% Format:  Latex Orientation:  Portrait
%
% This Document was created using International Codepage 850!
% To use this Document with UNIX-Style systems you've to convert all
% german "Umlaute" to there TEX-Equivalent "a "o "u etc.!
%
% Created using emTeX for OS/2
%
\documentclass[titlepage,12pt,a4paper]{article}

\usepackage{german}
\usepackage{makeidx}
% Seitengr��en definieren
\textheight24cm
\textwidth16.5cm
\topmargin-1.5cm
\oddsidemargin0cm
\evensidemargin0cm
\input{F:/latex/extras.tex}

\title{Zusammenfassung Atomphysik}
\author{Alexander Wagner }
\date{8 Apr 1998 }

\makeindex

% Seitengr��en definieren

\begin{document}


% Titelseite erzeugen
\maketitle

\tableofcontents
\pagebreak

\pagestyle{myheadings}

% Kopfzeilentext rechts
\markright{ }

%============== Dokument Begin =====================================

\section{Grundlagen}

\index{Elektrolyse!Faraday's Gesetz}
\begin{eqnarray}
M = {Q \mu \over F v}
&& \mbox{Faradays Gesetz der Elektrolyse}
\end{eqnarray}

M:  Abgeschiedene Masse, Q:  Geflossene Ladung, $\mu$:  molare Masse,
F=$9.64\cdot 10^4C/mol$:  Faraday-Konstante, v:  Valenz, Wertigkeit

Kraft auf Geladene Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern:

\index{Kr�fte!Geladene Teilchen}
\begin{equation}
F_e = q\cdot E, \;\;\; F_B = q \cdot v \cdot B
\end{equation}

\subsection{Bestimmung der Elementarladung nach Milikan}

\index{Milikan}
\index{Milikan!Elementarladung}
\index{Elementarladung}
\index{Elementarladung!Milikan}
�ltr�pfchenexperiment $\rightarrow$ Wirkende Kr�fte:
\begin {itemize}
\item Gravitation $M\cdot G$
\item Elektrische Kraft $q\cdot E$
\item Stokes'sche Reibung $6\pi \eta r v$
\end{itemize}

Bestimmung der Masse aus der Dichte und dem Radius des Tr�pfchens.

\begin{equation}
q = 6 \pi \eta r \left({R \over D}\right) (v_1 + v_2)
\end{equation}

wobei $v_1$ Abw�rts- und $v_2$ Aufw�rtsgeschwindigkeit, sowie R der
Radius des Tr�pfchens, D der Plattenabsand des Kondensaotors sind.

\subsection{Strahlung schwarzer K�rper}

\index{Strahlungsgesetze}
\index{Stefan-Boltzmann-Gesetz}
\index{Strahlungsgesetze!Stefan-Boltzmann}
\begin{eqnarray}
R = e \sigma T^4 & & \mbox{Stefan-Boltzmann-Gesetz}
\end{eqnarray}

R: abgestrahlte Leistung/Einheitsvolumen, e: Emessivit�t, T:
Temperatur, $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} W/m^2/K^4$:
Stefan-Boltzmann-Konstante

\index{Wiensches Verschiebungsgesetz}
\index{Strahlungsgesetze!Wiensches Verschiebungsgesetz}
\begin{eqnarray}
\lambda_{max} \cdot T = b  && \mbox{Wiensches Verschiebungsgesetz}
\end{eqnarray}

$b=2.898 \cdot 10^{-3}mK$: Wiensche Konstante

\index{Rayleigh-Jeans-Gesetz}
\index{Strahlungsgesetze!Rayleigh-Jeans}
\begin{eqnarray}
\rho(\lambda) = {8\pi \over \lambda^4} k T   &&
\mbox{Rayleigh-Jeans-Gesetz} \rightarrow \mbox{UV-Katastrophe!}
\end{eqnarray}

Ergibt sich aus: Anzahl der stehenden Wellen der Wellenl�ngen
$\lambda$ bis $d\lambda$ im Einheitsvolumen $n={8\pi \over \lambda^4}$
und damit $\rho(\lambda)={8\pi \over \lambda^4}\cdot \overline{E}$,
wobei $\overline{E}$ aus der Thermodynamik folgt nach der f�r
Mittelwerte gilt:

\begin{equation}
\overline{E}={\int_0^{\infty} E e^{-\beta E} dE \over \int_0^{\infty} e^{-\beta E} dE}
= -{d \over d\beta}\left( \log \int_0^{\infty}e^{-\beta E} dE \right)
= k T
\end{equation}

Quantenmechanischer Ansatz nach Planck
\begin{equation}
\overline{E}={\sum_{n=0}^{\infty} n E_0 e^{-\beta n E_0} \over
\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta n E_0}} = -{d \over d\beta}\left( \log
\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta n E} \right) =
{E_0 \over e^{\beta E_0} -1}
\end{equation}

wobei $E_0$ eine kleinste Energieeinheit darstellt f�hrt auf

\index{Planck'sches Strahlungsgesetz}
\index{Strahlungsgesetze!Planck}
\begin{eqnarray}
\rho(\lambda) = {8\pi \over \lambda^4} {E_0 \over e^{\beta E_0} -1}&&
\mbox{Plancksches Strahlungsgesetz}
\end{eqnarray}

Um das Wiensche Gesetz zu erf�llen mu� gelten $E=h\cdot \nu$.  Planck
geht davon aus, da� die Oszillatoren, die er f�r die
Elektromagnetische Strahlung verantwortlich macht nur mit diskreten
Frequenzen schwingen k�nnen.


\subsection{Compton-Effekt}

\index{Compton-Effekt}
\index{Streuexperimente!Compton}
{\em Thomson-Scattering:} Auf Materie einfallendes Licht regt die
Elektronen in der Materie zu Schwinugnen an, die die gleiche Frequenz
besitzen. Die so angeregten Atome strahlen nun mit dieser Frequenz
wieder ab, aber nicht notwendig in die gleiche Richtung. Der Effekt
ist, da� die einfallende Strahlung gestreut wird. (Klassische
Erkl�rung!)

Compton untersuchte diese Art von Streuung und ma� die Intensit�t der
gestreuten Strahlung als Funktion der Wellenl�nge. $\rightarrow$ z. T.
weist die Gestreute Strahlung eine andere Wellenl�nge auf, als die
einfallende Strahlung $\Rightarrow$ {\em Compton-Effekt}

\begin{equation}
\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_0 \propto \sin^2({\theta \over
2})
\end{equation}

wobei $\theta$ Winkel zwischen einfallendem und austretendem Strahl
bedeutet.

Erkl�rung: Es ist relativisische Rechnung n�tig, da die R�ntgenquanten
hohe Energien aufweisen. Es gilt:

\begin{eqnarray}
E = {mc^2 \over \sqrt{1-\left({v\over c}\right)^2}} &&
T = E - mc^2 \\
p = {mv \over \sqrt{1-\left({v\over c}\right)^2}}  &&
E^2 = m^2 c^4 + p^1 c^2 \\
\vec{p_0} = \vec{p_1} + \vec{p_2} &&  \\
\Rightarrow p_2^2 = p_0^2 + p_1^2 - 2 p_0 p_1 \cos(\theta)  &&
\mbox{Impulserhaltung} \\
E_0 + m c^2 = E_1 + \sqrt{m^2 c^4 + p_2^2 c^2)} &&
\mbox{Energieerhaltung}
\end{eqnarray}

Dies f�hrt auf
\begin{equation}
\Delta \lambda = 2 \lambda_C \sin^2\left({\theta \over 2}\right)
\end{equation}

\index{Compton-Wellenl�nge}
wo $\lambda_C = {h \over m c}$ die Compton-Wellenl�nge ist.

Im sichtbaren ist kein Compton-Effekt beobachtbar, da die
Photonenenergie auch gegen�ber lose gebundenen Elektronen immer noch
klein ist. Das vorkommen von Strahlung gleicher Wellenl�nge wie die
einfallende im Streuspektrum kann man auf analoge Weise durch Streuung
dieser Photonen an fest an den Kern gebundenen Elektronen erkl�ren.

\subsection{Die Experimente von Ruterford}

\index{Streuexperimente}
\index{Streuexperimente!Rutherford}
Nachweis, da� Atome �berwiegend aus leerem Raum bestehen, und aus Kern
und Elektronenh�lle aufgebaut sind. Experiment: Durchstrahlen d�nner
Metallfolien mit $\alpha$-Teilchen. Beobachtungen:

\begin{itemize}
\item F�r einen festen Streuwinkel und gleiche Energie ist die Anzahl
der in diesen Raumwinkel gestreuten Partikel proportional der Dicke
der Folie (au�er bei extrem kleinen Streuwinkeln)
\item Ereignisse in $d\Omega \propto {1\over E^2}$ mit E: Energie der
Partikel
\item Ereignisse in $d\Omega \propto {1\over \sin(\theta/2)^4}$ wo
$\theta$ der Streuwinkel ist
\item Ereignisse in $d\Omega \propto Z^2$ mit Z: Ordnungszahl des
Elements der verwendeten Folie
\end{itemize}

\index{Atommodelle}
\index{Atommodelle!Rutherfod}
\index{Postulate!Rutherford}
Annahmen von Rutherford:
\begin{itemize}
\item Atomkern
\item Kern positive Punktladung
\item keine Mehrfachstreuung in der Folie
\end{itemize}

Ergebnis: Rutherfordsches Atommodell analog dem Planetensystem,

\index{Streuquerschnitt!differentieller}
Berechnung des differentiellen Streuquerschnitts:
\begin{equation}
{d\sigma \over d\Omega} = \left( {2 Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0}\right)^2 {1 \over 4 \mu^2 v^4} {1\over
\sin^4(\theta/2)}
\end{equation}

wobei v: relative Geschwindigkeit des $\alpha$-Teilchens und des
Kerns, $\mu$ die reduzierte Masse ist. (Angabe im Schwerpunktssystem!)

\index{Atommodelle!Rutherford, Grenzen}
Grenzen des Rutherford-Modells
\begin{itemize}
\item Keine Erkl�rung der Linienspektren m�glich
\item Ladungen auf Kreisbahnen (beschleunigte Ladungen) strahlen!
$\Rightarrow $Atome w�ren nur ca. $10^{-10}$s stabil
\end{itemize}

\section{Bohrsches Atommodell}

\index{Atommodelle!Bohr}
Grundlagen:
\begin{itemize}
\item Linienspektren der Atome $\leftarrow$ Beobachtungen von
Kirchhoff (Absorptionslinien, Emissionslinien, beide die gleiche
Wellenl�nge, f�r jedes Element charakteristisch, nur diskrete
Linein m�glich...)
\item Balmerformel: $\nu_{ab} = R \left( {1\over n_a^2} -
{1\over n_b^2} \right)$ wobei $n_a, n_b$ ganzzahlig sind, $R =
109677.85 1/cm$: Rydbergkonstante
\item {\em Ritz'sches Kombinationsprinzip}: Existieren zwei Linien
$\nu_{ij}$ und $\nu_{jk}$, so existieren auch die entsprechenden
Linearkombinationen $\nu_{ik}=\nu_{ij}+\nu_{jk}$
\end{itemize}

Annahmen und Postulate von Bohr:
\index{Bohr!Postulate}
\index{Atommodelle! Postulate von Bohr}
\index{Postulate!Bohr}
\begin{itemize}
\item Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen
\item Nur bestimmte Bahnen sind erlaubt ({\em station�re Zust�nde})
\item Elektronen in einem station�ren Zustand strahlen nicht
\item EM-Abstrahlung geschieht durch �berg�nge zwischen station�ren
Zust�nden.
\item Jeder �bergang entspricht einem Photon, so da� f�r die Bahnen
gilt: $h\nu = E_b - E_a$ ({\em Bohr'sche Frequenzrelation})
\item Der Drehimpuls des Elektrons ist gequantelt, es gilt: $L = n
\hbar$
\end{itemize}

Aus

\begin{eqnarray}
{Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r^2} = {m v^2 \over r} & L=mvr=n\hbar
\end{eqnarray}

ergeben sich die Werte f�r v und r und daraus dann das Energieschema
f�r Wasserstoff $E_n = -13,6 eV Z^2 {1\over n^2}$ wo n die
Hauptquantenzahl ist. Den Radius des Elektrons im Grundzustand nennt
man Bohrradius, er betr�gt etwa $a_0 = 5,29 \cdot 10^{-11}$m.

\index{Atommodelle!Bohr, Verbesserungen}
Verbesserungen des urspr�nglichen Modells:
\begin{itemize}
\item Kernmitbewegung (ersetzen der elektronenmasse durch die
reduzierte Masse, dadurch �ndert sich die Rydbergkonstante!)
\item Elliptische Bahnen
\end{itemize}

Hiermit liefert das Bohrmodell gute Ergebnisse f�r leichte Kerne bis
$Z \approx 20$.

Grenzen des Bohrmodells:
\index{Atommodelle!Bohr, Grenzen}
\begin{itemize}
\item Willk�rliche Annahmen (Kreisbahnen)
\item Keine M�glichkeit zur Bestimmung von �bergangsraten
\item Keine Verallgemeinerung auf Mehrelektronenatome m�glich
\item Keine Behandlung ungebundener Systeme
\end{itemize}

\subsection{Atomare Einheiten }

\index{Einheiten!atomare}
\index{Atomare Einheiten}
\begin{itemize}
\item Masseneinheit = Elektronenmasse
\item Drehimpulseinheit = $\hbar$
\item L�ngeneinheit = Bohrradius
\item Ladungseinheit = Elementarladung
\item $\varepsilon_0 = 1/4\pi$.
\item Energieeinheit = $2 E_{Ion}(H)$ = 27.2 eV
\item Geschwindigkeitseinheit = $v_0(H)=\alpha c$ wobei
$\alpha={e^2\over 4\pi \varepsilon_0 \hbar c} = 1/137$ die
Feinstrukturkonstante ist
\end{itemize}

Es gilt also $m=\hbar = e =4\pi \varepsilon_0 = 1$.

\section{Experimente zum Atomaufbau}

\subsection{Franck-Hertz 1914}

\index{Franck-Hertz}
Zeigt die Richtigkeit der Annahme, da� die Elektronenenergieen
quantisiert sind.

Aufbau: In einer evakuierten R�hre befindet sich sehr verd�nntes
Hg-Gas, eine Elektronenquelle (Gl�hkathode), ein Drahtgitter (liegt
auf positivem Potential gegen�ber dem Filament) und hinter dem Gitter
eine Auff�ngerelektrode (liegt auf kleinem positivem Potential zu
Verst�rkung des gemessenen Effekts). Gemessen wird der durch
die Elektronen verursachte flie�ende Strom. Durch das positive Gitter
erhalten die aus der Gl�hkathode austretenden Elektronen eine gewisse
festlegbare kinetische Energie. Beim Sto� mit den Hg-Atomen k�nnen sie
diese an die Atome abgeben, wenn diese entsprechende Anregungsniveaus
besitzen, der gemessene Strom zeigt ein Minimum. Durch regeln der
Gitterspannung kann nun eine Me�reihe aufgenommen werden. An dieser
kann man erkennen, bei welchen Energieen eine Energie�bertragung
m�glich ist. Die Elektronen k�nnen sowohl durch einen Sto� das Hg-Atom
in einen entsprechend hohen angeregten Zustand versetzen (selten) oder
ihre kin. Energie durch entsprechend viele St��e abgeben. Dies f�hrt
zu einem scharfen Einbruch im gemessenen Strom.

\subsection{Mosley 1913}

\index{Mosley}
Mosely fand in der R�ntgenstrahlung neben dem Bremsspektrum
charakteristische Linien, die er als �berg�nge in den inneren Schalen
deutete. Die eintreffenden Elektronen schlagen nach seiner Deutung aus
den innersten Schalen (K, L...) Elektronen heraus und hinterlassen
L�cken, in die dann h�her liegende Elektronen ,,fallen''. Es entstehen
die Linien der charakteristischen R�ntgenstrahlung. Um die
experimentellen Ergebnisse besser widerzugeben f�hrt Mosley eine
{\em effektive Kernladung} $Z_{eff}=Z-\sigma$ ein, die die Abschirmung
des Kerns durch die Elektronen widerspiegelt. Durch seine Experimente
konnte Mosley die Bedeutung von Z als Ladung des Kerns erkennen, und
er konnte zeigen, da� das Bohrmodell die innersten gebundenen
Elektronen gut beschreibt. Er forderte aus seinen Messungen ebenfalls
die Existenz der Elemente 43, 61, 72 und 75, die erst sp�ter entdeckt
wurden.

\subsection{Magnetisches Moment}

\index{Magnetisches Moment}
\index{Moment!magnetisches}
\begin{eqnarray}
\vec{M} = I d\vec{A} = {e v \over 2\pi r} d\vec{A} = \mu_B {\vec{L}
\over \hbar} && \mbox{mag. Moment einer kreisenden Ladung}
\end{eqnarray}

F�r ein System von Elektronen gilt

\begin{equation}
\vec{M} = - g \mu_B {\vec{J} \over \hbar}
\end{equation}

Wirkt ein Magnetfeld auf das Atom, so gilt

\begin{eqnarray}
W = -\vec{M} \cdot \vec{B} &&\mbox{Wechselwirkungsenergie} \\
\Gamma = -\vec{M} \times \vec{B} && \mbox{Drehmoment} \\
\vec{F} = -\nabla W && \mbox{Kraft} \\
\omega_L = {\mu_B \over \hbar} B && \mbox{Lamorfrequenz in konstantem,
homogenen Magnetfeld}
\end{eqnarray}

\subsection{Stern-Gerlach 1922}

\index{Stern-Gerlach}
\index{Spin}
\index{Spin!Elektronen}
Silberatome durchlaufen ein inhomogenes Magnetfeld und werden auf
einem Detektor aufgefangen. Man beobachtet zwei schafe ,,Linien'' auf
denen sich die Silberatome nach dem Magetfeld niederschlagen.
Erkl�rung: Der Spin der Elektronen wechselwirkt mit dem angelegten
Magnetfeld. Da dieses inhomogen ist entsteht eine Kraft auf die Atome,
die diese je nach Spineinstellung (Up/Down) auf die obere oder untere
der beiden Kurven auf dem Schirm lenkt. $\Rightarrow$ Nachweis des
Elektronenspins und seiner Quantisierung in zwei Komponenten. Deutung
mit Hilfe des Elektronendrehimpulses mit den Eigenwerten
$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar $ liefert f�r $l={1\over 2}$, einen
nicht-ganzzahligen Wert.

Erkl�rung: 1925 erkl�ren Goudsmit und Uhlenbeck den Zeemann-Effekt
durch die Annahme, da� das Elektron selbst ein intrinsisches
Drehmoment tr�gt, welches nur zwei Einstellm�glichkeiten besitzt.
Daraus folgt das Postulat, da� dieses Drehmoment durch einen
intrinsischen Drehimpuls hervorgerufen wird: $\rightarrow$ Spin. F�r
die Beobachtung an Silber folgt daraus ein Bahndrehimpuls von 0 und
das hervorrufen des Effekts druch den Spin mit dem Wert $s = {1 \over
2}$.

\section{Quantenmechanische Grundlagen}

\subsection{Welle-Teilchen-Dualismus}

\index{de-Broglie}
\index{Dualismus, Welle Teilchen}
\index{de-Broglie!Formeln}
\begin{eqnarray}
\nu = {E \over h} && \mbox{Frequenz eines Teilchens}   \\
\lambda = {h \over p} && \mbox{de-Broglie-Wellenl�nge} \\
\lambda = {h \over m v} && \mbox{Nichtrelativistisch} \\
\Rightarrow n \lambda = 2 \pi r && \mbox{Bedinung f�r stabile
Bohr-Bahn}\\
\Rightarrow L = h \hbar && \mbox{entspricht Bohrschem Postulat!}
\end{eqnarray}

\index{Davisson}
\index{Germer}
1927: Experimente von Davisson und Germer, die den Wellencharakter des
Elektrons zeigen (Beugung von Elektronen an Kristallgittern).

\begin{eqnarray}
\omega = 2 \pi \nu = {\hbar k^2 \over 2 m} & k = {2 \pi \over \lambda}
& \hbar = {h \over 2\pi} \\
\Rightarrow E = \hbar \omega & p = \hbar k & \mbox{Symmetrische Form}
\end{eqnarray}

\index{Wellenfunktion!freies Teilchen}
\begin{eqnarray}
\Psi(x,t) = A \exp(i (k x - \omega t)) && \mbox{Wellenfunktion eines
freien Teilchens}
\end{eqnarray}

Verallgemeinerung auf 3D:

\index{Wellenfunktion!3D}
\index{Wellenvektor}
\index{k-Vektor}
\begin{eqnarray}
\Psi(\vec{r}, t) = A \exp(i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)) &&
\mbox{Wellenfunktion} \\
\vec{p} = \hbar \vec{k} && \mbox{Wellenvektor und Impuls} \\
|\vec{k}| = k = {|\vec{p}| \over \hbar} = {2\pi \over \lambda} &&
\mbox{Betrag des Wellenvektors} \\
\omega = {E \over \hbar} = {\hbar k^2 \over 2 m} && \mbox{Frequenz} \\
-i\hbar \nabla \Psi = E \Psi && \mbox{Wellenfunktion} \\
E_{op} = i \hbar {\partial \over \partial t} &&
\mbox{Energieoperator \index{Energieoperator}} \\
p_{op} = -i \hbar \nabla && \mbox{Impulsoperator
\index{Impulsoperator}}
\end{eqnarray}


Lokalisierte Teilchen werden durch �berlagerung von Wellen zu einem
Wellenpacket \index{Wellenpaket} beschrieben:

\[
\Psi(x,t) = \underbrace{\sqrt{1 \over 2 \pi \hbar}}_{Normierung}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp{{p_x x - E t} \over \hbar} \phi(p_x) dp_x
\]

Daraus ergibt sich, wenn man $\psi(x) = \Psi(x,0)$ schreibt, da� die
Funktionen $\psi(x)$ und $\phi(x)$ auseinader durch
Fouriertransformation \index{Fouriertransformation} entstehen.
(Dartellung im Orts- ($\Psi$)\index{Ortsraum} und Impulsraum
\index{Impulsraum} ($\Phi$)!). Auch die
Zeitabh�ngigen Funktionen gehen so ineinader �ber.  Daraus folgt die
{\em Heisenbergsche Unsch�rferelation}, eine generelle Eigenschaft der
Fouriertransformation:

\begin{eqnarray}
\Delta x \Delta p \geq \hbar && \mbox{Ort und Impuls} \\
\Delta E \Delta t \geq \hbar && \mbox{Energie und Zeit}
\end{eqnarray}

Eigenschaften der Wellenfunktion:
\index{Wellenfunktionen!Eigenschaften}
\begin{itemize}
\item Betragsquadrat gibt die
Wahrscheinlichkeit\index{Warhscheinlichkeit}, ein Teilchen
an einem bestimmten Ort / mit einem bestimmten Impuls zu finden
\item Normiert
\item Quadratintegrabel
\item Nicht normierbare Wellenfunktionen geben relative
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten \index{Wahrscheinlichkeit!Aufenthalt}
\end{itemize}

\subsection{Erwartungswerte}

\index{Erwartungswert}
\index{Unsch�rfe}
\begin{eqnarray}
\langle A \rangle = \int \Psi^*(\vec{r}, t) \cdot A(\vec{r},\vec{p},t)
\cdot \Psi^*(\vec{r}, t)  d\vec{r} && \mbox{Erwartungswert einer
Observablen}                        \\
\Delta A = \sqrt{\langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle} &&
\mbox{Unsch�rfe von A}
\end{eqnarray}

\subsection{Schr�digergleichung}

\index{Schr�dingergleichung!Gleichung}
\begin{eqnarray}
i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi = \underbrace{-{\hbar^2 \over
2m} \nabla^2}_{={1\over 2m}\vec{p_{op}}^2} \Psi &&
\mbox{f�r ein \underline{freies} Teilchen} \\
i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi = \left( -{\hbar^2 \over 2m}
\nabla^2 + V \right) \Psi  =\underbrace{(T+V)\Psi}_{= H \Psi} &&
\mbox{f�r ein Teilchen im Potential V}
\end{eqnarray}

Eigenschaften:
\index{Schr�digergleichung!Eigenschaften}
\begin{itemize}
\item Linear in t $\Rightarrow$ Superpositionsprinzip
\item Superpositionsprinzip $\Rightarrow$ Wellennatur der Materie
\item Interferenzeffekte der de Broglie-Wellen
\item 1. Ordnung in der Zeit $\Rightarrow$ Angabe des Zustandes zu
einem Zeitpunkt erm�glich die Berechnung zu einem beliebigen anderen
\item H�ngt das Potential nicht explizit von der Zeit ab, dann kann
man zur L�sung die Zeitunabh�ngie Schr�digergleichung benutzen, man
erh�lt station�re L�sungen
\end{itemize}

F�r nicht explizit Zeitabh�ngige Observable gilt:

\[
{d\over dt} \langle A \rangle = \underbrace{\left<{\partial A \over
\partial t} \right>}_{=0} + {1 \over i \hbar} \langle [A,H] \rangle
\]

\subsection{Postulate der Quantenmechanik}

\index{Postulate!Quantenmechanik}
\begin{itemize}
\item Jede dynamische Variable kann durch einen linearen Operator
beschrieben werden \index{Operator}
\item Diese Operatoren sind {\em Selbstadjungiert} oder {\em
Hermitisch} \index{hermitisch} \index{Operator!hermitisch}
\item Die Eigenwerte hermitischer Operatoren sind rell.
\item Jede Messung liefert einen Eigenwert des Operators. Die
Gesamtheit alle Eigenwerte hei�t {\em Spektrum}. \index{Spektrum}
\item Die Eigenfunktionen bilden ein orthogonales System. Bei
entarteten Eigenwerten k�nnen zu diesen orthogonale Funktionen durch
Superposition erzeugt werden, es ergibt sich immer eine orthogonale
Basis.
\item Es gilt das Superpositionsprinzip f�r die Wellenfunktionen, das
besagt, da� jede �berlagerung zweier L�sungen der Schr�dingergleichung
\index{Schr�dingergleichung!Superpositionsprinzip} wieder eine L�sung
ergibt. \index{Superpositionsprinzip}
\item Die Wahrscheinlichkeit \index{Wahrscheinlichkeit} einen Wert $a_n$ zu messen ist
$P_n(t)=|c_n|^2$
\item Jede Wellenfunktion kann als $\Psi = \sum_j c_j
\psi_j$ mit $c_j = \langle \psi_j|\Psi \rangle$ dargestellt werden
\item ${\psi}$ hei�t {\em Repr�sentation} \index{Repr�sentation}
\item Der �bergang von einer Repr�sentation in eine andere geschieht
durch {\em unit�re Transformationen} \index{Transformation!unit�re}
\item L�sung eines Eigenwertproblems geschiet durch Finden einer
unit�ren Transformation, die die Observable diagonalisiert. Die
gesuchten Eigenwerte sind die Diagonalelemente.
\item Sind A und B zwei kommutierende Operatoren, so existiert ein
vollst�ndiger Satz von Eigenfunktionen, und beide Observable sind
simultan me�bar.
\item {\em Bohrsches Korrespondenzprinzip}: Quantenmechanische
Rechnung geht f�r hohe Quantenzahlen in die klassische Rechnung �ber
\item Symetrie: Die Symmetrie eines Teilchensystems bleibt erhalten
\index{Symmetrie}
\item Bosonen: \index{Bosonen} Teilchen mit total symmetrischer
Wellenfunktion = Teilchen mit Spin 0 oder ganzzahligem Spin
(Photonen...) \index{Spin!ganzzahliger} $\Rightarrow$
Bose-Einstein-Statistik \index{Statistik!Bose-Einstein}
\item Fermionen: \index{Fermionen} Teilchen mit total
antisymmetrischer Wellenfunktion = Teilchen mit Halbzahligem Spin
\index{Spin!halbzahliger} $\Rightarrow$ Fermi-Dirac-Statistik
\index{Statistik!Fermi-Dirac}
\end{itemize}

Entwicklung nach Eigenfunktionen:

\index{Entwicklungen}
\begin{eqnarray}
\int \phi^*_{n'}(r) \Psi(r,t) dr = \sum_n c_n(t) \int \phi^*_{n'}(r)
\phi_n(r) dr = \sum_n c_n(t) \delta_{nn'} && \mbox{Entwicklung nach
Eigenfunktionen} \\
\langle f|g \rangle = \int f^*(r) g(r) dr && \mbox{Dirac-Notation
\index{Dirac-Notation}} \\
\langle f|A|g \rangle = \int f^*(r) A g(r) dr && \mbox{Matrixelement
\index{Matrixelement}} \\
\langle A \rangle = \langle \Psi|A|\Psi \rangle = \sum_n |c_n|^2 a_n
&& \mbox{Erwartungswert\index{Erwartungswert}} \\
A \Psi = A \sum_j c_j \psi_j = \sum_j c_j A \psi_j && \mbox{mit }
A_{ij} = \langle \psi_i|A|\psi_j\rangle
\end{eqnarray}

\subsection{Einfache Systeme}

\begin{itemize}
\item Kastenpotential \index{Kastenpotential}
\index{Potential!Kasten}: Eigenwerte $\propto n^2$, Eigenfunktionen:
$\propto A \sin(kx) \,\, k=2,4,6...$ und $\propto B \cos(kx) \,\,
k=1,3,5...$
\item Harmonischer Oszillator \index{Oszillatorpotential}
\index{Potential!Oszillator}: $V(x)={1\over 2}k x^2$, Eigenwerte:
$E_n = \hbar \omega \left( n+{1 \over 2} \right)$ (gleicher Abstand,
Nullpunktsenergie, nicht entartet), Eigenfunktionen: Hermite-Polynome
(Parit�t n \index{Hermit-Polynome} \index{Spez. Funktionen!Hermite}
\end{itemize}

{\em Definition:} Erzeugende Funktion \index{Erzeugende Funktion}

Entwicklung der Erzeugenden in eine Potenzreihe liefert als
Koeffizienten $1\over n!$ mal die gesuchten Funktionen. F�r
Hermitpolynome gilt z. B.:

\begin{eqnarray}
G(\xi, s) = \exp{-s^2 + 2 s \xi} && \mbox{Erzeugende Funktion}\\
G(\xi, s) = \sum_{n=0}^{\infty} {H_n(\xi) \over n!} s^n &&
\mbox{Darstellung mit Hermiten}
\end{eqnarray}

\subsection{Drehimpulse}

\begin{eqnarray}
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} && \mbox{Definition} \\
L_z \Phi(\phi) = m \hbar \Phi(\phi) && \mbox{Eigenwertgleichung} \\
\left[L_z, L^2\right] = 0, \left[L_i, L_j\right] \neq 0 &&
\mbox{Vertauschbarkeit} \\
\Phi_m(\phi) = {1 \over \sqrt{2\pi}} e^{i m \phi} \,\, m=0, \pm 1,
\pm 2,... && \mbox{Eigenfunktionen} \\
L^2 Y_lm(\theta, \phi) = l (l+1) \hbar^2 Y_lm(\theta, \phi) &&
\mbox{Eigenwertgleichung} \\
l = 0, 1, 2,... \,\, m = -l, -l+1, ... l && \mbox{Simultane
Eigenwerte} \\
L_{\pm} = L_x \pm i L_y && \mbox{Leiteroperatoren} \\
L_{\pm} Y_{lm} = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m\pm 1)} Y_{l,m\pm 1} && \\
\end{eqnarray}

Simultane Eigenfunktionen von $L_z$ und $L^2$  hei�en
{\em Kugelfl�chenfunktionen} $Y_lm(\theta, \phi)$.
\index{Kugelfl�chenfunktionen} \index{Spez. Funktionen!Kugelfl�chen}

Spin \index{Spin}: Halbzahliger Drehimpuls, repr�sentiert durch die
{\em Paulimatrizen} \index{Paulimatrizen}.

Eigenschaften der Pauli-Matrizen:\index{Paulimatrizen!Eigenschaften}
\begin{itemize}
\item Diagonal
\item $Tr(\sigma) = 0$
\item $\sigma_i^2 = 1$
\item $\sigma_x \sigma_y = -\sigma_y \sigma_x = i \sigma_z$ etc.
\item $\det(\sigma_i) = -1$
\end{itemize}

F�r Elektronen n einem reinen Spinzustand gilt $\langle S_x\rangle
 = \langle S_y\rangle
 =
0$ und $\langle S_x^2\rangle
 = \langle S_y^2\rangle
 = \pm {\hbar^2 \over 4}$. Veranschaulichung
durch Vektormodell: Spin pr�zediert mit L�nge $\sqrt{3\over 4} \hbar$
um die Z-Ache. Betrachte erlaubte Projektionen.

\subsection{Gesamtdrehmoment} \index{Gesamtdrehmoment}

Setzt sich aus $\vec{L}$ und $\vec{S}$ zusammen: $\vec{J} =\vec{L} +
\vec{S} $. Da der Spin nur im Spinraum, der Drehimpuls nur im
Ortsraum operiert vertauscht der Gesamtdrehimpuls mit allen seien
Komponenten mit r und p. Eigenwertgleichungen

\begin{eqnarray}
\vec{J^2} \psi_{j, m_j} = j(j+1) \hbar^2 \psi_{j, m_j}
J_z \psi_{j, m_j} = m_j \hbar \psi_{j, m_j}
\end{eqnarray}

mit j nichtnegative ganze oder halbzahlig ganze Zahl analog wie beim
Drehimpuls.

\subsection{Zentralpotential}

\index{Zentralpotential} \index{Potential!Zentral-}

Zentralpotential ist sph�risch Symmetrisch $\Rightarrow$ Benutzung
sph�rischer Polarkoordinaten.

Hamiton-Operator:

\begin{eqnarray}
H = -{\hbar^2 \over 2m} \left[ {1\over r^2} {\partial \over \partial
r} \left(r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2
\sin(\theta)} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin(\theta)
{\partial \over \partial \theta} \right) + {1\over r^2 \sin^2(\theta)}
{\partial^2 \over \partial \phi^2} \right] + V(r) = \\
= -{\hbar^2 \over 2m} \left[ {1\over r^2} {\partial \over \partial
r} \left(r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {L^2 \over
\hbar^2 r^2}\right] + V(r)
\end{eqnarray}

Daraus ergeben sich f�r die L�sung des Winkelanteils die
Kugelfl�chenfunktionen (simultane Eigenfunktionen von $L_z$ und
$L^2$).

Durch geeignete Substitution in der Schr�dingergleichung
\index{Schr�dingergleichung} kann man diese auf die Besselsche
Differentialgleichung f�hren.  Diese liefert als L�sungen die {\em
Besslfunktionen} \index{Besselfunktionen} \index{Spez.
Funktionen!Bessel} und ein kontinuierliches Spektrum f�r die
Energieeigenwerte.  Die Wellenfunktionen selbst sind Kugelwellen.
Entwickelt man ebene Wellen in Kugelwellen so sieht man, da� beide
L�sungen �quivalent sind.

Mehrteilchensysteme \index{Mehrteilchensysteme} leiten sich aus
Einteilchensystemen durch Addition der jeweiligen Koordinaten her. F�r
die Vertauschbarkeit gilt, da� die Operatoren eines Teilchens mit
allen eines beliebigen anderen vertauschen.

\subsection{Zweiteilchenproblem}

\begin{eqnarray}
H = {p_1 \over 2 m_1} + {p_2 \over 2 m_2} + V(r_1 - r_2) &&
\mbox{Hamilton-Operator} \\
\mbox{mit } r = r_1 - r_2 \mbox{ und } R = {m_1 r_1 + m_2 r_2 \over
m_1 + m_2} && \mbox{Substitution} \\
\Rightarrow H = -{\hbar^2 \over 2 M} \nabla_R^2 - {\hbar^2 \over 2
\mu } \nabla_r^2 + V(r) && \mbox{Zentralkoordinaten} \\
\Psi(R, r, t) = \Phi(R) \psi(r) \exp{-{i \over \hbar} E_{CM} + E t} &&
\mbox{Separation der Anteile}
\end{eqnarray}

Der Schwerpunkt wird als freies Teilchen der Masse M beschrieben, der
zweite Teil der Schr�dingergleichung \index{Sch�rdingergleichung}
beschreibt die Relativbewegung der Teilchen im Potential V(r).  Obiges
gilt \underline{ohne} Ber�cksichtiung des Spins!  F�r Systeme mit
Spins setzt sich das Gesamtdrehmoment aus der Kopplung der
Einzelmomente zusammen.

Identische Teilchen \index{Teilchen!identische} (z.  B. Elektronen)
setzen voraus, da� der Hamilton-Operator unter Teilchenvertauschung
symetrisch ist, d. h. er mit dem Teilchenvertauschungsoperator
kommutiert.  Au�er f�r den Fall N=2 vertauschen nicht alle N!
Permutationen miteinader, d. h. die Eigenfunktionen des
Hamilton-Operators sind nicht notwendig die Eigenfunktionen aller N!
Vertauschungsoperatoren.  Es existieren aber zwei ausgezeichnete
Zust�nde, f�r die das der Fall ist:  Der {\em total symmetrische}
\index{Zustand!total symmetrischer} und der {\em total
antisymmetrische}\index{Zustand!total antisymmetrischer} Zustand. Es
gilt [P,H] $\Rightarrow$ P ist eine konstante der Bewegung, d. h.
die Symmetrie eines Teilchensystems bleibt erhalten.
\index{Symmetrie!Erhaltung} \index{Erhaltung!Symmetrie}

\subsection{N�herungsverfahren} \index{N�herungsverfahren}

\subsubsection{Zeitunabh�ngige St�rungsrechnung}
\index{N�herungsverfahren!Zeitunabh�ngige St�rungsrechnung}

$\rightarrow$ Behandelt den Einflu� einer kleinen St�rung. Hier:
{\em Rayleigh-Schr�dinger-St�rungstheorie}
\index{N�herungsverfahren!Rayleigh-Schr�dinger}
\index{Rayleigh-Schr�dinger-St�rungstheorie} $\rightarrow$ Bestimmung
der Verschiebung {\em diskreter} Energieniveaus und der zugeh�rigen
Eigenfunktionen

\begin{eqnarray}
H = \underbrace{H_0}_{\mbox{L�sung bekannt}} +
\underbrace{\lambda H'}_{\mbox{kleine St�rung}} &&
\mbox{Hamilton-Operator}
\end{eqnarray}

$\lambda$ dient im folgenden als Parameter f�r die Ordnung der St�rung

\paragraph{Nicht-Entartet}
\index{N�herungsverfahren!Zeitunabh�ngige St�rungsrechnung!Nicht-Entartet}

Bei einer kleinen St�rung kann man H die Wellenfunktion und die
Energieeigenwerte entwickeln:

\begin{eqnarray}
\Psi_k = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \psi_k^{(n)} &&
\mbox{Wellenfunktion} \\
E_k = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n E_k^{(n)} &&
\mbox{Energie}
\end{eqnarray}

wo n die Ordnung der St�rung beschreibt. Damit schreibt sich die
Sch�rdingergleichung:

\begin{equation}
(H_0 + \lambda H') (\psi_k^{(0)} + \lambda \psi_k^{(1)} + \lambda^2
\psi_k^{(1)} + \lambda^3 \psi_k^{(3)} + ... ) = (E_k^{(0)} + \lambda
E_k^{(1)} + \lambda^2 E_k^{(2)} + ...) (\psi_k^{(0)} + \lambda \psi_k^{(1)} + \lambda^2
\psi_k^{(1)} + \lambda^3 \psi_k^{(3)} + ... )
\end{equation}

Sortiert nach gleicher Ordnung in $\lambda$ folgt:

\begin{eqnarray}
H_0 \psi_k^{(0)} = E_k^{(0)} \psi_k^{(0)} && \mbox{ungest�rt} \\
H_0 \psi_k^{(1)} H' \psi_k = E_k \psi_k^{(1)} + E_k^{(1)} \psi_k &&
\mbox{erste Ordnung} \\
H_0 \psi_k^{(2)} H' \psi_k^{(1)} = E_k \psi_k^{(2)} + E_k^{(1)}
\psi_k^{(1)} + E_k^{(2)} \psi_k && \mbox{2. Ordnung} \\
... \nonumber
\end{eqnarray}

Die Energiekorrektur \index{Energiekorrekturen} erh�lt man durch
Multiplikation der Gleichungen mit $\psi^*_k$ von links und
Integration �ber den gesamten Raum (= {\em
Projektion}\index{Projektion} auf die neue Basis!). Man findet

\begin{eqnarray}
E_k^{(1)} = \langle \psi_k | H' | \psi_k \rangle
 = H'_{kk} && \mbox{1. Ordnung} \\
E_k^{(2)} = \langle \psi_k | H'-E_k^{(1)} | \psi_k^{(1)} \rangle
 =
-\langle \psi_k^{(1)} | H_0-E_k | \psi_k^{(1)} \rangle
 && \mbox{2. Ordnung}
\end{eqnarray}

Bestimmung der L�sung nach Rayleigh-Schr�dinger:
\begin{itemize}
\item Bestimmung der L�sung des ungest�rten Systems
\item Entwicklung der L�sungen des gest�rten Systems nach L�sungen des
ungest�rten gem�� $\psi_k^{(1)} = \sum_m a_m^{(1)} \psi_m$ wobei die
Summe f�r den diskreten Teil durch ein Integral f�r den
kontinuierlichen Teil des Spektrums ersetzt wird.
\item Einsetzen der Entwicklung in die Gleichung erster Ordnung
liefert
\begin{equation}
(H_0 - E_k) \sum_m a_m^{(1)} \psi_m + (H' - E_k^{(1)}) \psi_k = 0
\end{equation}
\item Multiplikation der Gleichungen mit $\psi^*_k$ von links und
Integration �ber den gesamten Raum (= {\em Projektion}
\index{Projektion} auf die neue Basis!)  mit Ber�cksichtigung der
Eigenwerte des ungest�rten Systems und der Orthnormalit�t liefert
\begin{equation}
a_l^{(1)} (E_l - E_k) + \langle  \psi_l | H' | \psi_k \rangle
  - E_k^{(1)}
\delta_kl = 0
\end{equation}
\item Bestimmung von $a_k^{(1)}$ aus dieser Gleichung liefert
\begin{equation}
a_l^{(1)} = { H'_{lk} \over E_k - E_l} \mbox{f�r $l \neq k$}
\end{equation}
zusammen mit $\langle \psi_k | \psi_k^{(1)}\rangle
 = 0 = a_k^{(1)}$
\end{itemize}

Damit folgen die endg�ltigen Ergebnisse:
\index{N�herungsverfahren!Zeitunabh�ngige
St�rungsrechnung!Nicht-Entartet, Ergebnisse}

\begin{eqnarray}
|\psi_k^{(1)}\rangle
 = |\psi_k\rangle
 + \sum_{m \neq k} { \langle \psi_m^i | H' |
\psi_k\rangle
 \over E_k - E_m} |\psi_m^i\rangle
 && \mbox{Wellenfunktion} \\
E_k^{(1)} = \langle \psi_k | H' | \psi_k \rangle
 = H'_{kk} &&
\mbox{Energiekorrektur in 1. Ordnung}  \\
E_k^{(2)} = \sum_{m \neq k} { |H'_{mk}|^2 \over E_k - E_m} &&
\mbox{Energiekorrektur 2. Ordnung}
\end{eqnarray}

F�r die Wellenfunktion taucht noch der Index i auf, da es sein kann,
da� das ein anderes Energienieveau als das gerade betrachtete entartet
sein k�nnte.

{\em Die Energiekorrektur in erster Ordnung ist im nichtentarteten
Fall gleich dem Mittelwert der St�rung in den ungest�rten Zust�nden!}

\paragraph{Entartet}
\index{N�herungsverfahren!Zeitunabh�ngige St�rungsrechnung!Entartet}

Problem: F�r einen zu berechnenden gest�rten Zustand existieren
mehrere ungest�rte Wellenfunktionen, man wei� nicht, welcher die
L�sung des gest�rten Zustandes f�r $\lambda \rightarrow 0$ entspricht.

Seien $\psi_{kr}$ die $\alpha$ Wellenfunktionen, die einem
Energieniveau des ungest�rten Systems entsprechen. Diese gen�gen der
Orthogonalit�tsrelation und k�nnen normiert werden, so da� gilt
$\langle \psi_m^i | \psi_m^j = \delta_{ij}$ mit $i, j = 1, 2, 3,...,
\alpha$  Man kann also in dieser Basis arbeiten und erh�lt somit
analog zum nichtentarteten Fall die Wellenfunktion (Wobei i der Index
f�r die entarteten Funktionen ist, also $\psi_k^i$ )

\begin{eqnarray}
|\psi_k^{(1)}\rangle
 = |\psi_k\rangle
 + \sum_{m \neq k} \sum_i { \langle \psi_m^i | H' |
\psi_k\rangle
 \over E_k - E_m} |\psi_m^i\rangle
 && \mbox{Wellenfunktion}
\end{eqnarray}

Die Korrektur in erster Ordnung ist also eine Superposition aller
ungest�rten Zust�nde. D. h. die St�rung verursacht ein Mischen der
ungest�rten Zust�nde untereinader. {\em Generell: Je gr��er die
St�rung, desto gr��er ist die induzierte Kopplung (beschrieben durch
das Matrixelement $\langle \psi_m^i | H' | \psi_k$) und desto n�her das
gest�rte Energienivieau  dem ungest�rten liegt desto st�rker
mischen die Zust�nde.}

Vorgehensweise komplett analog zur nichtentarteten St�rungsrechnung
nur in einem Unterraum der gestr�rten Zust�nde.

Ergebnis:

\begin{eqnarray}
\Psi_{kr} = \chi_{kr} + \lambda \psi_{kr}^{(1)} + \lambda^2
\psi_{kr}^{(2)} +... && \mbox{Gesamtwellenfunktion} \\
E_{kr} = E_k + \lambda E_{kr}^{(1)} + \lambda^2 E_{kr}^{(2)} + ...
&& \mbox{Energie} \\
\mbox{Einsetzen in die Schr�dingergleichung mit} && \\
\chi_{kr} = \sum_{s=1}^{\alpha} c_{rs} \psi_{ks} & r=1..\alpha&
\mbox{ungest�rte L�sung im Unterraum} \\
\psi_{kr}^{(1)} = \sum_m \sum_s a_{kr, ms}^{(1)} \psi_{ms} &&
\mbox{mit Entwicklung nach der Basis}\\
\sum_{s=1}^{\alpha} c_{rs} [\langle \psi_{ku} | H' | \psi_{ks} \rangle
 -
E_{kr}^{(1)} \delta_{us}] = 0 &  u=1..\alpha & \mbox{f�r k=m} \\
\end{eqnarray}

Gleichungssystem aus $\alpha$ Gleichungen, mit eindeutiger L�sung wenn
Determinante = 0.

Aus dieser Rechnung ergibt sich die Bedeutung einer kleinen St�rung
\index{Kleine St�rung!Definition}: Die nicht-diagonal-Matrix-Elemente
des St�roperators H' m�ssen wesentlich kleiner sein als die
zugeh�rigen Energiedifferenzen des ungest�rten Systems.

\subsubsection{Zeitabh�ngige St�rungsrechnung}
\label{sec:Stoerungsrechnung_Zeitabhaengig}
\index{N�herungsverfahren!Zeitabh�ngige St�rungsrechnung}

Betrachte einen Hamilton-Operator:

\begin{equation}
H = \underbrace{H_0}_{\mbox{ungest�rt}} +
\underbrace{\lambda H'(t)}_{\mbox{zeitabh�ngige St�rung}}
\end{equation}

Methode: {\em Dirac's Methode der Variation der Konstanten}
\index{N�herungsverfahren!Dirac-Variation}
\index{Dirac-Variationsrechnung}

Annahmen:
\begin{itemize}
\item Eigenwerte und
\item Eigenfunktionen des ungest�rten Systems
\item Eigenfunktionen bilden ein Vollst�ndiges Orthonormalsystem
\end{itemize}

\begin{eqnarray}
\Rightarrow i\hbar {\partial \Psi_0 \over \partial t} = H_0 \Psi_0
&& \mbox{Zeitabh�ngige Schr�dingergleichung
\index{Sch�rdingergleichung!zeitabh�ngige}} \\
\Psi_0 = \sum_k c_k^{(0)} \psi_k \exp{-i E_k t \over \hbar}
&& \mbox{L�sung des ungest�rten Systems}
\end{eqnarray}

$c_k^{(0)}$: Konstanten, Summe l�uft �ber den gesamten Satz von
Eigenfunktionen. Aus der Vollst�ndigkeit der $\psi_k$ folgt, da� sich
uach die allgemeine L�sung des gest�rten Systems analog nach diesen
entwickeln lassen mu�, allerdings mit Zeitabh�ngigen
Entwicklungskoeffizienten $c_k(t)$. Deren Startwerte bilden obige
$c_k^{(0)}$. Einsetzen der Entwicklung in dei Schr�dingerleichung
\index{Sch�rdingergleichung} liefert:

\begin{equation}
i \hbar \sum_k {d \over dt} c_k^(t) \psi_k \exp{-i E_k t \over \hbar}
= \sum_k c_k^(t) \lambda H' \psi_k \exp{-i E_k t \over \hbar}
\end{equation}

Projektion dieser Beziehung auf die Basis ${\psi_k}$ liefert ein
System gekoppelter Gleichungen. Bisher wurde keine N�herung benutzt,
d. h. dieses Gleichungssystem ist identisch mit der zeitabh�nigen
Schr�dingergleichung \index{Schr�dingergleichung!zeitabh�nige}. F�r
eine kleine St�rung k�nnen nun die Koeffizienten in eine Reihe
entwickelt werden: $c_k = c_k^{(0)} + \lambda c_k^{(1)} + \lambda^2
c_k^{(2)} + ...$. Einsetzen dieser Entwicklung und sortieren nach
gleichen Potenzen von Lambda liefert nun:

\begin{eqnarray}
{d \over dt} c_b^{(0)} = 0 \\
{d \over dt} c_b^{(1)} = {1 \over i\hbar} \sum_k H'_{bk}(t)
e^{i\omega_bk t} c_k^{(0)} \\
{d \over dt} c_b^{(s+1)} = {1 \over i\hbar} \sum_k H'_{bk}(t)
e^{i\omega_bk t} c_k^{(s)} \\
\mbox{mit} H'_{bk} = \langle \psi_b | H'(t) | \psi_k \rangle
 \\
\mbox{und der Bohrfrequenz \index{Bohrfrequenz}} \omega_{bk} = {E_b -
E_k \over \hbar}
\end{eqnarray}

Daraus kann nun prinzipiell die L�sung in jeder Ordnung integriert
werden.  War das System zu Beginn ($t \leq t_0$) in einem
wohldefinierten station�ren Zustand $\psi_a$ der Energie $E_a$, so
gilt vereinfachend $c_k^{(0)} = \delta_{ka}$ f�r diskrete Zust�nde
bzw. f�r kontinuierliche Zust�nde $c_k^{(0)} = \delta(k-a)$ und es
ergibt sich in erster Ordnung vereinfachend

\begin{equation}
c_b^{(1)}(t) = {1\over i \hbar} \int_{t_0}^t H'_{ba}(t') e^{i
\omega_{ba} t'} dt'
\end{equation}

bzw. wenn H' nur insofern Zeitabh�nig ist, da� die St�rung zur Zeit
$t_0$ ein- und zur Zeit $t$ wieder ausgeschaltet wird:

\begin{equation}
c_b^{(1)}(t) = {1\over i \hbar} H'_{ba} \left( e^{i
\omega_{ba} t'} -1 \right)
\end{equation}

Wie �blich gilt f�r die �bergangswahrscheinlichkeit
\index{Wahrscheinlichkeit!�bergang}

\begin{eqnarray}
P_{ba}(t) = |c_b^{(1)}(t)|^2 && \mbox{Allgemein} \\
P_{ba}(t) = {2 \over \hbar} |H'_{ba}|^2 {1-\cos(\omega t) \over
\omega^2} && \mbox{im Spezialfall}
\end{eqnarray}

�bergangswahrscheinlichkeit als Funktion von t:
\begin{itemize}
\item $\omega_{ba} = 0$: �bergangsrate $\propto t^2$, strikte
Energieerhaltung
\item $\omega_{ba} \neq 0$: $F(t, \omega_{ba})$ oszilliert
$\Rightarrow P_{ba}$ oszilliert
\end{itemize}

Betrachte ,,Gruppenzust�nde'' f�r den zweiten Fall, d. h. Zust�nde in
einem gewissen Energieintervall. Sei $\rho_b(E_b)$ Die Zustandsdichte,
so ergibt sich die �bergangsrate durch Integration:

\begin{equation}
P_{ba}(t) = {\hbar \over 2} |H'_{ba}|^2 \rho_b(E_b)
\int_{E_b'-\eta}^{E_b'+\eta} F(t, \omega_{ba}) dE_b
\end{equation}

wobei $\rho(E_b)$ als konstant angenommen wurde (z. B. kleines
Energieintervall aber $\eta \gg {2\pi \hbar \over t}$). Der gr��te
Beitrag zum Integral wird hier durch Energieerhaltende �berg�nge
geliefert, so da� das Integral hierdurch gen�hert werden kann. Es
ergibt sich

\begin{eqnarray}
P_{ba}(t) = {2\pi \over \hbar} |H'_{ba}|^2 \rho_b(E) t && \\
W_{ba} = {dP_{ba}\over dt} = {2\pi \over \hbar} |H'_{ba}|^2 \rho_b(E)
&& \mbox{{\em Fermi's Goldene Regel}\index{Fermi's Goldene Regel}
\index{Fermi!Goldene Regel}}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Variationsrechnung}
\index{N�herungsverfahren!Variationsrechnung}

\begin{equation}
E[\phi] = {\langle \phi | H | \phi\rangle
 \over \langle \phi | \phi\rangle
}
\end{equation}

Wenn $\phi$ eine Eigenfunktion des ungest�rten Systems ist, liefert
$E[\phi]$ den zugeh�rigen Eigenwert. Weiterhin gilt, da� jede Funktion
$\phi$ f�r die das Funktional $E[\phi]$ station�r ist eine
Eigenfunktion ist. Geeignet haupts�chlich f�r numerische Auswertung,
da iteratives Verfahren.


\section{Einelektronenatome}

\begin{eqnarray}
H = {p^2 \over 2 \mu} + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}
&& \mbox{Hamilton-Operator im Schwerpunktssystem} \\
\left[ -{h^2 \over 2 \mu} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4\pi
\varepsilon_0 r} \right]  \psi = E \psi &&
\mbox{Schr�dingergleichung}
\end{eqnarray}

\begin{itemize}
\item Zentralpotential $\Rightarrow$ Separation der Wellenfunktion in
Radial- und Winkelanteil m�glich (Potential ist unabh�ngig von den
Winkeln!).
\item Winkelanteil = Kugelfl�chenfunktionen zu den Quantenzahlen l
und m
\item mit $\psi_{E,l,m}(r, \theta, \phi) = R_{E,l}(r) Y_{lm}(\theta,
\phi )$ gilt f�r die Radialwellenfunktion die Gleichung
\[
\left[ -{\hbar^2 \over 2 \mu} \left[ {1\over r^2}
{d\over dr} \left( r^2 {d\over dr} \right) - {l(l+1)\over r^2}
\right] - {Ze^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r}\right] R_{E,l}(r) = E
R_{E,l}(r) \]
\item Substitution: $u(r)=r R_{E,l}(r)$ f�hrt auf das {\em effektive
Potential} \index{Potential!effektives}
\[
V_{eff}(r) = \underbrace{- {Ze^2 \over 4\pi \varepsilon_0
r}}_{\mbox{Coulombpotential}} + \underbrace{{l(l+1) \hbar^2 \over 2
\mu r^2}}_{\mbox{Zentrifugalbarriere}}
\]
\item $\Rightarrow$ Oszillatorisches Verhalten f�r $E > 0$
\item $\Rightarrow$ Stabile L�sungen f�r $E < 0$
\item Substitutionen:
\begin{eqnarray}
\rho = \sqrt{-{8\mu E \over \hbar^2}} r \\
\lambda = Z \underbrace{e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 \hbar}_{=\alpha
c} \sqrt{\mu c^2 \over 2 E}
\end{eqnarray}
\item L�sung mit Sommerfeld\index{Sommerfeld!L�sungsverfahren}:
   \begin{itemize}
   \item L�sung an den Asymptoten
   \item L�sung an den Polen
   \item Ansatz mit Potenzreihe
   \item Potenzreihe mu� abbrechen
   \end{itemize}
\item $\Rightarrow \lambda = n$ mit n=1,2,...
\item Einsetzen von $\lambda$ liefert die Energieeigenwerte
\index{Wasserstoff!Energieeigenwerte}
\[
E_n = -{e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 a_{\mu} } {Z^2 \over 2 n^2 } = -
{1\over 2} \mu c^2 {(Z\alpha)^2 \over n^2} \]
mit $a_{\mu} = a_0 {m \over \mu}$, $\alpha$ = Feinstrukturkonstante
\item Dieses Ergebnis entspricht exakt dem von Bohr
\item Coulombpotential: Unendliche Anzahl diskreter Energielevel
\item Energieeigenwerte h�ngen nur von n ab $\rightarrow$ n-fache
Entartung in l und m vom Grad $n^2$ (gilt in m f�r alle
Zentralpotentiale, in l nur f�r Coulomb) \index{Entartungsgrad}
\item Entartung in l wird durch Abweichungen in der r-Abh�ngigkeit
aufgehoben
\item Entartung in m wird z. B. durch Magnetfelder aufgehoben
\index{Entartung!Aufhebung}
\item Nomenklatur \index{Nomenklatur}: Hauptquantenzahl als Zahl,
Nebenquantenzahl l als Buchstabe (s, p, d, f, g, h...)
\item Auswahlregeln \index{Auswahlregeln} f�r �berg�nge:
\begin{eqnarray}
\Delta n = n - n' = \mbox{Beliebig} \\
\Delta l = l - l' = \pm 1 \\
\Delta m = m - m' = 0, \pm 1 \\
\Delta j = 0, \pm 1
\end{eqnarray}
\end{itemize}

\subsection{Eigenfunktionen gebundener Zust�nde}

\begin{itemize}
\item Radialwellenfunktion: $\propto L_q^p(\rho)$ = Laguerre-Polynome
\index{Laguerre-Polynome} \index{Spez. Funktionen!Laguerre}
\begin{eqnarray}
R_{nl}(r)=N_{nl}e^{\rho \over 2} \rho^l L_{n+1}^{2l+1}(\rho) \\
\rho = {2 Z \over n a_{\mu}} r
\end{eqnarray}
\item Winkelanteil: Kugelfl�chenfunktionen
\index{Kugelfl�chenfunktionen}\index{Spez. Funktionen!Kugelfl�chen}
\item Wahrscheinlichkeitsdichte unabh�ngig von $\phi$
\item Radialwellenfunktion = Elektronendichte in radialer Richtung
($\propto |R_{nl}|^2$) \index{Radialwellenfunktion}
\item {\em Radiale Verteilungsfunktion} \index{Radiale Verteilungsfunktion}
$D_{nl}=r^2 |R_{nl}|^2$: Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro
Einheitsl�nge das Elektron zwischen r und r+dr zu finden
\index{Aufenthaltswahrscheinlichkeit}
\item Parit�t: \index{Parit�t}
     \begin{enumerate}
     \item Radialwellenfunktion: Wird durch Parit�tsoperator nicht
      ge�ndert
      \item Winkelanteil: Hat die Parit�t von l
      \end{enumerate}
Damit ergeben sich gerade Wellenfunktionen f�r gerades l (=
Parit�tsoperator �ndert die Parit�t \underline{nicht}) und ungerade
Wellenfunktionen f�r ungerades l (= Parit�tsoperator �ndert das
Vorzeichen der Wellenfunktion)
\end{itemize}

Eigenschaften der Radialwellenfunktion:

\begin{enumerate}
\item (Nur) f�r s-Zust�nde (l=0) $\neq 0$ f�r $r=0$ $\Rightarrow$
Aufenthaltswahrscheinlichkeit f�r s-Elektronen im Kern
\item F�r $l\neq 0$ ist $R_{nl} \propto r^l$
\item Die Wellenfunktion hat n Knoten bzw. n-l Maxima
\item F�r maximales l ergibt sich genau ein Maximum der
Radialwellenfunktion. Der Wert ist gleich dem entsprechenden Radius im
Bohr-Modell
\end{enumerate}

\subsection{Erwartungswerte}

\begin{eqnarray}
\langle r \rangle_{nlm} = \int_0^{\infty} |R_{nl}(r)|^2 r^3 dr =
a_{\mu} {n^2
\over Z} \left[1 + {1\over 2} \left( 1 - {l(l+1) \over n^2}\right)
\right] \\
\left< {1\over r} \right>_{nlm} = {Z \over a_{\mu} n^2} \\
\left< {1\over r^2} \right>_{nlm} = {Z^2 \over a_{\mu}^2 n^3
(l+{1\over 2})} \\
\left< {1\over r^3} \right>_{nlm} = {Z^3 \over a_{\mu}^3 n^3
 l(l+{1\over 2})(l+1)}
\end{eqnarray}

\subsection{Exotische Atome}

\begin{itemize}
\item Positronium: Positron + Elektron
\item Myonium: Myon + Elektron
\item Myonische Atome: 2 Myonen oder Myon und normaler Kern
\item Hadronische Atome: Aus Baryonen oder Mesonen aufgebaut
\item Rydberg-Atome: Normale Ionen mit nur einem Elektron, das eine
hohe Hauptquantenzahl besitzt
\end{itemize}

\section{Wechselwirkung mit Elektromagnetischer Strahlung}

M�gliche Wechselwirkungen:

\begin{enumerate}
\item Spontane Emission: �bergang von einem h�heren Energieniveau auf
ein niedrigeres ohne besonderen Anla� \index{Emission!spontane}
\item Stimulierte Emission: �bergang von einem h�hern Niveau auf ein
niedigeres, stimuliert durch Einwirkung eines elektromagnetischen
Feldes. Emissionsrate proportional zur Intensit�t des Feldes.
\index{Emission!stimulierte}
\item Absorption eines Photons aus einem Photonenfeld. Absorptionsrate
proportional zur Intensit�t des Feldes. \index{Absorption}
\end{enumerate}

Eine genaue Beschreibung ist nur mit Hilfe der {\em
Quantenelektrodynamik} \index{Quantenelektrodynamik} m�glich.
{\em Klassische N�herung:} Auch in schwachen Photonenfeldern ist die
Photonenzahl normalerweise schon sehr hoch, so da� man das Feld als
Kontinuum betrachten kann. Dann gelten die �blichen
Maxwell-Gleichungen \index{Maxwell-Gleichungen} der Elektrodynamik.

\subsection{Grundgleichungen}

\begin{eqnarray}
E(r,t) = -\nabla \phi(r,t) - {\partial \over \partial t} A(r,t) &&
\mbox{A: Vektorpotential, erf�llt die Wellengleichung} \\
B(r,t) = \nabla \times A(r,t) &&
\mbox{Magnetfeld} \\
\nabla A = 0 && \mbox {Coulomb-Eichung} \\
\phi = 0 && \mbox {im leeren Raum} \\
\vec{A}(r,t) = \int_{\Delta \omega} A_0(\omega) \hat{\varepsilon}
[\exp{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t + \delta_{\omega})+ c.c.]} &&
\hat{\varepsilon}\mbox{: Polarisation} \\
P = {E \times B \over \mu_0} &&
\mbox{Pointingvektor = Energieflu� pro Einheitsfl�che
\index{Pointingvektor}} \\
H = {1 \over 2m} (\vec{p}-q\vec{A})^2 + q \phi &&
\mbox{Hamilton f�r geladenes Spinloses Teilchen im Feld} \\
i\hbar {\partial \over \partial t} \Psi(r,t) =
\left[{1\over 2m} (-i \hbar \nabla + e A)^2 - {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0 r} \right] \Psi(r,t) &&
\mbox{Wechselwirkung mit EM-Feld = St�rung}\\
\left[ ... \right] = \left[ -p^2 - {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0 r} - {i \hbar e \over m} \vec{A} \cdot \nabla +
{e^2 \over 2m} A^2 \right] && \mbox{aus Coulombeichung!} \\
H'(t) ) = -{i \hbar e \over m } \vec{A} \cdot \nabla &&
\mbox{St�roperator} \\
\end{eqnarray}

F�r Geladene Teilchen im Elektromagnetischen-Feld:

\begin{itemize}
\item Ber�cksichtigung des Kerns kann vernachl�ssigt werden, solange
$M_{Kern} \gg m_{e^-}$
\item aus gleichem Grund Vernachl�ssgung der reduzierten Masse
\item $A^2$ wird vernachl�ssigt obwohl die Photonendichte hoch genug
sein soll, um das Feld als Kontinuierlich betrachten zu k�nnen.
\item Das ist gleichwertig mit der Annahme, da� pro Zeit nur ein
Photon absorbiert oder emittiert wird (falsch in gro�en koh�renten
Feldern, z. B. Laser!)
\item L�sung mit Zeitabh�ngiger St�rungsrechnung. Ansatz:
\begin{eqnarray}
\Psi = \sum_k c_k(t) \psi_k(r) e^{-i E_k t \over \hbar}
&& \mbox{Entwicklung} \\
c_k(t\leq 0) = \delta_{ka} && \mbox{Anfangszustand} \\
c_b^{(1)}(t) = -{e \over m } \int_0^t \langle \psi_b | A \cdot \nabla |
\psi_a\rangle e^{i \omega_{ba} t'} dt' && \mbox{1. Ordnung, wobei} \\
\omega_{bk} {E_b - E_k \over \hbar} && \mbox{Bohrfrequenz
\index{Bohrfrequenz}}
\end{eqnarray}
\item Einsetzen der Grundgleichungen liefert:
\begin{eqnarray}
c_b^{(1)}(t)  & =  - {e \over m} \int_{\Delta \omega} d\omega
A_0(\omega) \\
& [ e^{i\delta_{\omega}} \langle \psi_b | e^{i k\cdot r}
\hat{\varepsilon} \cdot \nabla | \psi_a \rangle
\int_0^t dt' e^{i (\omega_{ba} - \omega) t'} 23 +  \\
& e^{i\delta_{\omega}} \langle \psi_b | e^{-i k\cdot r}
\hat{\varepsilon} \cdot \nabla | \psi_a \rangle
\int_0^t dt' e^{i (\omega_{ba} + \omega) t'} ]
\end{eqnarray}
    \begin{itemize}
    \item 1. Zeitintegral ist vernachl�ssigbar au�er f�r
    $\omega_{ba} = \omega$  oder $E_b = E_a + \hbar \omega$
    $\Rightarrow$ Absorption \index{Absorption}
    \item 2. Zeitintegral ist vernachl�ssigbar au�er f�r
    $\omega_{ba} = -\omega$  oder $E_b = E_a - \hbar \omega$
    $\Rightarrow$ Emission \index{Emission}
    \end{itemize}
\item Details zu Absorption und Emission s. a. {\em Zeitabh�ngige
St�rungsrechnung} (\ref{sec:Stoerungsrechnung_Zeitabhaengig}).
\item Raten: Absorptionsrate = stimulierter Emissionsrate
\item {\em Stimulierte Emission ist die exakte Umkehrung der
Absorption}:
\begin{equation}
W_{ba} = {4 \pi^2 \over m^2 c} \left( {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0}
\right) {I(\omega_{ba})\over \omega_{ba}^2} |M_{ba}|^2
\end{equation}
mit dem {\em Matrixelement} \index{Matrixelement} $M_{ba} =
\langle \psi_b | e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} \varepsilon \cdot \nabla |
\psi_a\rangle  $ mit $\psi_b, \psi_a$ End- und Anfangszustand des �bergangs.
\item {\em Gleichgewichtsprinzip} \index{Gleichgewichtsprinzip}: In einem Atomsample im
Gleichgewicht finden genauso viele Absorptionen wie simulierte
Emissionen statt.
\item Wirkungsquerschnitte: Rate durch Intensit�t
\index{Wirkungsquerschnitt}
\item Intensit�t der stimulierten Emission normalerweise geringer als
die der Absorption, da der niedrigere Energielevel st�rker bev�lkert
ist, als der hohe (Boltzmannfaktor \index{Boltzmannfaktor}).
$\Rightarrow$ Besetzungsinversion f�r Laser und Maser
\index{Besetzungsinversion} \index{Laser} \index{Maser}
\item Spontane Vorg�nge m�ssen durch die {\em Quantenelektrodynamik}
beschrieben werden. \index{Quantenelektrodynamik}
\end{itemize}

\subsection{Dipoln�herung}

Die Dipoln�herung entsteht, wenn man das �bergangsmatrixelement in
eine Reihe entwicket. Es gilt:

\begin{equation}
e^{i i\vec{k}\cdot \vec{r}} = 1 + (i \vec{k}\cdot \vec{r}) + {1 \over
2!} (i \vec{k}\cdot \vec{r})^2 + ...
\end{equation}

F�r optische �berg�nge ist $kr$ sehr klein f�r $r < 10^{-10}$m
(Atomdurchmesser). Man kann die Exponentialfunktion dann durch 1
n�hern, es entsteht die {\em Dipoln�herung} \index{Dipoln�herung} mit
dem zugeh�rigen {\em Dipolmatrixelement} \index{Dipolmatrixelement}.
F�r zunehmende Freqenz wird diese N�herung immer schlechter, f�r
R�ntgenstrahlung ist sie nicht mehr anwendbar.

\begin{eqnarray}
\vec{D} = -e \vec{r} && \mbox{Dipolmoment (el.)} \\
\vec{D_{ba}} = -e \vec{r_{ba}} && \mbox{Dipolmatrixelement, wobei} \\
\vec{r_{ba}} = \langle \psi_b | r | \psi_a\rangle  && \\
W_{ba} = {4 \pi^2 \over c \hbar^2} \left( {1 \over 4\pi \varepsilon_0}
\right) I(\omega_{ba}) |\hat{\varepsilon} D_{ba}|^2 &&
\mbox{�bergangsrate in Dipoln�herung}
\end{eqnarray}

\begin{itemize}
\item F�r erlaubte �berg�nge verschwindet das Dipolmatrixelement nicht
\item H�here Entwicklungsterme der Exponentialfunktion entsprechen
Quadrupol... �berg�ngen
\item Auch bei verschwindendem Dipolmoment k�nnen h�here �berg�nge
erlaubt sein
\item Verschwindet das �bergangsmatrixelement $M_{ba}$ ist der
�bergang strickt verboten, kann aber �ber {\em Mehrphotonenprozesse}
stattfinden \index{Mehrphotonenprozesse}
\item $\hat{\varepsilon} \cdot D_{ba}$ ist die Komponente von D in
Richtung der Polarisation. $\Rightarrow \hat{\varepsilon} \cdot
D_{ba} = D_{ba} \cos^2(\theta)$.
\item Bei unpolarisierter Strahlung gilt der Mittelwert �ber alle
$\theta$, so da� $\cos^2(\theta) \rightarrow {1\over 3}$
\item {\em Einsteinkoeffizienten} \index{Einsteinkoeffizienten}
beschreiben die �bergangswahrscheinlichkeit. Mit der Energiedichte
$\rho$ gilt:
\begin{eqnarray}
{d \over dt} N_{ba} = \underbrace{B_ba}_{Einsteinkoeff.} N_a \rho &&
\mbox{mit der Besetzungszahl $N_a$} \\
B_{ba} = {W_{ba} \over \rho} && \mbox{Einsteinkoeffizient der
Absorption} \\
{d \over dt} N_{ab} = A_{ab} N_b + B_{ab} N_b \rho &&
\mbox{spontane �berg�nge} \\
B_{ba} = B_{ab} && \\
A_{ab} = {\hbar \omega_{ba}^3 \over \pi^2 c^3} B_{ab} &&
\end{eqnarray}
\end{itemize}

\subsection{Dipol�berg�nge und Auswahlregeln}
\index{Dipol�berg�nge} \index{Auswahlregeln}

\begin{itemize}
\item Dipol�berg�nge sind nur zwischen Zust�nden verschiedener Parit�t
m�glich
\item Magnetische Quantenzahl
    \begin{itemize}
    \item $\Delta m = 0$ nur wenn Polarisation in z-Richtung
    \item $\Delta m = \pm 1$ wenn Ausbreitung in z-Richtung
    \end{itemize}
\item Drehimpulsquantenzahl $\Delta l = \pm 1$
\item Spin: Dipoloperator unabh�nig vom Spin, $\Rightarrow \Delta s =
0$
\item Photonen haben negative Parit�t und Spin $\pm 1$
\end{itemize}

Ist ein �bergang in elektrischer Dipoln�herung verboten, kann er als
magnetischer Dipol�bergang erlaubt sein. Hier gelten die
Auswahlregeln:

\begin{itemize}
\item $\Delta l = 0$
\item $\Delta j = 0, \pm 1$
\item $\Delta m_j = 0, \pm 1$
\item Parit�t bleibt erhalten
\end{itemize}

Elektrischer Quadrupol�bergang:

\begin{itemize}
\item $\Delta l = 0, \pm 2$ aber f�r $l = 0$ ist $l' = 0$ verboten
\item $\Delta m = 0, \pm 1, \pm 2$
\item Parit�t bleibt erhalten
\end{itemize}

\subsection{Lebensdauern und Linienintensit�ten}

\begin{eqnarray}
f_{ka} = {2 m \omega_{ka} \over 3 \hbar} |r_{ka}|^2 &&
\mbox{Oszillatorst�rke} \\
\mbox{wobei: } \omega_{ka} = {E_k - E_a \over \hbar} &&
\mbox{Bohrfrequenz} \\
\sum_k f_{ka} = 1 && \mbox{Summenregel von Thomas, Reiche,
Kuhn \index{Summenregel}} \\
W_{ka}^s = {2 \omega_{ka}^2 \over m c^3} \left( {e^2 \over 4
\pi \varepsilon_0} \right) |f_ka| && \mbox{spontane �bbergangsrate
in Dipoln�herung} \\
{d\over dt} N(t) = -(t) \sum_k W_{kb}^s && \mbox{�nderung der
angeregten Atome pro Zeit} \\
\Rightarrow N(t) = N(0) e^{-t/\tau} & {1 \over \tau} = \sum_k W_{kb}^s
& \mbox {Lebensdauer $\tau$ \index{Lebensdauer}} \\
\tau(Z) = {1\over Z^4} \tau(Z=1) &&
\mbox{Lebensdauer abh�ngig von Z} \\
\end{eqnarray}

Linienform:

\begin{itemize}
\item Kann nicht beliebig scharf sein, wegen der begrezten Lebensdauer
\item Linie kann wegen der Unsch�rfe nicht beliebig scharf sein
\item Linienbreite: $\Gamma = {\hbar \over \tau}$
\index{Linienbreite}
\item Linienform: Lorentzkurve \index{Lorentzkurve}
\begin{equation}
f(\omega) = {\Gamma^2 \over 4\hbar ^2 \left[(\omega - \omega_{ba})^2 +
\Gamma^2 \over 4 \hbar^2 \right]}
\end{equation}
\item $\Gamma \over \hbar$: Breite der ganzen Kurve bei halber H�he,
gemessen von - nach + \index{Linienbreite}
\item Die nat�rliche Lineinbreite ist sehr schmall (z. B. H,
2p $\rightarrow$ 1s: $3.32\cdot 10^{-3} {1\over cm}$) und wird
normalerweise durch andere Effekte �berlagert
\item Linienverbreiterung \index{Linienverbreiterung}:
      \begin{itemize}
      \item Druck: \index{Linienverbreiterung!Druck} Durch St��e
      �ndert sich die Wahrscheinlichkeit, da� ein  Atom aus dem
      angeregten in den Grundzustand �bergeht, die Lebensdauer nimmt
      ab, die Linie wird breiter
      \item Dopplerverbreiterung \index{Linienverbreiterung!Doppler}
      Dopplerverschiebung der emittierten Wellenl�nge durch die
      Bewegung des Atoms: $\lambda = \lambda_0 \left( 1 \pm
      {v_x \over c}\right)$ mit Maxwellscher
      Geschwindigkeitsverteilung $dN(v_x) = N_0 \exp\left({-M v_x^2
      \over 2 k_B T } \right)dv_x$. Breite der Kurve: $\Delta \nu =
      {2 \nu_0 \over c} \sqrt{{2 k_B T \ln(2) \over M}}$
      \end{itemize}
\end{itemize}

\subsection {Photoeffekt}
\index{Photoeffekt} \index{Effekt!Photo}

Charakteristische Beobachtungen:
\begin{itemize}
\item Minimale Frequenz unterhalb der kein Photoeffekt beobachtet wird
\item Elektronen treten mit verschiendenen Geschwindigkeiten aus, die
Obergrenze ist direkt proportional der Frequenz der einfallenden
Strahlung, unabh�nig von ihrer Intensit�t
\item F�r eine festgelegte Frequenz ist die Anzahl der ausgel�sen
Elektronen proportional zur Intensit�t der einfallenden Strahlung
\item Die Emission setzt sofort ein, es gibt keine Verz�gerung
\end{itemize}

Einsteins Deutung:  Nicht nur die Oszillatoren, die die
elektromagnetische Strahlung hervorrufen haben gequantelte
Schwingungsfrequezen, sondern das {\em elektromagnetische Feld} selbst
ist in {\em Photonen} gequantelt.

\begin{eqnarray}
E = h \cdot \nu = h {c \over \lambda} &&
\mbox{Energie eines Lichtquants}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\hbar \omega + E_{i} = {\hbar^2 k_f^2 \over 2m} &&
\mbox{Energieerhaltung (nichtrelativistisch)} \\
\left( {\hbar \over 2m}\nabla^2 - {Ze^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} -
{\hbar^2 k_f^2 \over 2 m} \right) \psi_f(k_f, r) = 0 &&
\mbox{Wellenfunktion des Endzustandes}
\end{eqnarray}

F�r gen�gend hohe Energieen kann die Wechselwirkung der Wellenfunktion
mit dem Kern vernachl�ssigt werden. Dann ergibt sich f�r den
Wirkungsquerschnitt \index{Wirkungsquerschnitt} durch aufsummieren
�ber alle kontinuierlichen Zust�nde

\begin{equation}
\sigma = {4 \pi^2 \alpha \hbar^2 \over m^2 \omega} \rho_b \int
|M_{ba}|^2 d\Omega
\end{equation}

mit $\Omega$ = Winkelkoordinaten des Elektrons. Nach einiger Rechnung
folgt schlie�lich

\begin{equation}
\sigma = {16 \sqrt{2} \pi \over 3} \alpha^8 Z^5 \left( {m c^2 \over
\hbar \omega}  \right)^{7\over 2} a_0^2
\end{equation}

\section{Einelektronenatome: Spektren (Details)}

\begin{itemize}
\item Details in den Spektren (Feinstruktur, Hyperfeinstruktur)
\index{Feinstruktur} \index{Hyperfeinstruktur} sind relativistische
Effekte
\item Schr�dingergleichung nichtrelativistisch, da nicht
{\em lorentzinvariant} \index{Lorenzinvarianz}
\item $\Rightarrow$ Strenge L�sung �ber Dirac-Gleichung,
N�herungsl�sungen durch St�rungstheorie
\item St�rungrechnung wird schlecht f�r hohe Z
\end{itemize}

Korrekturterme f�r den Hamilton-Operator:

\begin{eqnarray}
H_0 = {p^2 \over 2m} - {Z e^1 \over 4 \pi \varepsilon_0 r} &&
\mbox{Ungest�rter Hamilton} \\
H_1' = - {p^4 \over 8 m^3 c^2} &&
\mbox{Relativistische Energiekorrektur  \index{Relativistische
Energiekorrektur}} \\
H_2' = {1 \over 2 m^2 c^2} {1 \over r} {dV \over dr} \vec{L} \cdot
\vec{S} && \mbox{Spin-Bahn-Kopplung \index{Spin-Bahn-Kopplung}} \\
H_3' = {\pi \hbar^2 \over 2 m^2 c^2} \left( {Ze^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0} \right) \delta(\vec{r}) &&
\mbox{Darwin-Term \index{Darwin-Term}}
\end{eqnarray}

Ber�cksichtigung des Spins bei den Wellenfunktionen:

Da der Hamilton-Operator $H_0$ nicht auf die Spin-Funktionen wirkt,
kann die Wellenfunktion separiert werden. Ber�cksichtigung des Spins
geschieht durch einfache Multiplikation der Wellenfuktionen einem
Spinor $\chi_{{1\over 2}, ms}(r)$ wodurch ein Zweiervektor von
Wellenfunktionen entsteht. Der Zustand eines Atoms wird nun durch 4
Quantenzahlen festgelegt: $n, l, m_l, m_s$, der Grundzustand des
Wasserstoffatoms ist bei Ber�cksichtigung des Spins nicht mehr
$n^2$-fach entartet sondern $2 n^2$-fach.

\subsection{Energieverschiebungen}

\subsubsection{$H_1' = - {p^4 \over 8m^3 c^2}$ (relativistische
Korrektur)}

\index{Relativistische Energiekorrektur}

\begin{itemize}
\item Entartete St�rungsrechnung n�tig
\item $H_1'$ operiert nicht auf den Spinvariablen
\item $H_1'$ kommutiert mit den Bahndrehimpulskomponenten
\item Energiekorrektur in 1. Ordnung
\begin{equation}
\Delta E_1 = \left< \psi_{nlm_l} |  - {p^4 \over 8m^3 c^2} |
\psi_{nlm_l}\right\rangle  = - {1 \over 2mc^2} \langle  \psi_{nlm_l} |
T^2 | \psi_{nlm_l}\rangle
\end{equation}
wo T die kinetische Energie ist: $T = H_0 + {Z e^2 \over 4\pi
\varepsilon_0 r}$
\item Einsetzen von T liefert:
\begin{eqnarray}
\Delta E_1 = - {1 \over 2mc^2} \left< \psi_{nlm_l}
| \left( H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right) \cdot
  \left( H_0 + {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right) |
\psi_{nlm_l}\right> && \mbox{mit Eigenwerten} \\
\Rightarrow - {1 \over 2mc^2}
\left[ E_n^2 + 2 E_n
\left( {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right)
\left< {1\over r} \right>_{nlm_l} +
\left( {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0 r} \right)^2
\left< {1\over r^2} \right>
\right] && \\
\end{eqnarray}
\item Einsetzen der Energiewerte f�r das ungest�rte H-Atom liefert:
\begin{equation}
\Delta E_1 = -E_n {(Z \alpha)^2 \over n^2} \left[ {3\over 4}- {n
\over l + {1\over 2}} \right]
\end{equation}
\end{itemize}

\subsubsection{$H_2' = {1 \over 2 m^2 c^2} {1 \over r} {dV \over dr} \vec{L} \cdot
\vec{S}$ (Spin-Bahn-Kopplung)}

\index{Spin-Bahn-Kopplung}

\begin{eqnarray}
H_2' = \xi L \cdot S && \mbox{Substitutions} \\
\mbox{mit: } \xi = {1 \over 2m^2 c^2} {1\over r} {dV \over dr} =
\underbrace{{1 \over 2m^2 c^2} {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0
r^3}}_{\mbox{f�r Coulombpotential}}
\end{eqnarray}

Da $L^2$ nicht auf r operiert kommutiet es mit allen Komponenten von L
und auch mit $H_2'$, $H_2'$ verbindet also keine Zust�nde
mit verschiednen Drehimpulsquantenzahlen l. Man mu� zur L�sung also
eine $2(2l+1) \times 2(2l+1)$-Matrix diagonalisieren. Zur
Vereinfachung benutzt man eine Darstellung der Wellenfunktionen in
einer Basis in der $L \cdot S$ bereits diagonal ist.

$\Rightarrow$ Einf�hrung des Gesamtdrehimpulses
\begin{eqnarray}
J= L + S  && \mbox {Gesamtdrehimpuls} \\
J^2 = L^2 + S^2 + 2 L\cdot S && \mbox{und daraus} \\
L\cdot S = {1\over 2} (J^2 -L^2 -S^2) && \\
\mbox{mit den Eigenwerten:} && \\
J^2 \rightarrow j(j+1)\hbar^2 && \\
L^2 \rightarrow l(l+1)\hbar^2 && \\
S^2 \rightarrow s(s+1)\hbar^2 && \\
m \rightarrow m_j\hbar && \\
\mbox{bzw. hier mit Spin $1 \over 2$} && \\
j = l \pm {1 \over 2} && l \neq 0 \\
j = {1\over 2} && l = 0 \\
\end{eqnarray}

In der neuen Basis ist die St�rung bereits diagonal, die zugeh�rigen
Wellenfunktionen erg�ben sich mit Hilfe der
Clebsch-Gordon-Koeffizienten zu

\begin{equation}
|n l s j m_j\rangle  = \sum_{m_l, m_s} \underbrace{\langle l s m_l m_s|j
m_j\rangle }_{\mbox{Clebsch-Gordon}} |n l s m_l m_s\rangle
\end{equation}

Da in dieser Basis die St�rung $H_2'$ bereits diagonal ist gilt f�r
die Energieverschiebung:

\begin{eqnarray}
\Delta E_2 = \left< \psi_{nljm_j} | {1\over 2} \xi [J^2 - L^2 - S^2] |
\psi_{nljm_j} \right> = && \\
= {\hbar^2 \over 2} \left< \xi \right> \left[ j(j+1) - l(l+1) -
\underbrace{s(s+1)}_{={3\over 4}} \right] && \\
\langle \xi\rangle  = {1 \over 2 m^2 c^2} \left( {Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0}
\right) \left< {1 \over r^3} \right>
\end{eqnarray}

{\em F�r l=0 verschwindet die Spin-Bahn-Wechselwirkung, die
Energiekorrektur ist 0. }

\subsubsection{$H_3' = {\pi \hbar^2 \over 2 m^2 c^2} \left( {Ze^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0} \right) \delta(\vec{r})$ (Darwin-Term)}

\index{Darwin-Term}

\begin{itemize}
\item operiert nicht auf dem Spin
\item ist diagonal in $l, m_l, m_s$
\item tritt nur auf wenn l=0
\end{itemize}

\begin{eqnarray}
\Delta E_3 = {\pi \hbar^2 \over 2 m^2 c^2} {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0} \langle \psi_{n00} | \delta(r) | \psi_{n00} = && \\
{\pi \hbar^2 \over 2 m^2 c^2} {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0} |\psi_{n00}|^2 && \\
= -E_n {Z\alpha^2 \over n}    && \\
\end{eqnarray}

\subsubsection{Linienspektren}

\begin{itemize}
\item Feinstruktur: \index{Feinstruktur} Durch die verschiedenen
j-Werte hervorgerufene Linienaufspaltung.
\item Beim H-Atom: Alle drei St�rungen haben in etwa gleichen Einflu�
\item Bei h�heren Z: Spin-Bahn-Kopplung ist wesentlich gr��er als die
anderen Terme.
\item Dirac-Theorie: Terme mit gleichem n und j aber verschiedenen l
haben die gleiche Energie
\item Parit�t bleibt $(-1)^l \Rightarrow$ immer zwei Serien
\item Obwohl alle St�rungen von l abh�ngen tut dies die gesamte
Energieverschiebung nicht
\item Energieaufspaltung eines Multiplets ist $\propto {Z^4 \over
n^4}$
\end{itemize}

\subsection{Zeemann-Effekt (1866)}
\index{Zeemann-Effekt} \index{Effekt!Zeemann}

Grundlage: Wechselwirkung des Atoms mit statischen magnetischen
Feldern $\Rightarrow$ Aufspaltung der Linien im Feld
\index{Feld!Magnetisches}

\begin{eqnarray}
A = {1\over 2} B \times r && \mbox{Vektorpotential}       \\
B = \nabla \times A       && \mbox{Statisches Magnetfeld} \\
\underbrace{-{i \hbar e \over m} A \cdot \nabla}_{={e\over 2m} B
\cdot L}  + \underbrace{{e^2 \over 2 m} A^2}_{={e^2 \over 8m} [B^2
r^2 - (B \cdot r)^2]} && \mbox{St�roperator H' mit
} \\ L = r \times p = i\hbar (r \times \nabla) && \mbox{Drehimpuls} \\
\end{eqnarray}

\begin{itemize}
\item Der quadratische Term ist in der Gr��enordnung $B\cdot 10^{-6}$,
und kann meist vernachl�ssigt werden
\item Der lineare Term entspricht einer Wechselwirkung des
Magnetfeldes mit einem magnetischen Moment $M=-{e \over 2m} L = -
\mu_B {L \over \hbar}$ mit dem {\em Bohrmagneton} \index{Bohrmagneton}
$\mu_B=9.27\cdot 10^{-24}$J/T.
\item Wechselwirkungsenergie $H_1'=-M\cdot B = {\mu_B \over \hbar} B
\cdot L$
\item Spinwechselwirkung: $H_2' = -g_s {e \over 2m} B\cdot S = -g_s
\mu_B {B \cdot S\over \hbar}$ mit gyromagnetischem Verh�ltnis
\index{gyromagnetischem Verh�ltnis} $g_s \approx 2$
\item Schr�dingergleichung
\begin{eqnarray}
\left[ - {\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0 r} + \xi L\cdot S + {\mu_B \over \hbar} (L+2S)\cdot B
\right] \psi(r) = E \psi(r) && \\
\mbox{mit: } \xi = {1 \over 2m^2 c^2} {1\over r} {dV \over dr} =
\underbrace{{1 \over 2m^2 c^2} {Z e^2 \over 4\pi \varepsilon_0
r^3}}_{\mbox{f�r Coulombpotential}}
\end{eqnarray}
\end{itemize}

\subsubsection{Starke Felder}
\index{Zeemann-Effekt!Starke Felder} \index{Effekt!Zeemann!Starke
Felder} \index{Zeemann-Effekt!normaler}
\index{Effekt!Zeemann!normaler}

\begin{itemize}
\item Betrachte Zeemann-Effekt f�r $B > Z^4$ (z. B. Astrophysik)
\item {\em Vernachl�ssigbare Spin-Bahn-Kopplung}
\item {\em Normaler Zeemann-Effekt ist eine Atomeigenschaft
und tritt nur bei verschwindender Spin-Bahn-Kopplung auf!}
\item Schr�dingergleichung (B entlang z):
\begin{eqnarray}
\left( - {\hbar^2 \over 2 m} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4\pi
\varepsilon_0 r}\right) \psi = \left[ E - {\mu_B B_z \over
\hbar} (L_z + 2 S_z) \right] \psi && \\
E = E_n + \mu_B B_z (m_l + 2 m_s) & m_s = \pm {1 \over 2} & \\
\end{eqnarray}
\item Entartungen
      \begin{itemize}
      \item $l$: wird nicht aufgehoben
      \item $m_l$: wird aufgehoben
      \item $m_s$: wird aufgehoben
      \end{itemize}
\item alle Niveaus haben gleiche Abst�nde
\item �bergang von np nach n's:
      mit Auswahlregeln ($\Delta m_l = 0, \pm 1 $ und $\Delta m_s =
      0$) bleiben 3 Linien\footnote{F�r rechnerische Begr�ndung der
      Polarisationen s. Bransden S. 212f}
      \begin{enumerate}
      \item $\Delta m_l = 0$: Normale Frequenz, $\pi$-Linie,
      linearpolarisiert
      \item $\Delta m_l = \pm 1$: $\nu = \nu_0 \pm \underbrace{\mu_B
      B_z \over h}_{\mbox{\em Lamorfrequenz}\index{Lamorfrequenz}}$,
      $\sigma$-Linien, entgegengesetzt zirkular polarisiert
      \end{enumerate}
\item Die Triplets hei�e {\em Lorentz-Triplet}\index{Lorentz-Triplet}
\item Lorentz-Triplets werden auch in  Vielelektronensystemen mit
verschwindendem Gesamtspinn beobachtet, da dort die Spin-Bahn-Kopplung
verschwindet. Hier wurden sie auch entdeckt, daher "normaler"
Zeemann-Effekt.
\end{itemize}


\subsubsection{Schwache Felder}
\index{Zeemann-Effekt!Schwache Felder} \index{Effekt!Zeemann!Schwache
Felder} \index{Zeemann-Effekt!anomaler}
\index{Effekt!Zeemann!anomaler}

\begin{itemize}
\item H�ufigster anzutreffender Effekt (name historisch)
\item Vorherrschende Wechselwirkung: Spin-Bahn-Kopplung:
\begin{eqnarray}
H_0  = - {\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 - {Z e^2 \over 4 \pi
\varepsilon_0 r} + \xi L\cdot S && \mbox{Ungest�rter Hamilton}\\
\mathcal{Y}_{ls}^{jm_j} = \sum_{m_l, m_s} \underbrace{\langle l s m_l m_s |
j m_j\rangle }_{\mbox{Clebsch-Gordon-Koeffizient
\index{Clebsch-Gordon-Koeffizient}}}  Y_{lm_l}
(\theta,\phi) \chi_{s, m_s} && \mbox{EF von }L^2, S^2, J^2, J_z \\
H_1' = {\mu_B \over \hbar} (L_z + 2 S_z) B_z = {\mu_B \over
\hbar} (J_z + S_z) B_z && \mbox{St�rung, Magnetfeld in z} \\
\Rightarrow \Delta E = \mu_B B_z m_j + {\mu_B \over \hbar} B_z
\sum_{\mbox{Spin}} \int d\Omega \overline{\mathcal{Y}_{l,{1\over
2}}^{jm_j}} S_z \mathcal{Y}_{l,{1\over 2}}^{jm_j}
\end{eqnarray}
\item Berechnung des Integrals:
   \begin{enumerate}
   \item Explizites Einsetzen der Clebsch-Gordon-Koeffizienten:
      \begin{eqnarray}
      \mathcal{Y}_{l,{1\over 2}}^{(l+{1\over 2}) m_j} =
      \sqrt{{l+m_j + {1\over 2} \over 2l+1}} Y_{l,m_j-{1\over 2}}
      \chi_{{1\over 2},{1\over 2}} +
      \sqrt{{l-m_j + {1\over 2} \over 2l+1}} Y_{l,m_j+{1\over 2}}
      \chi_{{1\over 2},-{1\over 2}} \\
      \mathcal{Y}_{l,-{1\over 2}}^{(l+{1\over 2}) m_j} =
      \sqrt{{l-m_j + {1\over 2} \over 2l+1}} Y_{l,m_j-{1\over 2}}
      \chi_{{1\over 2},{1\over 2}} +
      \sqrt{{l+m_j + {1\over 2} \over 2l+1}} Y_{l,m_j+{1\over 2}}
      \chi_{{1\over 2},-{1\over 2}} \\
      \Rightarrow
      \sum_{\mbox{Spin}} \int d\Omega \overline{\mathcal{Y}_{l,{1\over
      2}}^{l+{1\over 2} m_j}} S_z \mathcal{Y}_{l+{1\over 2},{1\over
      2}}^{jm_j} = {m_j \over 2l+1} \hbar \\
      \Rightarrow
      \sum_{\mbox{Spin}} \int d\Omega \overline{\mathcal{Y}_{l,{1\over
      2}}^{l-{1\over 2} m_j}} S_z \mathcal{Y}_{l,{1\over 2}}^{l-{1\over
      2} m_j} = -{m_j \over 2l+1} \hbar
      \end{eqnarray}
   \item Operatoralgebra (mit Wiegner-Eckard-Theorem) f�hrt zu
      \begin{equation}
      \langle l s j m_j | S_z | l s j m_j\rangle  = m_j \hbar \left[ {j(j+1) + s
      (s+1) - l(l+1) \over 2 j(j+1)} \right]
      \end{equation}
   was mit dem ersten Ergebnis identisch ist, da $s={1\over 2}$ und
   $j = l \pm {1\over 2}$
   \end{enumerate}
\item Energieverschiebung
\begin{equation}
\Delta E = \underbrace{1+ \left[ {j(j+1) + s (s+1) - l(l+1) \over 2
j(j+1)} \right]}_{\mbox{= g: Land�scher g-Faktor \index{Land�scher
g-Faktor}}} \mu_B B_z m_j
\end{equation}
\item Gesamtenergieverschiebung:
\begin{equation}
E_{n,j,m_j} = \underbrace{E_n}_{\mbox{nicht-rel.}} +
\underbrace{\Delta E_{n,j}}_{\mbox{Feinstruktur}} +
\underbrace{\Delta E_{m_j}}_{Zeemann}
\end{equation}
\item Der anomale Zeemann-Effekt zeigt mehr Linien als der normale
\item Mit zunehmendem Feld geht der anomale Zeemann-Effekt zun�chst in
den normalen und dann den Paschen-Back-Effekt �ber
\end{itemize}

\subsubsection{Paschen-Back-Effekt}
\index{Paschen-Back-Effekt} \index{Effekt!Paschen-Back}

\begin{itemize}
\item B gro�, aber Spin-Bahn-Kopplung vorhanden
\item Spin-Bahn-Kopplung als kleine St�rung
\item Gesamtenergieverschiebung
\begin{eqnarray}
\Delta E = \int_0^{\infty}dr r^2 R_{nl}^2 \xi \left< l{1\over
2}m_l m_s |L \cdot S|  l{1\over 2}m_l m_s \right> = \lambda_{nl}m_l
m_s & l \neq 0 \\
\lambda_{nl} = - \alpha^2 {Z^2 \over n} E_n {1 \over l \left( l +
{1\over 2} \right) (l+1) } & l \neq 0
\end{eqnarray}
\item Entartung in l ist aufgehoben
\item $\Delta m_l = 0, \pm 1$
\end{itemize}

{\em Wichtig: Der anomale Zeemann-Effekt geht im Grenzfall starker
Felder in den Paschen-Back-Effekt �ber.  Man sieht im
Paschen-Back-Effekt die gleichen Linien wie im normalen
Zeemann-Effekt, da mit zunehmendem Feld die Spin-Bahn-Wechselwirkung
immer mehr vernachl�ssigt werden kann.}


\subsection{Stark-Effekt (1913)}
\index{Stark-Effekt} \index{Effekt!Stark}

\begin{itemize}
\item Wirkung elektrischer Felder auf Atome \index{Feld!Elektrisches}
\item Annahmen:
   \begin{enumerate}
   \item Feld konstant �ber die Gr��e des Atoms
   \item Feld entlang z
   \item Feldst�rke gro� (Feinstruktur ist unwichtig): $E > 10^5$V/m
   \end{enumerate}
\item St�roperator: $H' = e E z$
\item St�rung wirkt nicht auf den Spin $\rightarrow$
Wasserstoffwellenfunktionen ohne Spin f�r die Berechnung, $m_l = m$
\end{itemize}

\subsubsection{Linearer Stark-Effekt}
\index{Stark-Effekt!linearer} \index{Effekt!Stark!linearer}

\begin{itemize}
\item Wasserstoffgrundzustand:
\begin{itemize}
\item nicht entartet
\item keine Energieverschiebung weil kein Dipolmoment
\end{itemize}
\item Angeregte Zust�nde: Auswahlregeln!!! $m = m'$ und $l=l'\pm 1$
\item Berechnung mit St�rungsrechnung:
\begin{eqnarray}
\Delta E = \langle \psi_{final} | z | \psi_{init} \rangle  && \mbox{mit} \\
z = r \cos(\theta) && \mbox{Polarkoordinaten} \\
\psi_{1} = {1 \over \sqrt{2}} (\psi_{init} \pm \psi_{final}) && \\
\end{eqnarray}
\item ungerade Wellenfunktionen haben h�here Energie, Zustand ist
antiparallel zum Feld
\item l und Parit�t sind keine guten Quantenzahlen, m ist eine gute
Quantenzahl
\item Zust�nde festgelegter Parit�t (= nicht-entartete Zust�nde) haben
kein Dipolmoment. Hier steht im Erwartungswert $\langle \psi| z | \psi\rangle $ das
Betragsquadrat der Wellenfunktion (gerade!) multipliziert mit der
ungeraden Funktion z, das Integral verschwindet
\item Zust�nde nicht festgelegter Parit�t (= entartete Zust�nde) haben
ein Dipolmoment. Hier steht im Integral das Produkt zweier ungerader
Funktionen mit der ungeraden Funktion z, was eine gerade Fuktion
ergibt, und so einen Beitrag liefert
\item Anwesenheiten des E-Feldes ,,mischt'' die Zust�nde, so da� sich
die Lebenszeiten verk�rzen und die Atome schneller in den
Grundzustand �bergehen.
\end{itemize}

\subsubsection{Quadratischer Stark-Effekt}
\index{Stark-Effekt!quadratischer} \index{Effekt!Stark!quadratischer}

\begin{itemize}
\item tritt  auch auf bei nichtentarteten Zust�nden
\item St�rungsrechnung 2. Ordnung
\begin{equation}
E_{100}^{(2)} = e^2 \mathcal{E}^2 \sum_{n \neq 1, l,m} {|\langle \psi_{nlm}
| z | \psi_{100}\rangle |^2 \over E_1 - E_n}
\end{equation}
\item Die Grundzustandsenergie wird erniedrigt, da $E_1 - E_n <
0$ (mit $n \geq 2$)
\item Dipol-Polarisierbarkeit \index{Dipol-Polarisierbarkeit}
\begin{equation}
D = {\partial E_{100}^{(2)} \over \partial \mathcal{E}}
\end{equation}
\end{itemize}

\subsection{Hyperfeinstruktur  (Pauli 1924)}

\index{Hyperfeinstrukutr}

\begin{itemize}
\item I: Kernspin
\item Eigenwerte  $I_z \rightarrow M_I \hbar$ mit $M_I = -I..I$
\item Eigenwerte $I^2 \rightarrow I(I+1)\hbar^2$
\item Kerne sind Fermionen f�r I halbzahlig und Bosonen f�r I
ganzzahlig \index{Fermion} \index{Boson}
\item Magnetisches Dipolmoment $M_N = g_I \mu_N {I\over \hbar}$
\item $\mu_N = {m_e \over M_p} \mu_B = 5.05\cdot 10^{-27}$J/T
\item St�rterme: (aus Wechselwirkung mit L und S)
\begin{eqnarray}
H = H_0 + H_{MD} = H_0 + H_1 + H_2 && \\
H_1 \propto {1 \over r^3} L \cdot I && \\
\propto {1 \over r^3} L \cdot M_N && \mbox{Wechselwirkung mit L} \\
H_2 \propto {1 \over r^3} \left[ S\cdot I - 3 {(S\cdot r)(I\cdot
r)\over r^2} \right] && \\
\propto {1 \over r^3} \left[ M_S \cdot M_N - 3
{(M_S\cdot r)(M_N\cdot r) \over r^2} \right] && \mbox{Wechselwirkung
mit S} \\
H_{MD} \propto {1 \over r^3} \left[ L\cdot I - S\cdot I + 3 { (S\cdot
r)(I\cdot r)\over r^2} \right] & r \neq 0 & \\
H_{MD} \propto \delta(r) S\cdot I \propto M_S \cdot M_N \delta(r) &&
\mbox{Fermi Kontaktpotential \index{Fermi Kontaktpotential}}
\end{eqnarray}
\item Weiteres Vorgehen analog zur Spin-Bahn-Kopplung:
     \begin{itemize}
     \item Einf�hren von $F = I + J$
     \item $\Delta E \propto [F (F+1) - I (I+1 ) -
     \underbrace{j(j+1)}_{= s(s+1) \mbox{f�r l=0}}]$
     \end{itemize}
\end{itemize}

\section{Zweielektronenatome}

\begin{itemize}
\item Schr�dingergleichung
\begin{equation}
\left[ -{\hbar^2 \over 2 \mu }\nabla_{r_1}^2
       -{\hbar^2 \over 2 \mu }\nabla_{r_1}^2
       -{Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r_1}
       -{Z e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r_1}
       + {e^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 r_{12}}
\right] \psi = E \psi
\end{equation}
\end{itemize}

\rem{==> Hier weiter <==}

\section{Elementare Teilchen}

\index{Lepton}
\index{Boson}
\index{Fermion}
\index{Meson}
\index{Baryon}
\index{Elementarteilchen!Lepton}
\index{Elementarteilchen!Boson}
\index{Elementarteilchen!Fermion}
\index{Elementarteilchen!Meson}
\index{Elementarteilchen!Baryon}

\begin{itemize}
\item {\em Leptonen}: unterliegen nicht der starken Wechselwirkung
\item {\em Hadronen}: unterliegen der starken Wechselwirkung
      \begin{enumerate}
      \item {\em Baryonen}: Halbzahliger Spin (p, n und deren
            Antiteilchen, $\Xi$, $\Sigma$...) sind {\em Fermionen}
      \item {\em Mesonen}: Ganzzahliger Spin ($\pi$, K...) sind
            {\em Bosonen}
\end{enumerate}
\item Fermionen: Halbzahliger Spin, ungerade Wellenfunktion
\item Bosonen: Ganzzahliger Spin, gerade Wellenfunktion
\end{itemize}

%=============== Dokument Ende ====================================

\printindex
\end{document}
