2.1 Streuoperator

F�r t $\rightarrow$ $\pm$$\infty$ bewegt sich das Teilchen frei, d. h. es muá gelten

$$\rightarrow \rightarrow \infty$$ x(t) (8)

$$\rightarrow \rightarrow \infty$$ x(t) (9)

Eigenschaften der Streuung

• Bez�glich der Beobachtung ist ein Streuprozess komplett beschrieben, wenn man die einlaufenden und auslaufenden asymptotischen Bahnen kennt.

• Man kann aber nicht erwarten, daá jedes einlaufende Teilchen eine auslaufende Asymptotische Bahn besitzt, da es gebundene Zust„nde geben kann. Z. B. erreichen Teilchen bei der Streuung am Coulomb-Potential nie eine asymptotische Bahn.

• Die Streuzeit liegt normalerweise im Bereich von 10^-10s, d. h. f�r Zeiten t $\approx$ - 10^-10 und t $\approx$ + 10^-10 wird man im wesentlichen freie asymptotische Bahnen beobachten, man kann die Bahnen dann nicht mehr von denen freier Teilchen unterscheiden.

• Quantenmechanischer Hamiltonoperator:

  H = H⁰ + V (10)

  wobei V ein lokales Potential sei, d. h. ein Potential, das nur von der Teilchenposition abh„ngt.

• Beschreibung des einlaufenden freien Wellenpakets, d. h. t $\rightarrow$ - $\infty$:

  $$\psi \rangle \rightarrow \psi_{in}^{} \rangle \rightarrow \infty$$ (11)

  mit U⁰(t) = e^-iH0t

• Analog das auslaufende Teilchen, d. h. t $\rightarrow$ + $\infty$:

  $$\psi \rangle \rightarrow \psi_{out}^{} \rangle \rightarrow \infty$$ (12)

• Bedingungen f�r ein Potential f�r das die Streutheorie L”sungen liefert:

  1.

  V(r) = $\Order$(r^{-3 - $\epsilon$}) wenn r $\rightarrow$ $\infty$ f�r ein $\epsilon$ > 0, d. h. das Potential muá in groáen Abst„nden schnell genug abfallen, das Teilchen darf das Potential dort nicht mehr sehen

  2.

  V(r) = $\Order$(r^{- 3 + $\epsilon$}) wenn r $\rightarrow$ 0 f�r ein $\epsilon$ > 0, d. h. das Potential darf im Ursprung nicht zu singul„r sein.

  3.

  V(r) ist f�r 0 < r < $\infty$ stetig auáer an einer endlichen Zahl von Polen, d. h. ''gutm�tig genug''

  D. h. alle Ergebnisse k”nnen auch f�r die Streuung an einigen fixierten Kraftzentren und f�r Spinabh„ngige und andere Nichtlokale Potentiale bewiesen werden.

• Wichtig: Viele zentrale Aussagen der Streutheorie lassen sich nicht auf das Coulomb-Potential anwenden! Dies gilt auch f�r attraktive singul„re Potentiale (repulsive singul„re Potentiale lassen sich hingegen behandeln.)

• F�r die Zeitentwicklung eines Gauáschen Wellenpaketes

  $$\langle \psi \rangle {(x-a)^2 \over 2 \xi^2}$$ (13)

  wo a das Zentrum und die Breite $\xi$ beliebig sind gilt Quantenmechanisch

  $$\langle \tau \psi \rangle \left(\vphantom{ 1 + {\tau^2 \over m^2 \xi^4}}\right. {\tau^2 \over m^2 \xi^4} \left.\vphantom{ 1 + {\tau^2 \over m^2 \xi^4}}\right)^{-\halbe{3}}_{} \left[\vphantom{ - {(x-a)^2 \over \xi^2 + {\tau^2 \over m^2 \xi^2}}}\right. {(x-a)^2 \over \xi^2 + {\tau^2 \over m^2 \xi^2}} \left.\vphantom{ - {(x-a)^2 \over \xi^2 + {\tau^2 \over m^2 \xi^2}}}\right]$$ (14)

• Jeder Vektor aus einem Hilbertraum H l„át sich beliebig genau durch eine endliche Summe von Gauápaketen interpolieren.