{S}(t)$, die ins thermische
    \nfindex{Gleichgewicht} \index{Gleichgewicht!thermisches}
    relaxiert
    \item Definiere \emindex{"ubergangswahrscheinlichkeit}
    $W(\underline{S} \rightarrow \underline{S'})$
    \item fordere f"ur die "ubergangswahrscheinlichkeit
    \emindex{detailliertes Gleichgewicht}
    \index{Gleichgewicht!detailliertes} \index{Balance!detailed}
    \index{detailed Balance}, d. h.
    \begin{equation}
      W(\underline{S} \rightarrow \underline{S'})
      e^{-{H(\underline{S}) \over k_B T}} =
      W(\underline{S'} \rightarrow \underline{S})
      e^{-{H(\underline{S'}) \over k_B T}}
    \end{equation}

    Dies folgt aus der Forderung eines {\it station"aren Zustandes}
    \index{Zustand!station"arer} f"ur das thermische Gleichgewicht, da
    \begin{equation}
      P(\underline{S}) = {1 \over Z} e^{-{H(S) \over k_B T}}
    \end{equation}
    die Wahrscheinlichkeit ist, den Zustand $\underline{S}$
    vorzufinden. Die \emindex{Besetzungswahrscheinlichkeit}
    $P(\underline{S})$ "andert sich zeitlich nicht (mathematische
    Beschreibung "uber \emindex{Mastergleichung}, die genau das besagt)

  \end{itemize}

\end{itemize}


%===============Dokument Ende ======================================

\printindex

\end{document}

