2.5 Integralsätze

Sei V ein durch die geschlossene Oberfläche S begrenztes Volumen. dS sei positiv, wenn es vom Volumen nach außen zeigt (Normalenvektor). ^2.4 Dann gilt:

Satz von Gauß

$$\oint_{S}^{} \vec{A}\, \vec{dS}\, \int_{V}^{} \nabla \vec{A}\, \int_{V}^{} \vec{V}\,$$ (2.34)

In 4 Dimensionen:

$$\int_{\partial B}^{} \sigma_{\lambda}^{} \lambda \int_{B}^{} \partial^{\lambda}_{} \lambda$$ (2.35)

Als Folgerungen aus dem Satz von Gauß ergegen sich die Integralsätze von Green

1. Greenscher Satz

$$\int_{V}^{} \Delta \oint_{S}^{} \vec{dS}\,$$ (2.36)

2. Greenscher Satz

$$\int_{V}^{} \Delta \Delta \oint_{S}^{} \vec{dS}\,$$ (2.37)

Speziell für U₁ = 1 wird der 2. Greensche Satz zu

3. Greenscher Satz

$$\int_{V}^{} \Delta \oint_{S}^{} \vec{dS}\,$$ (2.38)

$$\oint_{S}^{} \phi \int_{V}^{} \nabla \phi$$ (2.39)

$$\oint_{S}^{} \vec{A}\, \int_{V}^{} \nabla \vec{A}\,$$ (2.40)

Sei nun S eine offene Fläche die durch die C begrenzt wird, dessen Linienelement ds sei. Es gilt:

Satz von Stokes

$$\oint_{C}^{} \vec{A}\, \int_{S}^{} \nabla \vec{A}\,$$ (2.41)

$$\oint_{C}^{} \phi \int_{S}^{} \nabla \phi$$ (2.42)