6.1 Partialwellenzerlegung

Vorgehensweise:

• Betrachte Rutherfordstreuung: Parametrisierung nach dem Stoáparameter b
• Analog: Parametrisierung nach dem Bahndrehimpuls $\vec{l}=\vec{b} \times \vec{p}$
• Ergebnis: Ringzonen d. h. in jeder Kreiszone statt $b \cdots b+db$ $l \cdots l+1$
• Quantenmechanische Betrachtung
  • Voraussetzungen
    
    
  • Da Zentralpotential Separation der Wellenfunktion in $\psi(\vec{r}) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi)$
  • L”sung sind dann
    

    $$\Theta(\theta) \Phi(\phi) = Y_{lm}(\theta, \phi) = c_{l,m} P_l^m(\cos(\theta)) e^{i m\phi}$$ (68)

    
    

  • Die radiale Abh„ngikeit findet man dann zu
    

    $$u_l(kr) = r j_l(kr) = r \sqrt{\pi \over 2kr} J_{l+\einhalb} (kr)$$ (69)

    
    
    wobei j_l(kr) eine sph„rische Besselfunktion bzw. $J_{l+\einhalb}$ eine gew”hnliche Besselfunktion ist
  • Entwickle nun e^ikz in diesen L”sungen. Man findet
    

    $$e^{ikz} = e^{ikr\cos(\theta)} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos(\theta))$$ (70)

    
    

  • in groáem Abstand kann man die Besselfunktionen n„hern
  • insgesamt ergibt sicht f�r die einfallende ebene Welle
    

    $$\psi_e = e^{ikz} = {1 \over 2kr} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i... ...{i \left( kr - \halbe{l\pi}\right)}\right] P_l(\cos(\theta))$$ (71)

    
    

  • k bleibt erhalten, da elastische Streuung
  • Žndern kann sich nur Amplitude und Phase Multiplikation der auslaufdenden Welle mit einem i. A. komplexen Faktor $\eta_l$, was die Gesamtfunkton $\psi_T$ ergibt
  • Mit
    

    $$\psi_T = \psi_e + \psi_{Streu}$$ (72)

    $$\psi_{Streu} = f(\theta) {e^{ikr} \over r}$$ (73)

    
    
    ergibt sich $f(\theta)$ als Funktion von $\eta_l$
    

    $$f(\theta) = {i \over 2 k} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l) P_l(\cos(\theta))$$ (74)

    
    

  • differentieller Wirkungsquerschnitt
    

    $${d\sigma \over d\Omega} = \vert f(\theta)\vert^2 = {1 \over... ...t\sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l) P_l(\cos(\theta))\vert^2$$ (75)

    
    

  • totaler Wirkungsquerschnitt: $\sigma = \int_{Kugel} {d\sigma \over d\Omega}$. Beachte Vollst„ndigkeit der Legendre-Polynome. Man findet
    

    $$\sigma_s = {\pi \over k^2} \sum_l (2l+1) \vert 1-\eta_l\vert^2$$ (76)

    
    

  • F�r Kernreaktionen findet man den Reaktionsquerschnitt durch Betrachtung der Teilchenstromdichten j_e und j_T
  • Reaktionsquerschnitt: $\sigma_r = {\int j_T r^2 d\Omega \over j_e}$
  • Definition des (reellen) Phasenwinkels:
    

    $$\eta_l = \vert\eta_l\vert e^{2i\delta_l}$$ (77)

    
    

• Verhalten f�r verschiedene $\eta_l$ (s. a. Mayer-Kuckuk S. 118)
  • $\vert\eta_l\vert = 1$: Reaktionsquerschnitt = 0, d. h. reine elastische Streuung da nur Phasen„nderung auftritt, hier muá man f�r die Rechnung nur $\delta_l$ betrachten!
  • $\eta_l = 0$: Maximaler Reaktionsquerschnitt
  • $\eta_l = -1$: Gr”áter Streuquerschnitt
• Unter Benutzung des Phasenwinkels findet man f�r die Streuamplitude bei rein elastischer Streuung
  

  $$f(\theta) = {1 \over k} \sum_l (2l+1) \underbrace{\halbe{i}(1-e^{2 i \delta_l})}_{= e^{i \delta_l} \sin(\delta_l) }$$ (78)

  
  

• Betrachtet man als Streupotential das Coulombpotential und das Kernpotential, so ist die Streuamplitude die Summe aus beiden Einzelstreuamplituden
• Coulomb-Streuphase sehr kompliziert zu berechnen
• zur Messung des Kernpotentials Neutronenstreuung
• S-Wellen-Streuung: z. B. Streuung thermischer Neutronen
  
  

• Betrachte L”sung eines Kastenpotentials (Mayer-Kuckuk S. 121ff)
  • Potential schiebt die L”sung ohne Potential zu kleineren r (d.h. zum Potential hin) hier um ${\delta_0 \over k_a}$
  • Anschluábedingungen liefern zwei F„lle
    
    

• Experiment:
  • Messung von $f(\theta)$ f�r verschiedene Energien
  • Fit der $\delta_l$ an die gemessenen Verteilungen
  • Je nach Projektil muá das Coulombpotential ber�cksichtigt werden
  • Anpassen des Potentialmodells so, daá sich als L”sung der Schr”dingergleichung mit diesem Potential die bestimmten $\delta_l$ erbeben