4. Streuung zweier Spinloser Teilchen

Durch einf�hren der Schwerpunkts- und Relativkoordinaten der beiden Teilchen ist es m”glich im Schwerpunktssytem die Streuung zweier Teilchen aneinander zu behandeln wie die Streuung eines einzelnen Teilchens an einem statischen Potential. Man benutzt

$$\overline{\vec{x}} {m_1 \vec{x}_1 + m_2 \vec{x}_2 \over m_1 + m_2}$$ = (45)

$$\vec{x}\, \vec{x}_{1}^{} \vec{x}_{2}^{}$$ = (46)

$$\overline{X} {m_1 X_1 + m_2 X_2 \over m_1 + m_2}$$ = (47)

$$\overline{P}$$ = P₁ + P₂ (48)

$${m_2 P_1 - m_1 P_2 \over m_1 + m_2}$$ P = (49)

und findet damit den Hamiltonoperator

$${\overline{P}^2 \over 2 M} \left[\vphantom{ {P^2 \over 2 m} + V(X) }\right. {P^2 \over 2 m} \left.\vphantom{ {P^2 \over 2 m} + V(X) }\right]$$ (50)

Auch f�r den Zeitentwicklungsoperator kann man eine solche Zerlegung zeigen. F�r das Asymptotische Verhalten findet man durch einsetzen auch in diesem Fall eine analoge Beschreibung zum Einteilchenproblem:

$$\ket \psi \lim_{t\leftarrow -\infty}^{} \dagger \ket \psi_{in}^{} \oplus \Omega_{+}^{} \ket \psi_{in}^{} \bf \Omega_+ \ket \psi_{in}^{}$$ (51)

analog f�r den auslaufenden Fall. Hierbei ist $\bf\Omega_+$ = 1_cm $\otimes$ $\Omega_{\pm}^{}$ der Zweiteilchen-Mølleroperator mit $\Omega_{\pm}^{}$ = $\lim_{t \leftarrow \mp \infty}^{}$e^iH_relte^-iH0_relt. Hierin bedeutet 1_cm physikalisch nichts anderes als die Tatsache daá sich der Schwerpunkt wie ein freies Teilchen bewegt und nicht gestreut wird. Diese einfachen Relationen sind eine direkte Folge der Tatsache, daá man den Zweiteilchenhilbertraum in zwei Teilr„ume zerlegen kann, den der die Bewegung des Schwerpunkts und den der die Relativbewegung beschreibt. Mit diesen Definitionen folgt sofort f�r den S-Operator:

$$\bf S = \Omega^\dagger_- \Omega_+ \otimes$$ (52)

damit folgt sofort, daá S mit $\overline{P}$ kommutiert und damit daá der Impuls erhalten ist. (Eine direkte Folge der Translationsinvarianz; Noethertheorem: Jede Invarianz f�hrt zu einer Erhaltungsgr”áe.) Genauso gilt Energieerhaltung, da [S, H⁰] = 0. Beachtet man das findet man durch Einsetzen f�r das S-Matrixelement

$$\bra \vec{p}_{1}{^\prime} \vec{p}_{2}{^\prime} \bf S \ket \vec{p}_{1}^{} \vec{p}_{2}^{} \delta_{3}^{} \vec{p}_{1}{^\prime} \vec{p}_{1}^{} \delta_{3}^{} \vec{p}_{2}{^\prime} \vec{p}_{2}^{}$$ =

$$\pi \delta \left(\vphantom{ \sum E_i' - \sum E_i}\right. \sum \sum \left.\vphantom{ \sum E_i' - \sum E_i}\right)$$ -

$$\delta_{3}^{} \left(\vphantom{ \sum \vec{p}_i' - \sum \vec{p}_i}\right. \sum \vec{p}_{i}{^\prime} \sum \vec{p}_{i}^{} \left.\vphantom{ \sum \vec{p}_i' - \sum \vec{p}_i}\right) \vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\,$$ x (53)

wo der

• erste Term die Amplitude daf�r ist, daá die Teilchen nicht streuen
• zweite Term die Amplitude f�r die Streuung darstellt, der die totale Energie- und Impulserhaltung enth„lt. (Nat�rlich sind nicht die Einzelkomponenten erhalten!)

Wie bei der Einteilchenstreuung definiert man die Streuamplitude

$$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \pi \vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\,$$ (54)

Die Verallgemeinerung auf die Streuung zweier Teilchen mit Spin ergibt sich direkt aus dem hier geltenden Potential:

$$\vec{S}_{1}^{} \vec{S}_{2}^{} \vec{S}_{1}^{} \vec{x}\, \vec{S}_{2}^{} \vec{x}\,$$ (55)

oder bei Beachtung der Spin-Bahn-Kopplung (z.B. in Atomen)

$$\vec{L}\, \vec{S}\,$$ (56)

F�r das S-Matrixelement findet man damit

$$\bra \vec{p}_{1}{^\prime} \vec{p}_{2}{^\prime} \bf S \ket \vec{p}_{1}^{} \vec{p}_{2}^{} \delta_{3}^{} \vec{p}_{1}{^\prime} \vec{p}_{1}^{} \delta_{3}^{} \vec{p}_{2}{^\prime} \vec{p}_{2}^{} \delta_{\xi,\xi'}^{}$$ =

$$\pi \delta \left(\vphantom{ \sum E_i' - \sum E_i}\right. \sum \sum \left.\vphantom{ \sum E_i' - \sum E_i}\right)$$ -

$$\delta_{3}^{} \left(\vphantom{ \sum \vec{p}_i' - \sum \vec{p}_i}\right. \sum \vec{p}_{i}{^\prime} \sum \vec{p}_{i}^{} \left.\vphantom{ \sum \vec{p}_i' - \sum \vec{p}_i}\right) \vec{p}{^\prime} \xi{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \xi$$ x (57)

Betrachtet man die Streuamplitude f ($\vec{p}{^\prime}$,$\xi{^\prime}$ $\leftarrow$ $\vec{p}\,$,$\xi$) = f_{$\xi$,$\xi{^\prime}$}($\vec{p}{^\prime}$ $\leftarrow$ $\vec{p}\,$) so kann man diese als Amplitudenmatrix auffassen:

$$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \vec{p}{^\prime} \vec{p}\, \xi \xi{^\prime} \vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\,$$ (58)

womit man den differentiellen Wirkungsquerschnitt schreiben kann als:

$${d\sigma \over d\Omega} \vec{p}{^\prime} \xi{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \xi \left\vert\vphantom{ \chi'^\dagger F(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) \chi }\right. \chi{^\prime}^{\dagger} \vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \chi \left.\vphantom{ \chi'^\dagger F(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) \chi }\right\vert^{2}_{}$$ (59)

Betrachtet man z. B. zwei Spin-Teilchen so findet man f�r die Amplitudenmatrix folgende Form:

$$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \left(\vphantom{ \begin{array}{cc} f_{++}(\vec{p}' \leftarrow \v... ...ftarrow \vec{p}) & f_{--}(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) \\ \end{array}}\right. \begin{array}{cc} f_{++}(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) & f_{+-}(\... ...{p}' \leftarrow \vec{p}) & f_{--}(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) \\ \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{cc} f_{++}(\vec{p}' \leftarrow \v... ...ftarrow \vec{p}) & f_{--}(\vec{p}' \leftarrow \vec{p}) \\ \end{array}}\right)$$ (60)

d.h. man hat Amplitudenelemente mit und ohne Spinflip. Da typische Experimente nicht spinpolarisiert stattfinden muá man f�r die gemessenen Wirkungsquerschnitte geeignet mitteln. Ein einlaufender Unpolarisierter Strahl wird dabei durch Mittelung �ber die Spins beschrieben, d.h. jede Ausrichtung der Spins im einlaufenden Strahl ist gleich h„ufig. Am Detektor werden bei unpolarisierter Messung dagegen alle ankommenden Spins registriert, so daá im auslaufenden Strahl �ber die Spins zu summieren ist.

Bei spinpolarisierten Messungen tritt das Problem auf, daá der einlaufende oder auslaufende Strahl eigentlich nie eine strenge Polarisierung aufweist, sondern immer nur z. B. 90% polarisiert ist. Beschreibung des Zustands �ber die Dichtematrix:

$$\rho \sum_{i}^{} \ket \psi^{i}_{} \bra \psi^{i}_{}$$ (61)

wobei w_i die gewichte des einzelnen Zustands darstellt mit $\sum$w_i = 1. f�r den Erwartungswert einer Meágr”áe A im Zustand $\psi^{i}_{}$:

$$\langle \rangle_{\rho}^{} \sum \bra \psi^{i}_{} \ket \psi^{i}_{} \Tr \rho$$ (62)

Reine Zust„nde sind nat�rlich gegeben durch $\rho$ = $\psi$$\bra$$\psi$ $\leftrightarrow$ $\rho^{2}_{}$ = $\rho$