6. Die Bornsche Reihe

Als Bornsche Reihe bezeichnet man die Entwicklung der T-Matrix nach Potenzen von V. Ihre erste N„herung T $\approx$ V bezeichnet man als Bornsche N„herung. Es gilt

T(z) = V + VG⁰(z)V + VG⁰(z)VG⁰(z)V +... (72)

• Die Bornsche Reihe muá nicht konvergieren

• Herleitung aus der Lippmann-Schwinger-Gleichung T = $\lambda$V + $\lambda$VG⁰T, wenn man f�r T(z) schreibt ( H = H⁰ + $\lambda$V)

  $$\sum_{0}^{\infty} \lambda^{n}_{}$$ (73)

  durch einsetzen

  $$\lambda \lambda^{2}_{}$$ (74)

• Alternativ findet man, daá wenn man die Lippmann-Schwinger-Gleichung schreibt als

  $$\lambda \lambda$$ (75)

  das Problem identisch ist mit der Invertierung des Operators (1 - $\lambda$VG⁰).

• F�r die On-Shell T-Matrix findet man damit
  

  $$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\,$$ =

  $$\lambda \bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\, \lambda^{2}_{} \bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\,$$ = (76)

  
  

• Konvergenz f�r schwache Kopplung F�r jedes Potential V gibt es ein $\overline{\lambda}$ > 0 so daá die Born'sche Reihe gegen die korrekte On-Shell-T-Matrix f�r alle Werte von $\vec{p}{^\prime}$,$\vec{p}\,$ konvergiert wenn |$\lambda$| < $\overline{\lambda}$

• Konvergenz f�r hohe Energie F�r ein gegebenes V existiert eine Energie $\overline{E}$ �ber der die Bornsche Reihe f�r $\lambda$ = 1 konvergiert. Je h”her die Energie E �ber $\overline{E}$ liegt, desto schneller konvergiert die Reihe.

• Existieren f�r ein Potential gebundene Zust„nde, so divergiert die Bornsche Reihe.