4.10.1.1 Nicht-Entartet

Bei einer kleinen St”rung kann man H die Wellenfunktion und die Energieeigenwerte entwickeln:

$$\Psi_{k}^{} \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}_{} \psi_{k}^{(n)}$$ Wellenfunktion (69)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}_{}$$ Energie (70)

wo n die Ordnung der St”rung beschreibt. Damit schreibt sich die Sch”rdingergleichung:

$$\lambda \psi_{k}^{(0)} \lambda \psi_{k}^{(1)} \lambda^{2}_{} \psi_{k}^{(1)} \lambda^{3}_{} \psi_{k}^{(3)} \lambda \lambda^{2}_{} \psi_{k}^{(0)} \lambda \psi_{k}^{(1)} \lambda^{2}_{} \psi_{k}^{(1)} \lambda^{3}_{} \psi_{k}^{(3)}$$ (71)

Sortiert nach gleicher Ordnung in $\lambda$ folgt:

$$\psi_{k}^{(0)} \psi_{k}^{(0)}$$ ungest”rt (72)

$$\psi_{k}^{(1)} \psi_{k}^{} \psi_{k}^{(1)} \psi_{k}^{}$$ erste Ordnung (73)

$$\psi_{k}^{(2)} \psi_{k}^{(1)} \psi_{k}^{(2)} \psi_{k}^{(1)} \psi_{k}^{}$$ 2. Ordnung (74) ...

Die Energiekorrektur erh„lt man durch Multiplikation der Gleichungen mit $\psi^{*}_{k}$ von links und Integration �ber den gesamten Raum (= Projektion auf die neue Basis!). Man findet

$$\langle \psi_{k}^{} \psi_{k}^{} \rangle$$ 1. Ordnung (75)

$$\langle \psi_{k}^{} \psi_{k}^{(1)} \rangle \langle \psi_{k}^{(1)} \psi_{k}^{(1)} \rangle$$ 2. Ordnung (76)

Bestimmung der L”sung nach Rayleigh-Schr”dinger:

• Bestimmung der L”sung des ungest”rten Systems
• Entwicklung der L”sungen des gest”rten Systems nach L”sungen des ungest”rten gem„á $\psi_{k}^{(1)}$ = $\sum_{m}^{}$a_m⁽¹⁾$\psi_{m}^{}$ wobei die Summe f�r den diskreten Teil durch ein Integral f�r den kontinuierlichen Teil des Spektrums ersetzt wird.
• Einsetzen der Entwicklung in die Gleichung erster Ordnung liefert

  $$\sum_{m}^{} \psi_{m}^{} \psi_{k}^{}$$ (77)

• Multiplikation der Gleichungen mit $\psi^{*}_{k}$ von links und Integration �ber den gesamten Raum (= Projektion auf die neue Basis!) mit Ber�cksichtigung der Eigenwerte des ungest”rten Systems und der Orthnormalit„t liefert

  $$\langle \psi_{l}^{} \psi_{k}^{} \rangle \delta_{k}^{}$$ (78)

• Bestimmung von a_k⁽¹⁾ aus dieser Gleichung liefert

  $${H'_{lk} \over E_k - E_l} \mbox{f�r $l \neq k$}$$ (79)

  zusammen mit $\langle$$\psi_{k}^{}$|$\psi_{k}^{(1)}$$\rangle$ = 0 = a_k⁽¹⁾

Damit folgen die endg�ltigen Ergebnisse:

$$\psi_{k}^{(1)} \rangle \psi_{k}^{} \rangle \sum_{m \neq k}^{} {\langle \psi_m^i \vert H' \vert \psi_k\rangle \over E_k - E_m} \psi_{m}^{i} \rangle$$ Wellenfunktion (80)

$$\langle \psi_{k}^{} \psi_{k}^{} \rangle$$ Energiekorrektur in 1. Ordnung (81)

$$\sum_{m \neq k}^{} {\vert H'_{mk}\vert^2 \over E_k - E_m}$$ Energiekorrektur 2. Ordnung (82)

F�r die Wellenfunktion taucht noch der Index i auf, da es sein kann, daá das ein anderes Energienieveau als das gerade betrachtete entartet sein k”nnte.

Die Energiekorrektur in erster Ordnung ist im nichtentarteten Fall gleich dem Mittelwert der St”rung in den ungest”rten Zust„nden!